Функция Эйлера

Модуль ϕ на комплексной плоскости , раскрашенный так, что черный = 0, красный = 4

Эта статья включает в себя список ссылок , связанных материалов или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Июль 2018 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , то функция Эйлера определяется

${\ displaystyle \ phi (q) = \ prod _ {k = 1} ^ {\ infty} (1-q ^ {k}).}$

Названный в честь Леонарда Эйлера , он представляет собой модельный пример q- серии , модульной формы и представляет собой прототипический пример связи между комбинаторикой и комплексным анализом .

Свойства [ править ]

Коэффициент в формальных степенных рядов разложения дает число разделов в к . То есть,${\ displaystyle p (k)}$${\displaystyle 1/\phi (q)}$

${\displaystyle {\frac {1}{\phi (q)}}=\sum _{k=0}^{\infty }p(k)q^{k}}$

где - статистическая сумма .${\displaystyle p}$

Тождество Эйлера , также известное как теорема числа Пятигранной , является

${\displaystyle \phi (q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{(3n^{2}-n)/2}.}$

Обратите внимание, что это пятиугольное число .${\displaystyle (3n^{2}-n)/2}$

Функция Эйлера связана с функцией эта Дедекинда через тождество Рамануджана как

${\displaystyle \phi (q)=q^{-{\frac {1}{24}}}\eta (\tau )}$

где квадрат нома . Обратите внимание, что обе функции обладают симметрией модульной группы .${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$

Функция Эйлера может быть выражена в виде символа q- Почхаммера :

${\displaystyle \phi (q)=(q;q)_{\infty }.}$

Логарифм функции Эйлера является суммой логарифмов в выражении продукта, каждый из которых может быть расширена о д  = 0, что дает

${\displaystyle \ln(\phi (q))=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}},}$

который является рядом Ламберта с коэффициентами -1 / n . Следовательно, логарифм функции Эйлера может быть выражен как

${\displaystyle \ln(\phi (q))=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}q^{n}}$

где - [1/1, 3/2, 4/3, 7/4, 6/5, 12/6, 8/7, 15/8, 13/9, 18/10, ...] (см. OEIS A000203 )${\displaystyle b_{n}=-\sum _{d|n}{\frac {1}{d}}=}$

С учетом идентичности это также может быть записано как${\displaystyle \sum _{d|n}d=\sum _{d|n}{\frac {n}{d}},}$

${\displaystyle \ln(\phi (q))=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{n}}\sum _{d|n}d.}$

Также если и , то ^[1]${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle ab=\pi ^{2}}$

${\displaystyle a^{1/4}e^{-a/12}\phi (e^{-2a})=b^{1/4}e^{-b/12}\phi (e^{-2b}).}$

Особые значения [ править ]

Следующие имена взяты из потерянной записной книжки Рамануджана , часть V, стр. 326.

${\displaystyle \phi (e^{-\pi })={\frac {e^{\pi /24}\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{7/8}\pi ^{3/4}}}}$

${\displaystyle \phi (e^{-2\pi })={\frac {e^{\pi /12}\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2\pi ^{3/4}}}}$

${\displaystyle \phi (e^{-4\pi })={\frac {e^{\pi /6}\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{{11}/8}\pi ^{3/4}}}}$

${\displaystyle \phi (e^{-8\pi })={\frac {e^{\pi /3}\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{29/16}\pi ^{3/4}}}({\sqrt {2}}-1)^{1/4}}$

Используя теорему о пятиугольном числе , поменяв местами сумму и интеграл , а затем применяя комплексно-аналитические методы, мы получаем

${\displaystyle \int _{0}^{1}\phi (q){\text{d}}q={\frac {8{\sqrt {\frac {3}{23}}}\pi \sinh \left({\frac {{\sqrt {23}}\pi }{6}}\right)}{2\cosh \left({\frac {{\sqrt {23}}\pi }{3}}\right)-1}}.}$

Ссылки [ править ]

• Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Тексты для студентов по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, Руководство по ремонту  0434929 , Zbl  0335.10001