Полукубическая парабола

Полукубическая парабола для различных a .

В математике , А каспидальная кубической или полукубическая парабола является алгебраической плоской кривой , которая имеет неявное уравнение вида

${\displaystyle y^{2}-a^{2}x^{3}=0}$

(с a ≠ 0 ) в некоторой декартовой системе координат .

Решение для приводит к явному виду${\displaystyle y}$

${\displaystyle y=\pm ax^{\frac {3}{2}},}$

откуда следует, что каждая действительная точка удовлетворяет x ≥ 0 . Показатель степени объясняет термин полукубическая парабола . ( Параболу можно описать уравнением .)${\displaystyle y=ax^{2}}$

Решение неявного уравнения относительно x дает второй явный вид

${\displaystyle x=\left({\frac {y}{a}}\right)^{\frac {2}{3}}.}$

Параметрическое уравнение

${\displaystyle \quad x=t^{2},\quad y=at^{3}}$

также можно вывести из неявного уравнения, положив ^[1]${\textstyle t={\frac {y}{ax}}.}$

Полукубические параболы - это в точности плоские кубические кривые, которые имеют каспидальную особенность ; отсюда и название куспидальной кубической .

Длина дуги кривой была рассчитана английским математиком Уильямом Нилом и опубликована в 1657 году (см. Раздел История ). ^[2]

Свойства полукубических парабол [ править ]

Сходство [ править ]

Любой полукубическая парабола это похоже на полукубической единицу параболы .${\displaystyle (t^{2},at^{3})}$ ${\displaystyle (u^{2},u^{3})}$

Доказательство: подобие (равномерное масштабирование) отображает полукубическую параболу на кривую с .${\displaystyle (x,y)\rightarrow (a^{2}x,a^{2}y)}$${\displaystyle (t^{2},at^{3})}$${\displaystyle ((at)^{2},(at)^{3})=(u^{2},u^{3})}$${\displaystyle u=at}$

Сингулярность [ править ]

Параметрическое представление является регулярным, за исключением точки . В точке кривая имеет особенность (острие). Доказательство следует из касательного вектора . Только для этого вектор имеет нулевую длину.${\displaystyle (t^{2},at^{3})}$${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle (2t,3t^{2})}$${\displaystyle t=0}$

Касательная к полукубической параболе

Касательные [ править ]

Дифференцирование полукубической блок параболы один получает в точке в верхней ветви уравнения касательной:${\displaystyle y=\pm x^{\frac {3}{2}}}$${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

• ${\displaystyle y={\frac {\sqrt {x_{0}}}{2}}\left(3x-x_{0}\right).}$

Эта касательная пересекает нижнюю ветвь ровно в одной следующей точке с координатами ^[3]

• ${\displaystyle \left({\frac {x_{0}}{4}},-{\frac {y_{0}}{8}}\right).}$

(Для доказательства этого утверждения следует использовать тот факт, что касательная дважды пересекает кривую .)${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

Arclength [ править ]

Определяя длину дуги кривой , нужно решить интеграл . Для полукубической параболы , один получает ${\displaystyle (x(t),y(t))}$${\displaystyle \int {\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}\;dt}$${\displaystyle (t^{2},at^{3}),\;0\leq t\leq b}$

${\displaystyle \int _{0}^{b}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}\;dt=\int _{0}^{b}t{\sqrt {4+9a^{2}t^{2}}}\;dt=\cdots =\left[{\frac {1}{27a^{2}}}\left(4+9a^{2}t^{2}\right)^{\frac {3}{2}}\right]_{0}^{b}\;.}$

(Интеграл можно решить заменой .)${\displaystyle u=4+9a^{2}t^{2}}$

Пример: Для (полукубической единичной параболы) и , что означает длину дуги между началом координат и точкой , получается длина дуги .${\displaystyle a=1}$${\displaystyle b=2}$${\displaystyle (4,8)}$${\displaystyle 9.073}$

Эволюция единичной параболы [ править ]

