В численном анализе и вычислительной гидродинамике , теорема Годунова - также известная как теорема барьера порядка Годунова - это математическая теорема важной роли в развитии теории схем с высоким разрешением для численного решения дифференциальных уравнений в частных .
Теорема утверждает, что:
- Линейные численные схемы для решения уравнений в частных производных (PDE), обладающие свойством не генерировать новых экстремумов ( монотонная схема ), могут иметь точность не выше первого порядка.
Первоначально теорему доказал профессор Сергей К. Годунов, будучи кандидатом наук. студентка МГУ . Это его самая влиятельная работа в области прикладной и вычислительной математики, которая оказала большое влияние на науку и технику, особенно на разработку методов, используемых в вычислительной гидродинамике (CFD) и других вычислительных областях. Одним из основных его вкладов было доказательство теоремы (Годунов, 1954; Годунов, 1959), носящей его имя.
Обычно мы следуем Wesseling (2001).
В стороне
Предположим, что задача континуума, описываемая PDE , должна быть вычислена с использованием числовой схемы, основанной на единой вычислительной сетке и одношаговом, постоянном размере шага, M точек сетки, алгоритме интегрирования, явном или неявном. Тогда если а также , такую схему можно описать как
Другими словами, решение вовремя и расположение является линейной функцией решения на предыдущем временном шаге . Мы предполагаем, что определяет однозначно. Теперь, поскольку приведенное выше уравнение представляет линейную зависимость между а также мы можем выполнить линейное преобразование, чтобы получить следующую эквивалентную форму:
Теорема 1: сохранение монотонности.
Приведенная выше схема уравнения (2) сохраняет монотонность тогда и только тогда, когда
Доказательство - Годунов (1959)
Случай 1: (достаточное условие)
Предположим, что (3) применимо и что монотонно возрастает с увеличением .
Тогда, потому что отсюда следует, что так как
Это означает, что в этом случае сохраняется монотонность.
Случай 2: (необходимое условие)
Докажем необходимое условие от противного. Предположить, что для некоторых и выберем следующие монотонно возрастающие ,
Тогда из уравнения (2) получаем
Теперь выберите , дать
откуда следует, что это НЕ растет, и мы имеем противоречие. Таким образом, монотонность НЕ сохраняется для, что завершает доказательство.
Теорема 2: теорема Годунова о барьере порядка
Линейные одношаговые численные схемы второго порядка точности для уравнения конвекции
не может сохранять монотонность, если
где является числом условия Куранта – Фридрихса – Леви со знаком (CFL).
Доказательство - Годунов (1959)
Предположим численную схему вида, описываемого уравнением (2), и выберем
Точное решение
Если мы предположим, что схема имеет точность как минимум второго порядка, она должна дать следующее решение точно:
Подстановка в уравнение (2) дает:
Предположим, что схема IS с сохранением монотонности, тогда согласно теореме 1 выше,.
Теперь из уравнения (15) ясно, что
Предполагать и выберите такой, что . Это означает, что а также .
Следовательно,
что противоречит уравнению (16) и завершает доказательство.
Исключительная ситуация, при которой представляет только теоретический интерес, так как это не может быть реализовано с переменными коэффициентами. Кроме того, для практических задач невозможно использовать целые числа CFL, превышающие единицу.