Рамка Дарбу

В дифференциальной геометрии на поверхность , А рама Дарба является естественной подвижной репер , построенной на поверхность. Это аналог системы Френе – Серре применительно к геометрии поверхности. Репер Дарбу существует в любой не омбилической точке поверхности, вложенной в евклидово пространство . Он назван в честь французского математика Жана Гастона Дарбу .

Каркас Дарбу встроенной кривой [ править ]

Пусть S - ориентированная поверхность в трехмерном евклидовом пространстве E ³ . Построение шкал Дарбу на S сначала рассматривает системы отсчета, движущиеся по кривой в S , а затем специализируется, когда кривые движутся в направлении главных кривизны .

Определение [ править ]

В каждой точке p ориентированной поверхности можно прикрепить единичный вектор нормали u ( p ) уникальным способом, как только ориентация была выбрана для нормали в любой конкретной фиксированной точке. Если γ ( ы ) представляет собой кривой в S , параметризованная длиной дуги, то Дарбоукс кадр из гаммы определяются

${\ Displaystyle \ mathbf {T} (s) = \ gamma '(s),}$    ( касательная к единице )

${\ Displaystyle \ mathbf {u} (s) = \ mathbf {u} (\ gamma (s)),}$    ( агрегат нормальный )

${\displaystyle \mathbf {t} (s)=\mathbf {u} (s)\times \mathbf {T} (s),}$    ( касательная нормаль )

Тройка T , t , u определяет положительно ориентированный ортонормированный базис, прикрепленный к каждой точке кривой: естественный движущийся репер вдоль вложенной кривой.

Геодезическая кривизна, нормальная кривизна и относительное кручение [ править ]

Кривая на поверхности. Рамка Френе – Серре: касательная - красным, нормаль (Френе) - голубым, а бинормаль - фиолетовым. Рамка Дарбу: касательная - красным, нормаль к поверхности - синим, а касательная - зеленым. Проекции по нормали к поверхности и по касательной к поверхности показывают плоские кривые, кривизны которых являются геодезической кривизной и нормальной кривизной соответственно.

Обратите внимание, что система отсчета Дарбу для кривой не дает естественной подвижной системы отсчета на поверхности, поскольку она все еще зависит от первоначального выбора касательного вектора. Чтобы получить подвижный репер на поверхности, мы сначала сравним репер Дарбу для γ с его репером Френе – Серре. Позволять

${\displaystyle \mathbf {T} (s)=\gamma '(s),}$    ( касательная к единице , как указано выше)

${\displaystyle \mathbf {N} (s)={\frac {\mathbf {T} '(s)}{\|\mathbf {T} '(s)\|}},}$    ( вектор нормали Френе )

${\displaystyle \mathbf {B} (s)=\mathbf {T} (s)\times \mathbf {N} (s),}$    ( бинормальный вектор Френе ).

Поскольку касательные векторы одинаковы в обоих случаях, существует уникальный угол α, такой, что поворот в плоскости N и B дает пару t и u :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \alpha &\sin \alpha \\0&-\sin \alpha &\cos \alpha \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {N} \\\mathbf {B} \end{bmatrix}}.}$

Беря дифференциал и применяя формулы Френе – Серре, получаем

${\displaystyle \mathrm {d} {\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\kappa \cos \alpha \,\mathrm {d} s&-\kappa \sin \alpha \,\mathrm {d} s\\-\kappa \cos \alpha \,\mathrm {d} s&0&\tau \,\mathrm {d} s+\mathrm {d} \alpha \\\kappa \sin \alpha \,\mathrm {d} s&-\tau \,\mathrm {d} s-\mathrm {d} \alpha &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}}$

${\displaystyle ={\begin{bmatrix}0&\kappa _{g}\,\mathrm {d} s&\kappa _{n}\,\mathrm {d} s\\-\kappa _{g}\,\mathrm {d} s&0&\tau _{r}\,\mathrm {d} s\\-\kappa _{n}\,\mathrm {d} s&-\tau _{r}\,\mathrm {d} s&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}}$

где:

• κ _g - геодезическая кривизна кривой,
• κ _n - нормальная кривизна кривой, а
• τ _r - относительное кручение (также называемое геодезическим кручением ) кривой.