Эволюта параболы является полукубической параболой сдвинуты на 1/2 вдоль х Оу: .${\displaystyle (t^{2},t)}$${\textstyle \left({\frac {1}{2}}+t^{2},{\frac {4}{{\sqrt {3}}^{3}}}t^{3}\right)}$

Полярные координаты [ править ]

Чтобы получить представление полукубической параболы в полярных координатах, нужно определить точку пересечения прямой с кривой. Для есть одна точка , отличная от начала координат: . Эта точка находится на расстоянии от начала координат. С помощью и (см. Список идентичностей ) можно получить ^[4]${\displaystyle (t^{2},at^{3})}$${\displaystyle y=mx}$${\displaystyle m\neq 0}$${\textstyle \left({\frac {m^{2}}{a^{2}}},{\frac {m^{3}}{a^{2}}}\right)}$${\textstyle {\frac {m^{2}}{a^{2}}}{\sqrt {1+m^{2}}}}$${\displaystyle m=\tan \varphi }$${\displaystyle \sec ^{2}\varphi =1+\tan ^{2}\varphi }$

• ${\displaystyle r=\left({\frac {\tan \varphi }{a}}\right)^{2}\sec \varphi \;,\quad -{\frac {\pi }{2}}<\varphi <{\frac {\pi }{2}}.}$

Связь между полукубической параболой и кубической функцией [ править ]

Отображение полукубической параболы с помощью проективного отображения (инволюционная перспективность с осью и центром ) дает , следовательно, кубическую функцию . Куспид (начало) полукубической параболы поменяется местами с бесконечно удаленной точкой оси ординат.${\displaystyle (t^{2},t^{3})}$ ${\textstyle (x,y)\rightarrow \left({\frac {x}{y}},{\frac {1}{y}}\right)}$${\displaystyle y=1}$${\displaystyle (0,-1)}$${\textstyle \left({\frac {1}{t}},{\frac {1}{t^{3}}}\right)}$ ${\displaystyle y=x^{3}}$

Это свойство также может быть получено, если полукубическая парабола представлена однородными координатами : в уравнении (A) выполняется замена (линия на бесконечности имеет уравнение .) И умножение на . Получаем уравнение кривой ${\displaystyle x={\tfrac {x_{1}}{x_{3}}},\;y={\tfrac {x_{2}}{x_{3}}}}$${\displaystyle x_{3}=0}$${\displaystyle x_{3}^{3}}$

• в однородных координатах : .${\displaystyle x_{3}x_{2}^{2}-x_{1}^{3}=0}$

Выбор прямой как бесконечно удаленной и введение дает (аффинную) кривую .${\displaystyle x_{\color {red}2}=0}$${\displaystyle x={\tfrac {x_{1}}{x_{2}}},\;y={\tfrac {x_{3}}{x_{2}}}}$${\displaystyle y=x^{3}}$

Изохронная кривая [ править ]

Дополнительным определяющим свойством полукубической параболы является то, что это изохронная кривая , означающая, что частица, движущаяся вниз под действием силы тяжести, проходит через равные вертикальные интервалы за равные периоды времени. Таким образом, это связано с кривой таутохрон , для которой частицам в разных начальных точках всегда требуется одинаковое время, чтобы достичь дна, и кривой брахистохрон, кривой , которая минимизирует время, необходимое падающей частице, чтобы пройти от своего начала до дна. все кончено.

История [ править ]

Полукубическая парабола была открыта в 1657 году Уильямом Нилом, который вычислил длину ее дуги . Хотя длины некоторых других неалгебраических кривых, включая логарифмическую спираль и циклоиду, уже были вычислены (то есть эти кривые были исправлены ), полукубическая парабола была первой алгебраической кривой (за исключением прямой и окружности ), которую нужно исправить. ^{[1] [ оспаривается (для: Похоже, что парабола и другие конические сечения были исправлены задолго до этого)  - обсудить ]}

Ссылки [ править ]

• Август Пейн: Die semicubische oder Neil'sche Parabel, ihre Sekanten und Tangenten , 1875, Диссертация
• Клиффорд А. Пиковер: длина полукубической параболы Нейла

Внешние ссылки [ править ]

• О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Полукубическая парабола Нейла» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс.