Третья основная форма

В этой статье не процитировать какие - либо источники . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален . Поиск источников:  «Третья фундаментальная форма»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( октябрь 2015 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

В дифференциальной геометрии , то третья основная форма представляет собой поверхность , метрика обозначается . В отличие от второй основной формы , она не зависит от нормали к поверхности .${\ displaystyle \ mathrm {I \! I \! I}}$

Определение [ править ]

Пусть S - оператор формы, а M - гладкая поверхность . Также пусть u _p и v _p - элементы касательного пространства T _p ( M ) . Третья фундаментальная форма тогда дается выражением

${\ Displaystyle \ mathrm {I \! I \! I} (\ mathbf {u} _ {p}, \ mathbf {v} _ {p}) = S (\ mathbf {u} _ {p}) \ cdot S (\ mathbf {v} _ {p}) \ ,.}$

Свойства [ править ]

Третья фундаментальная форма полностью выражается в терминах первой фундаментальной формы и второй фундаментальной формы . Если мы допустим, что H - средняя кривизна поверхности, а K - гауссова кривизна поверхности, мы имеем

${\ displaystyle \ mathrm {I \! I \! I} -2H \ mathrm {I \! I} + K \ mathrm {I} = 0 \ ,.}$

Поскольку оператор формы самосопряжен, для u , v ∈ T _p ( M ) находим

${\ displaystyle \ mathrm {I \! I \! I} (u, v) = \ langle Su, Sv \ rangle = \ langle u, S ^ {2} v \ rangle = \ langle S ^ {2} u, v \ rangle \ ,.}$

См. Также [ править ]

• Метрический тензор
• Первая фундаментальная форма
• Вторая фундаментальная форма
• Тавтологическая одноформа