Коха снежинка

Первые четыре итерации снежинки Коха

Первые семь итераций в анимации

Увеличение кривой Коха

Кох антиснежинка

Шестая итерация

Снежинки Коха (также известный как кривой Коха , Koch звезды , или Koch острова ^[1]^[2] ) является фрактальной кривой и один из самых ранних фракталы были описаны. Он основан на кривой Коха, появившейся в 1904 г. в статье шведского математика Хельге фон Коха «О непрерывной кривой без касательных, построенной из элементарной геометрии» ^[3] .

Снежинка Коха может быть построена итеративно, в последовательности этапов. Первый этап представляет собой равносторонний треугольник, и каждый последующий этап формируется путем добавления внешних изгибов к каждой стороне предыдущего этапа, образуя меньшие равносторонние треугольники. Области, ограниченные последовательными этапами построения снежинки, сходятся к8/5раз больше площади исходного треугольника, а периметры следующих друг за другом стадий неограниченно увеличиваются. Следовательно, снежинка охватывает конечную площадь, но имеет бесконечный периметр .

Строительство [ править ]

Снежинку Коха можно построить, начав с равностороннего треугольника , а затем рекурсивно изменив каждый отрезок линии следующим образом:

разделите отрезок прямой на три отрезка равной длины.
нарисуйте равносторонний треугольник, который имеет средний сегмент из шага 1 в качестве основания и указывает наружу.
удалите линейный сегмент, который является основанием треугольника из шага 2.

Первая итерация этого процесса дает контур гексаграммы .

Снежинка Коха - это предел, к которому приблизились, поскольку вышеуказанные шаги выполняются бесконечно. Кривая Коха, первоначально описанная Хельге фон Кохом , построена с использованием только одной из трех сторон исходного треугольника. Другими словами, три кривые Коха образуют снежинку Коха.

Представление номинально плоской поверхности на основе кривой Коха можно аналогичным образом создать, многократно сегментируя каждую линию в виде пилообразных сегментов с заданным углом. ^[4]

Фрактальная шероховатая поверхность, построенная из нескольких итераций кривой Коха

Свойства [ править ]

Периметр снежинки Коха [ править ]

Каждая итерация умножает количество сторон в снежинке Коха на четыре, поэтому количество сторон после $n$ итераций определяется как:

{\ Displaystyle N_ {n} = N_ {n-1} \ cdot 4 = 3 \ cdot 4 ^ {n} \ ,.}

Если исходный равносторонний треугольник имеет стороны длиной $s$ , длина каждой стороны снежинки после $n$ итераций равна:

{\ displaystyle S_ {n} = {\ frac {S_ {n-1}} {3}} = {\ frac {s} {3 ^ {n}}} \ ,,}

обратная степень, кратная трем исходной длине. Периметр снежинки после $n$ итераций равен:

{\ displaystyle P_ {n} = N_ {n} \ cdot S_ {n} = 3 \ cdot s \ cdot {\ left ({\ frac {4} {3}} \ right)} ^ {n} \ ,. }

Кривая Коха имеет бесконечную длину , потому что общая длина кривой увеличивается в раз4/3с каждой итерацией. Каждая итерация создает в четыре раза больше линейных сегментов, чем на предыдущей итерации, причем длина каждого из них составляет1/3длину отрезков на предыдущем этапе. Следовательно, длина кривой после $n$ итераций будет (4/3) ^$n$ умножить на периметр исходного треугольника и не ограничен, поскольку $n$ стремится к бесконечности.

Предел периметра [ править ]

Поскольку количество итераций стремится к бесконечности, предел периметра равен:

\lim _{n\rightarrow \infty }P_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }3\cdot s\cdot \left({\frac {4}{3}}\right)^{n}=\infty \,,

поскольку |4/3| > 1.

An пер 4/пер 3-мерная мера существует, но до сих пор не рассчитана. Придуманы только верхняя и нижняя границы. ^[5]

Площадь снежинки Коха [ править ]

На каждой итерации новый треугольник добавляется с каждой стороны от предыдущей итерации, поэтому количество новых треугольников, добавленных на итерации $n,$ составляет:

T_{n}=N_{n-1}=3\cdot 4^{n-1}={\frac {3}{4}}\cdot 4^{n}\,.

Площадь каждого нового треугольника, добавленного на итерации, равна 1/9площади каждого треугольника, добавленного на предыдущей итерации, поэтому площадь каждого треугольника, добавленного на итерации $n,$ равна:

a_{n}={\frac {a_{n-1}}{9}}={\frac {a_{0}}{9^{n}}}\,.

