q - символ Почхаммера

В математике , в области комбинаторики , в д -Pochhammer символа , также называемый д -shifted факториала , является Q -аналога ^{[ дополнительное объяснение необходимости ]} от символа Похгаммера . Он определяется как

${\ displaystyle (a; q) _ {n} = \ prod _ {k = 0} ^ {n-1} (1-aq ^ {k}) = (1-a) (1-aq) (1- aq ^ {2}) \ cdots (1-aq ^ {n-1})}$

с участием

${\ Displaystyle (а; д) _ {0} = 1}$

по определению. Символ q -Pochhammer является основным строительным блоком при построении q -аналогов; например, в теории основных гипергеометрических рядов он играет роль, которую обычный символ Похгаммера играет в теории обобщенных гипергеометрических рядов .

В отличие от обычного символа Поххаммера, символ q- Почхаммера может быть расширен до бесконечного произведения:

${\ displaystyle (a; q) _ {\ infty} = \ prod _ {k = 0} ^ {\ infty} (1-aq ^ {k}).}$

Это аналитическая функция от q внутри единичного круга , и ее также можно рассматривать как формальный степенной ряд по q . Особый случай

${\ displaystyle \ phi (q) = (q; q) _ {\ infty} = \ prod _ {k = 1} ^ {\ infty} (1-q ^ {k})}$

известна как функция Эйлера и важна в комбинаторике , теории чисел и теории модульных форм .

Личности [ править ]

Конечный продукт можно выразить через бесконечное произведение:

${\ displaystyle (a; q) _ {n} = {\ frac {(a; q) _ {\ infty}} {(aq ^ {n}; q) _ {\ infty}}},}$

что расширяет определение до отрицательных целых чисел n . Таким образом, при неотрицательном n имеем

${\ displaystyle (a; q) _ {- n} = {\ frac {1} {(aq ^ {- n}; q) _ {n}}} = \ prod _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {(1-a / q ^ {k})}}}$

а также

${\ displaystyle (a; q) _ {- n} = {\ frac {(-q / a) ^ {n} q ^ {n (n-1) / 2}} {(q / a; q) _ {n}}}.}$

В качестве альтернативы,

${\ Displaystyle \ prod _ {к = п} ^ {\ infty} (1-aq ^ {k}) = (aq ^ {n}; q) _ {\ infty} = {\ frac {(a; q) _ {\ infty}} {(a; q) _ {n}}},}$

что полезно для некоторых производящих функций статистических сумм.

Символ q -Почхаммера является предметом ряда тождеств q- серии, в частности, разложения в бесконечный ряд

${\ displaystyle (x; q) _ {\ infty} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} q ^ {n (n-1) / 2 }} {(q; q) _ {n}}} x ^ {n}}$

а также

${\displaystyle {\frac {1}{(x;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{(q;q)_{n}}}}$,

которые являются частными случаями q-биномиальной теоремы :

${\displaystyle {\frac {(ax;q)_{\infty }}{(x;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}x^{n}.}$

Фридрих Карпелевич нашел следующее тождество ( доказательство см. Ольшанецкий, Рогов ( 1995 )):

${\displaystyle {\frac {(q;q)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}q^{n(n+1)/2}}{(q;q)_{n}(1-zq^{n})}},\ |z|<1.}$

Комбинаторная интерпретация [ править ]

Символ q -Почхаммера тесно связан с перечислительной комбинаторикой разбиений. Коэффициент в${\displaystyle q^{m}a^{n}}$

${\displaystyle (a;q)_{\infty }^{-1}=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k})^{-1}}$

- количество разбиений m не более чем на n частей.

Поскольку при сопряжении разбиений это то же самое, что и количество разбиений m на части размером не более n , идентифицируя производящие ряды, мы получаем тождество:

${\displaystyle (a;q)_{\infty }^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }\left(\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{1-q^{j}}}\right)a^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a^{k}}{(q;q)_{k}}}}$

как в предыдущем разделе.

Мы также , что коэффициент в${\displaystyle q^{m}a^{n}}$

${\displaystyle (-a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1+aq^{k})}$

- количество разбиений m на n или n -1 различных частей.

Удалив из такого разбиения треугольное разбиение с n - 1 частью, мы получим произвольное разбиение с не более чем n частями. Это дает сохраняющую вес биекцию между набором разбиений на n или n - 1 различных частей и набором пар, состоящим из треугольного разбиения, имеющего n - 1 часть, и разбиения, содержащего не более n частей. Идентифицируя производящую серию, это приводит к идентичности:

${\displaystyle (-a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1+aq^{k})=\sum _{k=0}^{\infty }\left(q^{k \choose 2}\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{1-q^{j}}}\right)a^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {q^{k \choose 2}}{(q;q)_{k}}}a^{k}}$

также описано в предыдущем разделе. Обратное значение функции аналогично возникает как производящая функция для статистической суммы , которая также расширяется вторыми двумя разложениями q-ряда, приведенными ниже: ^[1]${\displaystyle (q)_{\infty }:=(q;q)_{\infty }}$${\displaystyle p(n)}$

${\displaystyle {\frac {1}{(q;q)_{\infty }}}=\sum _{n\geq 0}p(n)q^{n}=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n}}{(q;q)_{n}}}=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}}{(q;q)_{n}^{2}}}.}$

Сама q-биномиальная теорема также может быть обработана немного более сложным комбинаторным аргументом аналогичного типа (см. Также разложения, приведенные в следующем подразделе ).

