Элемент линии

В геометрии , то линейный элемент или элемент длины можно неформально рассматривать как отрезок прямого , связанный с бесконечно малым вектором смещения в метрическом пространстве . Длина линейного элемента, которую можно рассматривать как дифференциальную длину дуги , является функцией метрического тензора и обозначается ds.

Линейные элементы используются в физике , особенно в теориях гравитации (в первую очередь в общей теории относительности ), где пространство-время моделируется как искривленное псевдориманово многообразие с соответствующим метрическим тензором . ^[1]

Общая формулировка [ править ]

Определение линейного элемента и длины дуги [ править ]

Координат -независимого определения квадрата линейного элемент DS в качестве п - мерное риманового или псевдориманово многообразию (в физике обычно лоренцево многообразие ) является «квадратом длины» с бесконечно малым смещением ^[2] (в псевдо риманове многообразия, возможно, отрицательное), квадратный корень которого следует использовать для вычисления длины кривой: ${\ displaystyle d \ mathbf {q}}$

{\ displaystyle ds ^ {2} = d \ mathbf {q} \ cdot d \ mathbf {q} = g (d \ mathbf {q}, d \ mathbf {q})}

где g - метрический тензор , · обозначает скалярное произведение , а d q - бесконечно малое смещение на (псевдо) римановом многообразии. Параметризуя кривую, параметризованную параметром , мы можем определить длину дуги длины кривой между , и является интегралом : ^[3] ${\ Displaystyle д (\ лямбда)}$ ${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ Displaystyle д (\ лямбда _ {1})}$ ${\ Displaystyle д (\ лямбда _ {2})}$

{\ displaystyle s = \ int _ {\ lambda _ {1}} ^ {\ lambda _ {2}} d \ lambda {\ sqrt {\ left | ds ^ {2} \ right |}} = \ int _ { \ lambda _ {1}} ^ {\ lambda _ {2}} d \ lambda {\ sqrt {\ left | g \ left ({\ frac {dq} {d \ lambda}}, {\ frac {dq} { d \ lambda}} \ right) \ right |}} = \ int _ {\ lambda _ {1}} ^ {\ lambda _ {2}} d \ lambda {\ sqrt {\ left | g_ {ij} {\ гидроразрыв {dq ^ {i}} {d \ lambda}} {\ frac {dq ^ {j}} {d \ lambda}} \ right |}}}

Чтобы вычислить разумную длину кривых в псевдоримановых многообразиях, лучше всего предположить, что бесконечно малые смещения везде имеют один и тот же знак. Например, в физике квадрат линейного элемента вдоль кривой временной шкалы будет (в соглашении о подписи) отрицательным, а отрицательный квадратный корень из квадрата линейного элемента вдоль кривой будет измерять собственное время, прошедшее для наблюдателя, движущегося вдоль кривой. . С этой точки зрения, метрика определяет также , в дополнение к линии элемента на поверхность и объемные элементы и т.д. ${\ displaystyle - +++}$

Отождествление квадрата линейного элемента с метрическим тензором [ править ]

Поскольку произвольный «квадрат длины дуги» полностью определяет метрику, обычно лучше рассматривать выражение для как определение самого метрического тензора, записанного в наводящей на размышления, но не тензорной записи: ${\ displaystyle d \ mathbf {q}}$ ${\ displaystyle ds ^ {2}}$ ${\ displaystyle ds ^ {2}}$

{\ displaystyle ds ^ {2} = g}

Это отождествление квадрата длины дуги с метрикой еще проще увидеть в n- мерных общих криволинейных координатах q = ( q ¹ , q ² , q ³ , ..., q ⁿ ) , где он записывается как симметричный тензор ранга 2 ^[4]^[5], совпадающий с метрическим тензором: ${\ displaystyle ds ^ {2}}$

ds^{2}=g_{ij}dq^{i}dq^{j}=g

.

Здесь индексы i и j принимают значения 1, 2, 3, ..., n, и используется соглашение Эйнштейна о суммировании . Общие примеры (псевдо) римановых пространств включают трехмерное пространство (без учета временных координат) и, действительно, четырехмерное пространство - время .