где $0$ является площадь исходного треугольника. Таким образом, общая новая площадь, добавленная на итерации $n,$ составляет:

b_{n}=T_{n}\cdot a_{n}={\frac {3}{4}}\cdot {\left({\frac {4}{9}}\right)}^{n}\cdot a_{0}

Общая площадь снежинки после $n$ итераций составляет:

A_{n}=a_{0}+\sum _{k=1}^{n}b_{k}=a_{0}\left(1+{\frac {3}{4}}\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {4}{9}}\right)^{k}\right)=a_{0}\left(1+{\frac {1}{3}}\sum _{k=0}^{n-1}\left({\frac {4}{9}}\right)^{k}\right)\,.

Сворачивание геометрической суммы дает:

A_{n}=a_{0}\left(1+{\frac {3}{5}}\left(1-\left({\frac {4}{9}}\right)^{n}\right)\right)={\frac {a_{0}}{5}}\left(8-3\left({\frac {4}{9}}\right)^{n}\right)\,.

Пределы области [ править ]

Предел площади составляет:

\lim _{n\rightarrow \infty }A_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{0}}{5}}\cdot \left(8-3\left({\frac {4}{9}}\right)^{n}\right)={\frac {8}{5}}\cdot a_{0}\,,

поскольку |4/9| <1.

Таким образом, площадь снежинки Коха равна 8/5площади исходного треугольника. Выражаясь через длину стороны $s$ исходного треугольника, это: ^[6]

{\frac {2s^{2}{\sqrt {3}}}{5}}.

Твердая революция [ править ]

Объем тела вращения снежинки Коха вокруг оси симметрии исходного равностороннего треугольника единичной стороны равен ^[7] ${\frac {11{\sqrt {3}}}{135}}\pi .$

Другие свойства [ править ]

Снежинка Коха самовоспроизводится с шестью меньшими копиями, окружающими одну большую копию в центре. Следовательно, это плитка повторения-7 (обсуждение см. В плитке Реплика ).

Фрактальной размерности кривой Коха являетсяпер 4/пер 3 ≈ 1,26186. Это больше , чем у линии (= 1) , но меньше , чем у Пеано «ы заполняющей пространство кривой (= 2).

Кривая Коха всюду непрерывна , но нигде не дифференцируема .

Тесселяция самолета [ править ]

Тесселяция двух размеров снежинки Коха

Можно построить мозаику на плоскости копиями снежинок Коха двух разных размеров. Однако такая тесселяция невозможна с использованием снежинок только одного размера. Так как каждую снежинку Коха в тесселяции можно разделить на семь меньших снежинок двух разных размеров, также можно найти тесселяцию, в которой одновременно используется более двух размеров. ^[8] Снежинки Коха и антиснежинки Коха одинакового размера могут быть использованы для мозаики плоскости.

Последовательность Туэ – Морзе и графика черепахи [ править ]

Графика черепахи - это кривая, которая создается, если автомат запрограммирован с помощью последовательности. Если для выбора состояний программы используются элементы последовательности Туэ – Морзе :

Если $t (n) = 0$ , двигаться вперед на одну единицу,
Если $t (n) = 1$ , повернуть против часовой стрелки на угол $π$ /3,

полученная кривая сходится к снежинке Коха.

Представление как система Линденмайера [ править ]

Кривая Коха может быть выражена следующей системой перезаписи ( система Линденмайера ):

Алфавит : F

Константы : +, -

Аксиома : F

Правила производства :

F → F + F - F + F

Здесь F означает «тянуть вперед», - означает «повернуть направо на 60 °», а + означает «повернуть налево на 60 °».

Чтобы создать снежинку Коха, можно использовать F - F - F (равносторонний треугольник) в качестве аксиомы.

Варианты кривой Коха [ править ]

Следуя концепции фон Коха, было разработано несколько вариантов кривой Коха, учитывающих прямые углы ( квадратичные ), другие углы ( Чезаро ), окружности и многогранники и их расширения в более высокие измерения (Sphereflake и Kochcube, соответственно).