Рамка Дарбу на поверхности [ править ]

Этот раздел специализирует случай реперы Дарбу на кривой для случая, когда кривая является главной кривой поверхности ( линией кривизны ). В этом случае, поскольку главные кривые канонически связаны с поверхностью во всех не омбилических точках, репер Дарбу является каноническим подвижным репером .

Трехгранник [ править ]

Дарб трехгранник , состоящий из точки Р и три ортонормальных векторов х ₁ , е ₂ , х ₃ , основанных на P .

Введение трехгранника (или триэдра ), изобретения Дарбу, позволяет концептуально упростить проблему перемещения систем отсчета на кривых и поверхностях за счет единообразной обработки координат точки на кривой и векторов системы отсчета. Трехгранника состоит из точки Р в евклидовом пространстве, и три ортонормальные векторы е ₁ , е ₂ и е ₃ основе в точке P . Трехгранника является трехгранником, компоненты которого зависит от одного или нескольких параметров. Например, трехгранник движется по кривой, если точка P зависит от одного параметраs , а P ( s ) очерчивает кривую. Точно так же, если P ( s , t ) зависит от пары параметров, то это отслеживает поверхность.

Трехгранника называется адаптирована к поверхности , если Р всегда лежит на поверхности и е ₃ представляет собой ориентированную единичный вектор нормали к поверхности в точке P . В случае репера Дарбу вдоль вложенной кривой четверка

( P ( s ) = γ ( s ), e ₁ ( s ) = T ( s ), e ₂ ( s ) = t ( s ), e ₃ ( s ) = u ( s ))

определяет тетраэдр, адаптированный к поверхности, в которую вложена кривая.

В терминах этого трехгранника структурные уравнения имеют вид

${\displaystyle \mathrm {d} {\begin{bmatrix}\mathbf {P} \\\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\mathrm {d} s&0&0\\0&0&\kappa _{g}\,\mathrm {d} s&\kappa _{n}\,\mathrm {d} s\\0&-\kappa _{g}\,\mathrm {d} s&0&\tau _{r}\,\mathrm {d} s\\0&-\kappa _{n}\,\mathrm {d} s&-\tau _{r}\,\mathrm {d} s&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} \\\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}.}$

Смена кадра [ править ]

Предположим, что любой другой адаптированный трехгранник

( P , e ₁ , e ₂ , e ₃ )

дано для вложенной кривой. Поскольку по определению P остается той же точкой на кривой, что и для трехгранника Дарбу, а e ₃ = u - единичная нормаль, этот новый трехгранник связан с трехгранником Дарбу поворотом формы

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {P} \\\mathbf {e} _{1}\\\mathbf {e} _{2}\\\mathbf {e} _{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&\cos \theta &\sin \theta &0\\0&-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} \\\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}}$

где θ = θ ( s ) является функцией s . Взяв дифференциал и применив уравнение Дарбу, получаем

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} \mathbf {P} &=\mathbf {T} \mathrm {d} s=\omega ^{1}\mathbf {e} _{1}+\omega ^{2}\mathbf {e} _{2}\\\mathrm {d} \mathbf {e} _{i}&=\sum _{j}\omega _{i}^{j}\mathbf {e} _{j}\end{aligned}}}$

где (ω ⁱ , ω _i ^j ) - функции от s , удовлетворяющие

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega ^{1}&=\cos \theta \,\mathrm {d} s,\quad \omega ^{2}=-\sin \theta \,\mathrm {d} s\\\omega _{i}^{j}&=-\omega _{j}^{i}\\\omega _{1}^{2}&=\kappa _{g}\,\mathrm {d} s+\mathrm {d} \theta \\\omega _{1}^{3}&=(\kappa _{n}\cos \theta +\tau _{r}\sin \theta )\,\mathrm {d} s\\\omega _{2}^{3}&=-(\kappa _{n}\sin \theta +\tau _{r}\cos \theta )\,\mathrm {d} s\end{aligned}}}$

Структурные уравнения [ править ]

Пуанкаре лемму , применительно к каждой двойной дифференциал дд Р , дд е _я , дает следующие картановские структурные уравнения . Из dd P = 0,

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} \omega ^{1}&=\omega ^{2}\wedge \omega _{2}^{1}\\\mathrm {d} \omega ^{2}&=\omega ^{1}\wedge \omega _{1}^{2}\\0&=\omega ^{1}\wedge \omega _{1}^{3}+\omega ^{2}\wedge \omega _{2}^{3}\end{aligned}}}$

Из dd e _i = 0,

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} \omega _{1}^{2}&=\omega _{1}^{3}\wedge \omega _{3}^{2}\\\mathrm {d} \omega _{1}^{3}&=\omega _{1}^{2}\wedge \omega _{2}^{3}\\\mathrm {d} \omega _{2}^{3}&=\omega _{2}^{1}\wedge \omega _{1}^{3}\end{aligned}}}$

Последние представляют собой уравнения Гаусса – Кодацци для поверхности, выраженные на языке дифференциальных форм.

Основные кривые [ править ]

Рассмотрим вторую основную форму из S . Это симметричная 2-форма на S, заданная формулой

${\displaystyle II=-\mathrm {d} \mathbf {N} \cdot \mathrm {d} \mathbf {P} =\omega _{1}^{3}\odot \omega ^{1}+\omega _{2}^{3}\odot \omega ^{2}={\begin{pmatrix}\omega ^{1}\omega ^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ii_{11}&ii_{12}\\ii_{21}&ii_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\omega ^{1}\\\omega ^{2}\end{pmatrix}}.}$

По спектральной теореме существует некоторый выбор системы отсчета ( e _i ), в которой ( ii _ij ) - диагональная матрица . Собственные значения - это главные кривизны поверхности. Диагонализирующая рамка a ₁ , a ₂ , a ₃ состоит из вектора нормали a ₃ и двух главных направлений a ₁ и a ₂ . Это называется каркасом Дарбу на поверхности. Фрейм канонически определяется (например, упорядочиванием собственных значений) вдали отпуповины поверхности.

Перемещение кадров [ править ]

Рама Дарбу - это пример естественной движущейся рамы, определенной на поверхности. С небольшими изменениями понятие подвижного репера может быть обобщено на гиперповерхность в n- мерном евклидовом пространстве или на любое вложенное подмногообразие . Это обобщение - один из многих вкладов Эли Картана в метод движущихся реперов.

Рамки на евклидовом пространстве [ править ]

(Евклидова) шкала на евклидовом пространстве E ⁿ является многомерным аналогом трехгранника. Он определяется как ( n  + 1) -набор векторов, взятых из E ⁿ , ( v ; f ₁ , ..., f _n ), где:

• v является выбор происхождения из Е ^п , и
• ( f ₁ , ..., f _n ) - ортонормированный базис векторного пространства, основанный на v .

Пусть F ( n ) - ансамбль всех евклидовых шкал. Евклидова группа действует на F ( п ) следующим образом . Пусть φ ∈ Euc ( n ) - элемент евклидовой группы, разлагающийся как

${\displaystyle \phi (x)=Ax+x_{0}}$

где A - ортогональное преобразование, а x ₀ - перенос. Затем на кадре

${\displaystyle \phi (v;f_{1},\dots ,f_{n}):=(\phi (v);Af_{1},\dots ,Af_{n}).}$

Геометрически аффинная группа перемещает начало координат обычным образом и действует посредством вращения на ортогональные базисные векторы, поскольку они «привязаны» к конкретному выбору начала координат. Это эффективное и транзитивное действие группы , поэтому F ( n ) является главным однородным пространством Euc ( n ).

Структурные уравнения [ править ]

Определите следующую систему функций F ( n ) → E ⁿ : ^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}P(v;f_{1},\dots ,f_{n})&=v\\e_{i}(v;f_{1},\dots ,f_{n})&=f_{i},\qquad i=1,2,\dots ,n.\end{aligned}}}$

Оператор проектирования P имеет особое значение. Прообраз точки P ⁻¹ ( v ) состоит из всех ортонормированных базисов с базовой точкой в v . В частности, P  : F ( n ) → E ⁿ представляет F ( n ) как главное расслоение , структурной группой которого является ортогональная группа O ( n ). (На самом деле это главное расслоение является тавтологическим расслоением однородного пространства F ( n ) → F ( n ) / O (n ) = E ⁿ .)