Линейные элементы в евклидовом пространстве [ править ]

Элемент векторной линии d r (зеленый) в трехмерном евклидовом пространстве, где λ - параметр кривой пространства (светло-зеленый).

Ниже приведены примеры того, как элементы линии находятся из метрики.

Декартовы координаты [ править ]

Простейший элемент линии находится в декартовых координатах - в этом случае метрика - это просто дельта Кронекера :

g_{ij}=\delta _{ij}

(здесь i, j = 1, 2, 3 для пробела) или в матричной форме ( i обозначает строку, j обозначает столбец):

[g_{ij}]={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}

Общие криволинейные координаты сводятся к декартовым координатам:

(q^{1},q^{2},q^{3})=(x,y,z)\,\Rightarrow \,d\mathbf {r} =(dx,dy,dz)

так

ds^{2}=g_{ij}dq^{i}dq^{j}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}

Ортогональные криволинейные координаты [ править ]

Для всех ортогональных координат метрика определяется следующим образом: ^[6]

[g_{ij}]={\begin{pmatrix}h_{1}^{2}&0&0\\0&h_{2}^{2}&0\\0&0&h_{3}^{2}\end{pmatrix}}

куда

h_{i}=\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\right|

для i = 1, 2, 3 - это масштабные коэффициенты , поэтому квадрат линейного элемента равен:

ds^{2}=h_{1}^{2}(dq^{1})^{2}+h_{2}^{2}(dq^{2})^{2}+h_{3}^{2}(dq^{3})^{2}

Ниже приведены некоторые примеры линейных элементов в этих координатах. ^[7]

Система координат	(q ¹ , q ² , q ³ )	Метрическая	Элемент линии
Декартово	( х , у , г )	$[g_{ij}]={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}$	$ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$
Плоские поляры	( г , θ)	$[g_{ij}]={\begin{pmatrix}1&0\\0&r^{2}\\\end{pmatrix}}$	$ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta \ ^{2}$
Сферические поляры	( г , θ, φ)	$[g_{ij}]={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \\\end{pmatrix}}$	$ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta \ ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \ d\phi \ ^{2}$
Цилиндрические поляры	( г , θ, z )	$[g_{ij}]={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}$	$ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta \ ^{2}+dz^{2}$

Общие криволинейные координаты [ править ]

Учитывая произвольный базис пространства размерности , метрика определяется как скалярное произведение базисных векторов. $n,\{{\hat {b}}_{i}\}$

$g_{ij}=\langle {\hat {b}}_{i},{\hat {b}}_{j}\rangle$

Где и внутренний продукт по отношению к окружающему пространству (обычно его ) $1\leq i,j\leq n$ $\delta _{ij}$

В координатной основе ${\hat {b}}_{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}$

Координатный базис - это особый тип базиса, который регулярно используется в дифференциальной геометрии.

Линейные элементы в 4-м пространстве-времени [ править ]

Минковское пространство-время [ править ]

Метрика Минковского является: ^[8]^[9]

[g_{ij}]=\pm {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\\\end{pmatrix}}

где выбран один или другой знак, используются оба соглашения. Это применимо только к плоскому пространству-времени . Координаты даны в 4-х позициях :

\mathbf {x} =(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(ct,\mathbf {r} )\,\Rightarrow \,d\mathbf {x} =(cdt,d\mathbf {r} )

поэтому элемент строки:

ds^{2}=\pm (c^{2}dt^{2}-d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} ).

Координаты Шварцшильда [ править ]

В координатах Шварцшильда координаты равны , являясь общей метрикой вида: $\left(t,r,\theta ,\phi \right)$

[g_{ij}]={\begin{pmatrix}-a(r)^{2}&0&0&0\\0&b(r)^{2}&0&0\\0&0&r^{2}&0\\0&0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \\\end{pmatrix}}

(обратите внимание на аналогии с метрикой в трехмерных сферических полярных координатах).

поэтому элемент строки:

ds^{2}=-a(r)^{2}\,dt^{2}+b(r)^{2}\,dr^{2}+r^{2}\,d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}.