Вариант ( размер , угол )	Иллюстрация	Строительство
≤1D, угол 60-90 °	Чезаро фрактал (85 °)	Фрактал Чезаро - это вариант кривой Коха с углом от 60 ° до 90 °. ^{[ необходима цитата ]} Первые четыре итерации антиснежинки Cesàro (четыре изгиба 60 °, расположенные в квадрате 90 °)
≈1,46D, угол 90 °	Квадратичная кривая типа 1	Первые две итерации
1.5D, угол 90 °	Квадратичная кривая типа 2	Колбаса Минковского ^[9] Первые две итерации. Его фрактальная размерность равна3/2 и находится точно посередине между размерностью 1 и 2. Поэтому его часто выбирают при изучении физических свойств нецелочисленных фрактальных объектов.
≤2D, угол 90 °	Третья итерация	Остров Минковского Четыре квадратичные кривые типа 2, расположенные в квадрате
≈1.37D, угол 90 °	Квадратичная чешуйка	4 квадратичные кривые типа 1, расположенные в виде многоугольника: первые две итерации. Известная как « Колбаса Минковского » ^[10]^[11]^[12], ее фрактальная размерность равнапер 3/ln √ 5 = 1,36521. ^[13]
≤2D, угол 90 °	Квадратичный антифлейк	Анти кривого крестика , квадратичный чешуйчатый тип 1, с кривыми , обращены внутрь , а не наружу ( Vicsek фрактальным )
≈1,49D, угол 90 °	Квадратичный крест	Еще одна вариация. Его фрактальная размерность равнапер 3.33/ln √ 5 = 1,49.
≤2D, угол 90 °	Квадратный остров ^[14]	Квадратичная кривая, итерации 0, 1 и 2; измерениепер 18/пер 6≈1,61
≤2D, угол 60 °	поверхность фон Коха	Первые три итерации естественного продолжения кривой Коха в двух измерениях.
≤2D, угол 90 °	Квадратичная поверхность типа 1	Продолжение квадратичной кривой типа 1. На рисунке слева показан фрактал после второй итерации. Анимация квадратичной поверхности .
≤3D, любое	Кривая Коха в 3D	Трехмерный фрактал, построенный из кривых Коха. Форму можно рассматривать как трехмерное расширение кривого в том же смысле , что Серпинские пирамиды и Менгер губку можно считать расширения треугольника Серпинского и ковра Серпинского . Версия кривой, используемая для этой формы, использует углы 85 °.

Квадраты можно использовать для создания подобных фрактальных кривых. Начиная с единичного квадрата и добавляя к каждой стороне на каждой итерации квадрат с размером, равным одной трети квадратов на предыдущей итерации, можно показать, что и длина периметра, и общая площадь определяются геометрической прогрессией. Прогрессия для площади сходится к 2, в то время как прогрессия для периметра расходится до бесконечности, так что, как и в случае снежинки Коха, у нас есть конечная площадь, ограниченная бесконечной фрактальной кривой. ^[15] Результирующая область заполняет квадрат с тем же центром, что и исходная, но в два раза больше площади и вращается на $π$ /4 радианы, периметр соприкасается, но никогда не перекрывается.

Общая площадь покрытия на $n-$ й итерации составляет:

A_{n}={\frac {1}{5}}+{\frac {4}{5}}\sum _{k=0}^{n}\left({\frac {5}{9}}\right)^{k}\quad {\mbox{giving}}\quad \lim _{n\rightarrow \infty }A_{n}=2\,,

а общая длина периметра составляет:

P_{n}=4\left({\frac {5}{3}}\right)^{n}a\,,

который стремится к бесконечности с увеличением $n$ .

См. Также [ править ]

Список фракталов по размерности Хаусдорфа
Рог Габриэля (бесконечная площадь поверхности, но ограниченный объем)
Кривая Госпера (также известная как кривая Пеано – Госпера или змея )
Кривая Осгуда
Самоподобие
Терагон
Функция Вейерштрасса
Парадокс береговой линии

Ссылки [ править ]