Внешняя производная от Р (рассматривается как вектор-дифференциальной форме ) однозначно разлагается , как

${\displaystyle \mathrm {d} P=\sum _{i}\omega ^{i}e_{i},\,}$

для некоторой системы скалярных значных один-формы ω ^I . Аналогично существует матрица одноформ (ω _i ^j ) размера n × n такая, что

${\displaystyle \mathrm {d} e_{i}=\sum _{j}\omega _{i}^{j}e_{j}.}$

Так как е _я ортонормирован под внутренним произведением евклидова пространства, матрица 1-форм со _я ^J является кососимметрична . В частности, он однозначно определяется своей верхнетреугольной частью (ω _j ⁱ | i  <  j ). Система п ( п  + 1) / 2 на один-формы (ω ^я , ω _J ^я ( я < J )) дает абсолютную параллельность из F ( п), поскольку каждый координатный дифференциал может быть выражен через них. Под действием евклидовой группы эти формы преобразуются следующим образом. Пусть φ - евклидово преобразование, состоящее из сдвига v ⁱ и матрицы вращения ( A _j ⁱ ). Тогда по инвариантности внешней производной при откате легко проверяется следующее :

${\displaystyle \phi ^{*}(\omega ^{i})=(A^{-1})_{j}^{i}\omega ^{j}}$

${\displaystyle \phi ^{*}(\omega _{j}^{i})=(A^{-1})_{p}^{i}\,\omega _{q}^{p}\,A_{j}^{q}.}$

Кроме того, по лемме Пуанкаре имеем следующие структурные уравнения

${\displaystyle \mathrm {d} \omega ^{i}=-\omega _{j}^{i}\wedge \omega ^{j}}$

${\displaystyle \mathrm {d} \omega _{j}^{i}=-\omega _{k}^{i}\wedge \omega _{j}^{k}.}$

Адаптированные системы отсчета и уравнения Гаусса – Кодацци [ править ]

Пусть φ: M → E ⁿ - вложение p -мерного гладкого многообразия в евклидово пространство. Пространство адаптированных реперов на M , обозначаемое здесь F _φ ( M ), представляет собой набор наборов ( x ; f ₁ , ..., f _n ), где x ∈ M , а f _i образуют ортонормированный базис E ⁿ такие, что f ₁ , ..., f _p касаются φ ( M) в точке φ ( v ). ^[2]

Уже рассмотрено несколько примеров адаптированных фреймов. Первый вектор T системы отсчета Френе – Серре ( T , N , B ) касается кривой, и все три вектора ортонормированы между собой. Точно так же репер Дарбу на поверхности является ортонормированным репером, первые два вектора которого касаются поверхности. Адаптированные системы отсчета полезны, потому что инвариантные формы (ω ⁱ , ω _j ⁱ ) откатываются вдоль φ, и структурные уравнения сохраняются при этом откате. Следовательно, полученная система форм дает структурную информацию о том, как Mнаходится внутри евклидова пространства. В случае системы отсчета Френе – Серре структурные уравнения - это в точности формулы Френе – Серре, которые служат для полной классификации кривых с точностью до евклидовых движений. Общий случай аналогичен: структурные уравнения для адаптированной системы реперов классифицируют произвольные вложенные подмногообразия с точностью до евклидова движения.

Более подробно, проекция π: F ( M ) → M, заданная формулой π ( x ; f _i ) = x, дает F ( M ) структуру главного расслоения на M (структурная группа для расслоения O ( p ) × O ( n  -  p ).) Это главное расслоение вкладывается в расслоение евклидовых шкал F ( n ) посредством φ ( v ; f _i ): = (φ ( v ); f _i ) ∈ F ( n). Следовательно, можно определить откаты инвариантных форм из F ( n ):

${\displaystyle \theta ^{i}=\phi ^{*}\omega ^{i},\quad \theta _{j}^{i}=\phi ^{*}\omega _{j}^{i}.}$

Поскольку внешняя производная эквивариантна относительно откатов, выполняются следующие структурные уравнения

${\displaystyle \mathrm {d} \theta ^{i}=-\theta _{j}^{i}\wedge \theta ^{j},\quad \mathrm {d} \theta _{j}^{i}=-\theta _{k}^{i}\wedge \theta _{j}^{k}.}$

Кроме того, поскольку некоторые из векторов системы отсчета f ₁ ... f _p касаются M, а другие - нормальны, структурные уравнения естественным образом разделяются на тангенциальный и нормальный вклады. ^[3] Пусть строчные латинские индексы a , b , c изменяются от 1 до p (т. Е. Тангенциальные индексы), а греческие индексы μ, γ изменяются от p +1 до n (т. Е. Нормальные индексы). Первое наблюдение:

${\displaystyle \theta ^{\mu }=0,\quad \mu =p+1,\dots ,n}$

поскольку эти формы порождают подмногообразие φ ( M ) (в смысле теоремы интегрирования Фробениуса ).

Первая система структурных уравнений теперь принимает вид

${\displaystyle \left.{\begin{array}{l}\mathrm {d} \theta ^{a}=-\sum _{b=1}^{p}\theta _{b}^{a}\wedge \theta ^{b}\\\\0=\mathrm {d} \theta ^{\mu }=-\sum _{b=1}^{p}\theta _{b}^{\mu }\wedge \theta ^{b}\end{array}}\right\}\,\,\,(1)}$

Из них последнее влечет по лемме Картана, что

${\displaystyle \theta _{b}^{\mu }=s_{ab}^{\mu }\theta ^{a}}$

где S ^М _AB является симметричным на течение и б (на вторых основных формах ф ( М )). Следовательно, уравнения (1) являются формулами Гаусса (см. Уравнения Гаусса – Кодацци ). В частности, & thetas ; _б является формой соединения для связи Леви-Чивита на М .

Вторые структурные уравнения также распадаются на следующие

${\displaystyle \left.{\begin{array}{l}\mathrm {d} \theta _{b}^{a}+\sum _{c=1}^{p}\theta _{c}^{a}\wedge \theta _{b}^{c}=\Omega _{b}^{a}=-\sum _{\mu =p+1}^{n}\theta _{\mu }^{a}\wedge \theta _{b}^{\mu }\\\\\mathrm {d} \theta _{b}^{\gamma }=-\sum _{c=1}^{p}\theta _{c}^{\gamma }\wedge \theta _{b}^{c}-\sum _{\mu =p+1}^{n}\theta _{\mu }^{\gamma }\wedge \theta _{b}^{\mu }\\\\\mathrm {d} \theta _{\mu }^{\gamma }=-\sum _{c=1}^{p}\theta _{c}^{\gamma }\wedge \theta _{\mu }^{c}-\sum _{\delta =p+1}^{n}\theta _{\delta }^{\gamma }\wedge \theta _{\mu }^{\delta }\end{array}}\right\}\,\,\,(2)}$

Первое уравнение - это уравнение Гаусса, которое выражает форму кривизны Ω матрицы M через вторую фундаментальную форму. Второе - это уравнение Кодацци – Майнарди, которое выражает ковариантные производные второй фундаментальной формы в терминах нормальной связности. Третье - это уравнение Риччи .

См. Также [ править ]

• Производная Дарбу
• Форма Маурера – Картана

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Картан, Эли (1937). Теория конечных и непрерывных групп и геометрических отличий по методу восстановления мобильных . Готье-Виллар.
• Картан Э. (Приложения Германа Р.) (1983). Геометрия римановых пространств . Math Sci Press, Массачусетс.CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Дарбу, Гастон (1887, 1889, 1896). Leçons sur la théorie génerale des поверхностей: [http://www.hti.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=ABV4153.0001.001 Volume I], [http: // www .hti.umich.edu / cgi / t / text / text-idx? c = umhistmath; idno = ABV4153.0002.001 Том II], [http://www.hti.umich.edu/cgi/t/text/text -idx? c = umhistmath; idno = ABV4153.0003.001 Том III], [http://www.hti.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=ABV4153.0004.001 Том IV ] . Готье-Виллар. Проверить значения даты в: |year=( помощь ); Внешняя ссылка в |title=( помощь )CS1 maint: discouraged parameter (link)

• Гуггенхаймер, Генрих (1977). «Глава 10. Поверхности». Дифференциальная геометрия . Дувр. ISBN 0-486-63433-7.
• Спивак, Майкл (1999). Комплексное введение в дифференциальную геометрию (Том 3) . Опубликовать или погибнуть. ISBN 0-914098-72-1.
• Спивак, Майкл (1999). Всестороннее введение в дифференциальную геометрию (Том 4) . Опубликовать или погибнуть. ISBN 0-914098-73-X.
• Штернберг, Шломо (1964). Лекции по дифференциальной геометрии . Прентис-Холл.