Уравнение Бюргерса

Уравнение Бюргерса или уравнение Бейтмана – Бюргерса - это фундаментальное уравнение в частных производных, встречающееся в различных областях прикладной математики , таких как механика жидкости , ^[1] нелинейная акустика , ^[2] газовая динамика и транспортный поток . Уравнение было впервые введено Гарри Бейтманом в 1915 году ^[3]^[4], а затем изучено Иоганнесом Мартинусом Бургерсом в 1948 году ^[5].

Для заданного поля и коэффициента диффузии (или кинематической вязкости , как в исходном механическом контексте жидкости) общая форма уравнения Бюргерса (также известного как уравнение вязкого Бюргерса ) в одном пространственном измерении является диссипативной системой : ${\ Displaystyle и (х, т)}$ ${\ displaystyle \ nu}$

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} + u {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} = \ nu {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ частичный x ^ {2}}}.}

Когда член диффузии отсутствует (т.е. ), уравнение Бюргерса становится невязким уравнением Бюргерса : ${\ displaystyle \ nu = 0}$

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} + u {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} = 0,}

который является прототипом уравнений сохранения , в которых могут возникать разрывы ( ударные волны ). Предыдущее уравнение является адвективной формой уравнения Бюргерса. Консервативная форма оказывается более полезным при численном интегрировании

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} + {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ partial u ^ {2}} {\ partial x}} = 0.}

Объяснение терминов [ править ]

В уравнении Бюргерса 4 члена: и . В системе, состоящей из движущейся вязкой жидкости с одним пространственным ( ) и одним временным ( ) измерениями, например тонкой идеальной трубы с текучей средой, протекающей по ней, уравнение Бюргерса описывает скорость жидкости в каждом месте вдоль трубы с течением времени. . Члены уравнения представляют следующие величины: ^[6] ${\ displaystyle u, x, t}$ ${\ displaystyle \ nu}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle x}$ : пространственная координата
${\ displaystyle t}$ : временная координата
${\ Displaystyle и (х, т)}$ : скорость жидкости в указанных пространственных и временных координатах
${\ displaystyle \ nu}$ : вязкость жидкости

Вязкость - это постоянное физическое свойство жидкости, а другие члены представляют динамику, зависящую от этой вязкости.

Уравнение Невязкого Бюргерса [ править ]

Это численное моделирование невязкого уравнения Бюргерса в двух пространственных переменных до момента образования ударной волны.

Невязкое уравнение Бюргерса - это уравнение сохранения , в более общем смысле квазилинейное гиперболическое уравнение первого порядка . Решение уравнения и вместе с начальным условием

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} + u {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} = 0, \ quad u (x, 0) = f (x)}

можно построить методом характеристик . Характеристические уравнения:

{\ displaystyle {\ frac {dx} {dt}} = u, \ quad {\ frac {du} {dt}} = 0.}

Интегрирование второго уравнения говорит нам, что она постоянна вдоль характеристики, а интегрирование первого уравнения показывает, что характеристики являются прямыми линиями, т. Е. ${\ displaystyle u}$

{\ displaystyle u = c, \ quad x = ut + \ xi}

где - точка (или параметр) на оси x ( t = 0) плоскости x - t, из которой построена характеристическая кривая. Поскольку в этой точке скорость известна из начального условия и того факта, что это значение не изменяется по мере того, как мы движемся по характеристике, исходящей из этой точки, мы пишем эту характеристику. Следовательно, траектория этой характеристики равна ${\ displaystyle \ xi}$ ${\ Displaystyle и = с = е (\ xi)}$

{\ Displaystyle х = е (\ xi) t + \ xi.}

Таким образом, решение дается формулой

{\ Displaystyle и (х, t) = е (\ xi) = f (x-ut), \ quad \ xi = xf (\ xi) t.}

Это неявное соотношение, которое определяет решение невязкого уравнения Бюргерса при условии, что характеристики не пересекаются. Если характеристики действительно пересекаются, то классического решения PDE не существует и приводит к образованию ударной волны . Фактически, время разрушения до образования ударной волны определяется выражением

t_{b}={\frac {-1}{\min f'(x)}}.

Уравнение Невязкого Бюргерса для линейного начального состояния [ править ]

Субраманян Чандрасекар предоставил явное решение в 1943 году, когда начальное условие было линейным, то есть , где a и b - константы. ^[7] Явное решение $f(x)=ax+b$

u(x,t)={\frac {ax+b}{at+1}}.

Это решение также является полным интегралом невязкого уравнения Бюргерса, поскольку оно содержит столько произвольных констант, сколько независимых переменных, входящих в уравнение. ^[8]^{[ необходим лучший источник ]} Явные решения для других соответствующих начальных условий, как правило, не известны.

Уравнение вязкого Бюргерса [ править ]

Это численное решение вязкого двумерного уравнения Бюргерса с использованием начального гауссова профиля. Мы видим образование и рассеяние скачка из-за вязкости во время его движения.

Вязкое уравнение Бюргерса можно преобразовать в линейное уравнение с помощью преобразования Коула – Хопфа ^[9]^[10]

u=-2\nu {\frac {1}{\phi }}{\frac {\partial \phi }{\partial x}},

что превращает его в уравнение

{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {1}{\phi }}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)=\nu {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {1}{\phi }}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}\right)

которые можно проинтегрировать по, чтобы получить $x$

{\frac {\partial \phi }{\partial t}}=\nu {\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+g(t)\phi

где - функция, зависящая от граничных условий. Если тождественно (например, если задача должна быть решена в периодической области), то мы получаем уравнение диффузии $g(t)$ $g(t)=0$

{\frac {\partial \phi }{\partial t}}=\nu {\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}.

Уравнение диффузии может быть решено и преобразование Коула-Хопфа обращено, чтобы получить решение уравнения Бюргерса:

u(x,t)=-2\nu {\frac {\partial }{\partial x}}\ln \left\{(4\pi \nu t)^{-1/2}\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left[-{\frac {(x-x')^{2}}{4\nu t}}-{\frac {1}{2\nu }}\int _{0}^{x'}f(x'')dx''\right]dx'\right\}.

Другие формы [ править ]

Обобщенное уравнение Бюргерса [ править ]

Обобщенное уравнение Бюргерса расширяет квазилинейную конвективную систему до более обобщенного вида, т.е.

{\frac {\partial u}{\partial t}}+c(u){\frac {\partial u}{\partial x}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.

где - произвольная функция от u. Невязкое уравнение по-прежнему является квазилинейным гиперболическим уравнением для, и его решение может быть построено с использованием метода характеристик, как и раньше. ^[11] $c(u)$ $\nu =0$ $c(u)>0$

Уравнение Стохастика Бюргерса [ править ]

Добавленный пространственно-временной шум образует стохастическое уравнение Бюргерса ^[12] $\eta (x,t)$

{\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-\lambda {\frac {\partial \eta }{\partial x}}

Этот стохастический УЧП является одномерной версией уравнения Кардара – Паризи – Жанга в поле после подстановки . $h(x,t)$ $u(x,t)=-\lambda \partial h/\partial x$

См. Также [ править ]

Уравнение Эйлера – Трикоми
Уравнение Чаплыгина
Уравнение сохранения
Уравнение Фоккера – Планка.

Ссылки [ править ]

^ Он относится к уравнению импульса Навье – Стокса с удаленным членом давления. Уравнение Бюргерса (PDF): здесь переменная - скорость потока y = u
^ Он возникает из уравнения Вестервельта с предположением о строго распространяющихся вперед волнах и с использованием преобразования координат в запаздывающие временные рамки: здесь переменная - давление
Перейти ↑ Bateman, H. (1915). Некоторые недавние исследования движения жидкостей. Ежемесячный обзор погоды, 43 (4), 163-170.
^ Уиземовские, GB (2011). Линейные и нелинейные волны (Том 42). Джон Вили и сыновья.
^ Бюргерс, JM (1948). Математическая модель, иллюстрирующая теорию турбулентности. В «Успехах прикладной механики» (т. 1, с. 171-199). Эльзевир.
^ Кэмерон, Мария. «Заметки об уравнении Бюргерса» (PDF) .
Перейти ↑ Chandrasekhar, S. (1943). О распаде плоских ударных волн (Доклад). Баллистические исследовательские лаборатории. Отчет № 423.
Перейти ↑ Forsyth, AR (1903). Трактат о дифференциальных уравнениях . Лондон: Макмиллан.
^ Коул, Джулиан (1951). «О квазилинейном параболическом уравнении, встречающемся в аэродинамике». Квартал прикладной математики . 9 (3): 225–236. JSTOR 43633894 .
↑ Эберхард Хопф (сентябрь 1950 г.). «Уравнение в частных производных _y u _t + uu _x = μu _xx ». Сообщения по чистой и прикладной математике . 3 (3): 201–230. DOI : 10.1002 / cpa.3160030302 .
^ Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Vol. II.
^ Wang, W .; Робертс, AJ (2015). "Диффузионное приближение для автомодельности стохастической адвекции в уравнении Бюргерса". Сообщения по математической физике . 333 : 1287–1316. arXiv : 1203.0463 . DOI : 10.1007 / s00220-014-2117-7 .

Внешние ссылки [ править ]

Уравнение Бюргерса в EqWorld: мир математических уравнений.
Уравнение Бюргерса в NEQwiki, энциклопедии нелинейных уравнений.

[1] Он относится к уравнению импульса Навье – Стокса с удаленным членом давления. Уравнение Бюргерса (PDF): здесь переменная - скорость потока y = u

[2] Он возникает из уравнения Вестервельта с предположением о строго распространяющихся вперед волнах и с использованием преобразования координат в запаздывающие временные рамки: здесь переменная - давление

[3] Перейти ↑ Bateman, H. (1915). Некоторые недавние исследования движения жидкостей. Ежемесячный обзор погоды, 43 (4), 163-170.

[4] Уиземовские, GB (2011). Линейные и нелинейные волны (Том 42). Джон Вили и сыновья.

[5] Бюргерс, JM (1948). Математическая модель, иллюстрирующая теорию турбулентности. В «Успехах прикладной механики» (т. 1, с. 171-199). Эльзевир.

[6] Кэмерон, Мария. «Заметки об уравнении Бюргерса» (PDF) .

[7] Перейти ↑ Chandrasekhar, S. (1943). О распаде плоских ударных волн (Доклад). Баллистические исследовательские лаборатории. Отчет № 423.

[8] Перейти ↑ Forsyth, AR (1903). Трактат о дифференциальных уравнениях . Лондон: Макмиллан.

[9] Коул, Джулиан (1951). «О квазилинейном параболическом уравнении, встречающемся в аэродинамике». Квартал прикладной математики . 9 (3): 225–236. JSTOR 43633894 .

[10] Эберхард Хопф (сентябрь 1950 г.). «Уравнение в частных производных _y u _t + uu _x = μu _xx ». Сообщения по чистой и прикладной математике . 3 (3): 201–230. DOI : 10.1002 / cpa.3160030302 .

[11] Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Vol. II.

[12] Wang, W .; Робертс, AJ (2015). "Диффузионное приближение для автомодельности стохастической адвекции в уравнении Бюргерса". Сообщения по математической физике . 333 : 1287–1316. arXiv : 1203.0463 . DOI : 10.1007 / s00220-014-2117-7 .

[1]