^ Аддисон, Пол С. (1997). Фракталы и хаос: иллюстрированный курс . Институт физики. п. 19. ISBN 0-7503-0400-6.
^ Lauwerier, Ганс (1991). Фракталы: бесконечно повторяющиеся геометрические фигуры . Перевод Гилл-Хоффштедт, София. Издательство Принстонского университета. п. 36. ISBN 0-691-02445-6. Мандельброт назвал это островом Коха.
^ фон Кох, Хельге (1904). "Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire" . Arkiv för matematik, astronomi och fysik (на французском языке). 1 : 681–704. JFM 35.0387.02 .
^ Алонсо-Маррокен, Ф .; Huang, P .; Hanaor, D .; Флорес-Джонсон, Э .; Пруст, Г .; Gan, Y .; Шен, Л. (2015). «Статическое трение между жесткими фрактальными поверхностями» (PDF) . Physical Review E . 92 (3): 032405. DOI : 10,1103 / PhysRevE.92.032405 . ЛВП : 2123/13835 . PMID 26465480 . - Исследование фрактальных поверхностей с помощью кривых Коха.
^ Чжу, Чжи Вэй; Чжоу, Цзо Линь; Цзя, Бао Го (октябрь 2003 г.). "О нижней границе меры Хаусдорфа кривой Коха". Acta Mathematica Sinica . 19 (4): 715–728. DOI : 10.1007 / s10114-003-0310-2 . S2CID 122517792 .
^ "Снежинка Коха" . ecademy.agnesscott.edu .
^ Маккартни, Марк (2020-04-16). «Площадь, центр тяжести и объем вращения кривой Коха». Международный журнал математического образования в науке и технологиях . 0 : 1–5. DOI : 10.1080 / 0020739X.2020.1747649 . ISSN 0020-739X .
^ Бернс, Эйдан (1994). «Фрактальные мозаики». Математический вестник . 78 (482): 193–6. DOI : 10.2307 / 3618577 . JSTOR 3618577 . .
^ Пол С. Аддисон, Фракталы и хаос: иллюстрированный курс , стр. 19, CRC Press, 1997 ISBN 0849384435 .
Перейти ↑ Weisstein, Eric W. (1999). " Колбаса Минковского ", архив.lib.msu.edu . Дата обращения: 21 сентября 2019 г.
^ Pamfilos, Париж. « Колбаса Минковского », user.math.uoc.gr/~pamfilos/ . Дата обращения: 21 сентября 2019 г.
^ Weisstein, Эрик В. "Колбаса Минковского" . MathWorld . Проверено 22 сентября 2019 .
Перейти ↑ Mandelbrot, BB (1983). Фрактальная геометрия природы , с.48. Нью-Йорк: WH Freeman. ISBN 9780716711865 . Цитируется по Weisstein, Eric W. "Minkowski Sausage" . MathWorld . Проверено 22 сентября 2019 . .
^ Аппиньянези, Ричард; изд. (2006). Знакомство с фрактальной геометрией . Значок. ISBN 978-1840467-13-0 .
↑ Продемонстрировано Джеймсом Макдональдом на публичной лекции в Университете КАУСТ 27 января 2013 г. «Архивная копия» . Архивировано из оригинала на 2013-01-12 . Проверено 29 января 2013 .CS1 maint: archived copy as title (link) получено 29 января 2013 года.

Дальнейшее чтение [ править ]

Каснер, Эдвард; Ньюман, Джеймс (2001) [1940]. «IX Изменчивость и изменчивость § Снежинка» . Математика и воображение . Dover Press . С. 344–351. ISBN 0-486-41703-4.

Внешние ссылки [ править ]

Внешнее видео
Кох Снежинка Фрактал - Ханская академия

Викискладе есть медиафайлы по теме кривой Коха .

Викискладе есть медиафайлы по теме снежинки Коха .

(2000) "Кривая фон Коха", компьютерная лаборатория efg в Wayback Machine (архивировано 20 июля 2017 года)
Поэма Бернта Вала «Кривая Коха» , Wahl.org . Проверено 23 сентября 2019 года.
Вайсштейн, Эрик В. «Снежинка Коха» . MathWorld . Проверено 23 сентября 2019 года .
- «7 итераций кривой Коха» . Сайт Wolfram Alpha . Проверено 23 сентября 2019 года .
- "Квадратные фрактальные кривые Коха" . Демонстрационный проект Вольфрама . Проверено 23 сентября 2019 года .
- "Квадратная фрактальная поверхность Коха" . Демонстрационный проект Вольфрама . Проверено 23 сентября 2019 года .
Применение кривой Коха к антенне
Анимация WebGL, показывающая построение поверхности Коха , tchaumeny.github.io . Проверено 23 сентября 2019 года.
«Математический анализ кривой Коха и квадратичной кривой Коха» (PDF) . Архивировано из оригинала (pdf) 26 апреля 2012 года . Проверено 22 ноября 2011 года .

[1] Аддисон, Пол С. (1997). Фракталы и хаос: иллюстрированный курс . Институт физики. п. 19. ISBN 0-7503-0400-6.

[2] Lauwerier, Ганс (1991). Фракталы: бесконечно повторяющиеся геометрические фигуры . Перевод Гилл-Хоффштедт, София. Издательство Принстонского университета. п. 36. ISBN 0-691-02445-6. Мандельброт назвал это островом Коха.

[3] фон Кох, Хельге (1904). "Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire" . Arkiv för matematik, astronomi och fysik (на французском языке). 1 : 681–704. JFM 35.0387.02 .