Общее пространство-время [ править ]

Независимое от координат определение квадрата линейного элемента d s в пространстве-времени : ^[10]

ds^{2}=d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} =g(d\mathbf {x} ,d\mathbf {x} )

По координатам:

ds^{2}=g_{\alpha \beta }dx^{\alpha }dx^{\beta }

где для этого случая индексы α и β пробегают 0, 1, 2, 3 для пространства-времени.

Это пространственно-временной интервал - мера разделения между двумя произвольно близкими событиями в пространстве-времени . В специальной теории относительности он инвариантен относительно преобразований Лоренца . В общей теории относительности он инвариантен относительно произвольных обратимых дифференцируемых преобразований координат .

См. Также [ править ]

Ковариация и контравариантность векторов
Первая фундаментальная форма
Список тем по теории интеграции и меры
Метрический тензор
Исчисление Риччи
Повышение и понижение показателей

Ссылки [ править ]

Перейти ↑ Gravitation, JA Wheeler, C. Misner, KS Thorne, WH Freeman & Co, 1973, ISBN 0-7167-0344-0
^ Тензорное исчисление, DC Kay, Schaum's Outlines, McGraw Hill (США), 1988, ISBN 0-07-033484-6
^ Векторный анализ (2-е издание), MR Spiegel, S. Lipcshutz, D. Spellman, Schaum's Outlines, McGraw Hill (США), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7
^ Векторный анализ (2-е издание), MR Spiegel, S. Lipcshutz, D. Spellman, Schaum's Outlines, McGraw Hill (США), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7
^ Введение в тензорный анализ: для инженеров и ученых-прикладников, JR Tyldesley, Longman, 1975, ISBN 0-582-44355-5
^ Векторный анализ (2-е издание), MR Spiegel, S. Lipcshutz, D. Spellman, Schaum's Outlines, McGraw Hill (США), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7
^ Тензорное исчисление, DC Kay, Schaum's Outlines, McGraw Hill (США), 1988, ISBN 0-07-033484-6
^ Relativity демистифицирована, Д. МакМагон, Mc Грау Хилл (США), 2006, ISBN 0-07-145545-0
Перейти ↑ Gravitation, JA Wheeler, C. Misner, KS Thorne, WH Freeman & Co, 1973, ISBN 0-7167-0344-0
Перейти ↑ Gravitation, JA Wheeler, C. Misner, KS Thorne, WH Freeman & Co, 1973, ISBN 0-7167-0344-0

[1] Перейти ↑ Gravitation, JA Wheeler, C. Misner, KS Thorne, WH Freeman & Co, 1973, ISBN 0-7167-0344-0

[2] Тензорное исчисление, DC Kay, Schaum's Outlines, McGraw Hill (США), 1988, ISBN 0-07-033484-6

[3] Векторный анализ (2-е издание), MR Spiegel, S. Lipcshutz, D. Spellman, Schaum's Outlines, McGraw Hill (США), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7

[4] Векторный анализ (2-е издание), MR Spiegel, S. Lipcshutz, D. Spellman, Schaum's Outlines, McGraw Hill (США), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7

[5] Введение в тензорный анализ: для инженеров и ученых-прикладников, JR Tyldesley, Longman, 1975, ISBN 0-582-44355-5

[6] Векторный анализ (2-е издание), MR Spiegel, S. Lipcshutz, D. Spellman, Schaum's Outlines, McGraw Hill (США), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7

[7] Тензорное исчисление, DC Kay, Schaum's Outlines, McGraw Hill (США), 1988, ISBN 0-07-033484-6

[8] Relativity демистифицирована, Д. МакМагон, Mc Грау Хилл (США), 2006, ISBN 0-07-145545-0

[9] Перейти ↑ Gravitation, JA Wheeler, C. Misner, KS Thorne, WH Freeman & Co, 1973, ISBN 0-7167-0344-0

[10] Перейти ↑ Gravitation, JA Wheeler, C. Misner, KS Thorne, WH Freeman & Co, 1973, ISBN 0-7167-0344-0

[1]