Схема FTCS

В численном анализе метод FTCS (Forward Time Centtered Space) представляет собой метод конечных разностей, используемый для численного решения уравнения теплопроводности и аналогичных параболических уравнений в частных производных . ^[1] Это метод первого порядка по времени, явный по времени и условно устойчивый в применении к уравнению теплопроводности. При использовании в качестве метода для уравнений переноса или, в более общем смысле, уравнения в частных производных гиперболического типа , оно нестабильно, если не включена искусственная вязкость. Аббревиатуру FTCS впервые использовал Патрик Роуч. ^{[2] [3]}

Метод [ править ]

Метод FTCS основан на центральной разнице в пространстве и прямом методе Эйлера во времени, обеспечивая сходимость первого порядка по времени и сходимость второго порядка в пространстве. Например, в одном измерении, если уравнение в частных производных имеет вид

${\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} = F \ left (u, x, t, {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}}} \Правильно)}$

тогда, допуская , прямой метод Эйлера задается следующим образом:${\ Displaystyle и (я \, \ Дельта х, п \, \ Дельта т) = и_ {я} ^ {п} \,}$

${\ displaystyle {\ frac {u_ {i} ^ {n + 1} -u_ {i} ^ {n}} {\ Delta t}} = F_ {i} ^ {n} \ left (u, x, t , {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}}} \ right)}$

Функция должна быть пространственно дискретизирована с помощью центральной разностной схемы. Это явный метод, который означает, что, может быть вычислено явно (нет необходимости решать систему алгебраических уравнений), если известны значения на предыдущем временном уровне . Метод FTCS является недорогим в вычислительном отношении, поскольку он явный.${\ displaystyle F}$${\ Displaystyle и_ {я} ^ {п + 1}}$${\ displaystyle u}$${\ Displaystyle (п)}$

Иллюстрация: одномерное уравнение теплопроводности [ править ]

Метод FTCS часто применяется к задачам диффузии . В качестве примера, для 1D уравнения теплопроводности ,

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$

Схема FTCS представлена:

${\displaystyle {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}={\frac {\alpha }{\Delta x^{2}}}\left(u_{i+1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n}\right)}$

или, позволяя :${\displaystyle r={\frac {\alpha \,\Delta t}{\Delta x^{2}}}}$

${\displaystyle u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}+r\left(u_{i+1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n}\right)}$

Стабильность [ править ]

Полученный с использованием анализа устойчивости фон Неймана , метод FTCS для одномерного уравнения теплопроводности численно устойчив тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие:

${\displaystyle r={\frac {\alpha \,\Delta t}{\Delta x^{2}}}\leq {\frac {1}{2}}.}$

Это означает, что выбор и должен удовлетворять вышеуказанному условию, чтобы схема FTCS была стабильной. Основным недостатком метода FTCS является то, что для задач с большим коэффициентом диффузии удовлетворительные размеры ступеней могут быть слишком малы, чтобы их можно было применить на практике.${\displaystyle \Delta x}$${\displaystyle \Delta t}$${\displaystyle \alpha }$

Для гиперболических дифференциальных уравнений с частными , то задача линейного теста является коэффициент постоянной адвекцию уравнение , в отличие от уравнения теплопроводности (или уравнения диффузии ), что является правильным выбором для параболического дифференциального уравнения . Хорошо известно , что для этих гиперболических задач , любой выбор приводит к неустойчивой схеме. ^[4]${\displaystyle \Delta t}$

См. Также [ править ]

• Уравнения с частными производными
• Метод Кранка – Николсона
• Метод конечных разностей во временной области

Ссылки [ править ]