[4] Алонсо-Маррокен, Ф .; Huang, P .; Hanaor, D .; Флорес-Джонсон, Э .; Пруст, Г .; Gan, Y .; Шен, Л. (2015). «Статическое трение между жесткими фрактальными поверхностями» (PDF) . Physical Review E . 92 (3): 032405. DOI : 10,1103 / PhysRevE.92.032405 . ЛВП : 2123/13835 . PMID 26465480 . - Исследование фрактальных поверхностей с помощью кривых Коха.

[5] Чжу, Чжи Вэй; Чжоу, Цзо Линь; Цзя, Бао Го (октябрь 2003 г.). "О нижней границе меры Хаусдорфа кривой Коха". Acta Mathematica Sinica . 19 (4): 715–728. DOI : 10.1007 / s10114-003-0310-2 . S2CID 122517792 .

[6] "Снежинка Коха" . ecademy.agnesscott.edu .

[7] Маккартни, Марк (2020-04-16). «Площадь, центр тяжести и объем вращения кривой Коха». Международный журнал математического образования в науке и технологиях . 0 : 1–5. DOI : 10.1080 / 0020739X.2020.1747649 . ISSN 0020-739X .

[8] Бернс, Эйдан (1994). «Фрактальные мозаики». Математический вестник . 78 (482): 193–6. DOI : 10.2307 / 3618577 . JSTOR 3618577 . .

[9] Пол С. Аддисон, Фракталы и хаос: иллюстрированный курс , стр. 19, CRC Press, 1997 ISBN 0849384435 .

[10] Перейти ↑ Weisstein, Eric W. (1999). " Колбаса Минковского ", архив.lib.msu.edu . Дата обращения: 21 сентября 2019 г.

[11] Pamfilos, Париж. « Колбаса Минковского », user.math.uoc.gr/~pamfilos/ . Дата обращения: 21 сентября 2019 г.

[12] Weisstein, Эрик В. "Колбаса Минковского" . MathWorld . Проверено 22 сентября 2019 .

[13] Перейти ↑ Mandelbrot, BB (1983). Фрактальная геометрия природы , с.48. Нью-Йорк: WH Freeman. ISBN 9780716711865 . Цитируется по Weisstein, Eric W. "Minkowski Sausage" . MathWorld . Проверено 22 сентября 2019 . .

[14] Аппиньянези, Ричард; изд. (2006). Знакомство с фрактальной геометрией . Значок. ISBN 978-1840467-13-0 .

[15] Продемонстрировано Джеймсом Макдональдом на публичной лекции в Университете КАУСТ 27 января 2013 г. «Архивная копия» . Архивировано из оригинала на 2013-01-12 . Проверено 29 января 2013 .CS1 maint: archived copy as title (link) получено 29 января 2013 года.

[1]

vтеФракталы
Характеристики	Фрактальные измерения Ассуад Подсчет коробок Корреляция Хаусдорф Упаковка Топологический Рекурсия Самоподобие
Система повторяющихся функций	Папоротник Барнсли Кантор набор Коха снежинка Губка менгера Ковер Серпинского Треугольник Серпинского Аполлонийская прокладка Слово Фибоначчи Фрактальная Африка Кривая заполнения пространства Кривая Бланманже Кривая де Рама Минковский Кривая дракона Кривая Гильберта Кривая Коха Кривая Леви C Кривая Мура Кривая Пеано Кривая Серпинского Т-образный квадрат н-хлопья Фрактал Вичека Hexaflake Кривая госпера Дерево Пифагора
Странный аттрактор	Мультифрактальная система
L-система	Фрактальный навес Кривая заполнения пространства H дерево
Фракталы времени побега	Пылающий корабль фрактал Юля набор Заполненный Фрактал Ньютона Кролик дуади Фрактал Ляпунова Набор Мандельброта Точка Мисюревича Набор мультиброт Фрактал Ньютона Треуголка Mandelbox Mandelbulb
Техники рендеринга	Буддхаброт Орбитальная ловушка Подъемник
Случайные фракталы	Броуновское движение Броуновское дерево Броуновский мотор Фрактальный пейзаж Леви рейс Теория перколяции Самостоятельная прогулка
Люди	Майкл Барнсли Георг Кантор Билл Госпер Феликс Хаусдорф Десмонд Пол Генри Гастон Джулия Хельге фон Кох Поль Леви Александр Ляпунов Бенуа Мандельброт Хамид Надери Еганех Льюис Фрай Ричардсон Вацлав Серпинский
Другой	" Какова длина побережья Британии? " Парадокс береговой линии Список фракталов по размерности Хаусдорфа Красота фракталов (книга 1986 года) Фрактальное искусство Хаос: создание новой науки (книга 1987 года) Фрактальная геометрия природы (книга 1982 г.) Калейдоскоп Теория хаоса