Соглашение о множественных аргументах [ править ]

Поскольку тождества, включающие символы q -Почхаммера, так часто включают произведения многих символов, стандартное соглашение состоит в том, чтобы записать произведение как один символ с несколькими аргументами:

${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m};q)_{n}=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\ldots (a_{m};q)_{n}.}$

q -series [ править ]

A Q -ряды представляет собой ряд , в котором коэффициенты являются функциями д , как правило , выражения . ^[2] Первые результаты принадлежат Эйлеру , Гауссу и Коши . Систематическое изучение начинается с Эдуарда Гейне (1843). ^[3]${\displaystyle (a;q)_{n}}$

Связь с другими q- функциями [ править ]

Д -аналог п , также известный как д -bracket или д -количество из п , определяется как

${\displaystyle [n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}.}$

Отсюда можно определить q -аналог факториала , q -факториал , как

${\displaystyle {\big [}n]!_{q}}$	${\displaystyle =\prod _{k=1}^{n}[k]_{q}}$
	${\displaystyle =[1]_{q}[2]_{q}\cdots [n-1]_{q}[n]_{q}}$
	${\displaystyle ={\frac {1-q}{1-q}}{\frac {1-q^{2}}{1-q}}\cdots {\frac {1-q^{n-1}}{1-q}}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}}$
	${\displaystyle =1(1+q)\cdots (1+q+\cdots +q^{n-2})(1+q+\cdots +q^{n-1})}$
	${\displaystyle ={\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}.}$

Эти числа являются аналогами в том смысле, что

${\displaystyle \lim _{q\rightarrow 1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}=n,}$

и так также

${\displaystyle \lim _{q\rightarrow 1}[n]!_{q}=n!.}$

Предельное значение n ! подсчитывает перестановок из с п - элементного множества S . Эквивалентно, он подсчитывает количество последовательностей вложенных наборов , содержащих ровно i элементов. ^[4] Для сравнения, когда q - степень простого числа, а V - n- мерное векторное пространство над полем с q элементами, q -аналог - это количество полных флагов в V , то есть это количество последовательностей подпространств такой размерности i . ^[4]${\displaystyle E_{1}\subset E_{2}\subset \cdots \subset E_{n}=S}$${\displaystyle E_{i}}$${\displaystyle [n]!_{q}}$${\displaystyle V_{1}\subset V_{2}\subset \cdots \subset V_{n}=V}$${\displaystyle V_{i}}$ Предыдущие соображения предполагают, что можно рассматривать последовательность вложенных множеств как флаг над гипотетическим полем с одним элементом .

Произведение отрицательных целых q- скобок может быть выражено через q -факториал как

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}[-k]_{q}={\frac {(-1)^{n}\,[n]!_{q}}{q^{n(n+1)/2}}}}$

От q -факториалов можно перейти к определению q -биномиальных коэффициентов, также известных как гауссовские биномиальные коэффициенты , как

${\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}={\frac {[n]!_{q}}{[n-k]!_{q}[k]!_{q}}},}$

где легко видеть, что треугольник этих коэффициентов симметричен в том смысле, что для всех .${\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}}_{q}={\begin{bmatrix}n\\n-m\end{bmatrix}}_{q}}$${\displaystyle 0\leq m\leq n}$

Это можно проверить

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}n+1\\k\end{bmatrix}}_{q}&={\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}+q^{n-k+1}{\begin{bmatrix}n\\k-1\end{bmatrix}}_{q}\\&={\begin{bmatrix}n\\k-1\end{bmatrix}}_{q}+q^{k}{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}.\end{aligned}}}$

Из предыдущих рекуррентных соотношений также видно, что следующие варианты -биномиальной теоремы разложены по этим коэффициентам следующим образом: ^[5]${\displaystyle q}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(z;q)_{n}&=\sum _{j=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}_{q}(-z)^{j}q^{\binom {j}{2}}=(1-z)(1-qz)\cdots (1-zq^{n-1})\\(-q;q)_{n}&=\sum _{j=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}_{q^{2}}q^{j}\\(q;q^{2})_{n}&=\sum _{j=0}^{2n}{\begin{bmatrix}2n\\j\end{bmatrix}}_{q}(-1)^{j}\\{\frac {1}{(z;q)_{m+1}}}&=\sum _{n\geq 0}{\begin{bmatrix}n+m\\n\end{bmatrix}}_{q}z^{n}.\end{aligned}}}$

Можно дополнительно определить q -мультиномиальные коэффициенты

${\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\k_{1},\ldots ,k_{m}\end{bmatrix}}_{q}={\frac {[n]!_{q}}{[k_{1}]!_{q}\cdots [k_{m}]!_{q}}},}$

где аргументы - неотрицательные целые числа, удовлетворяющие . Приведенный выше коэффициент подсчитывает количество флагов подпространств в n- мерном векторном пространстве над полем с q элементами, такими что .${\displaystyle k_{1},\ldots ,k_{m}}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}k_{i}=n}$${\displaystyle V_{1}\subset \dots \subset V_{m}}$${\displaystyle \dim V_{i}=\sum _{j=1}^{i}k_{j}}$

Предел дает обычный полиномиальный коэффициент , который считает слова в n различных символах , каждый из которых встречается несколько раз. ${\displaystyle q\to 1}$${\displaystyle {n \choose k_{1},\dots ,k_{m}}}$${\displaystyle \{s_{1},\dots ,s_{m}\}}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle k_{i}}$

Также получается q- аналог гамма-функции , называемый q-гамма-функцией и определяемый как

${\displaystyle \Gamma _{q}(x)={\frac {(1-q)^{1-x}(q;q)_{\infty }}{(q^{x};q)_{\infty }}}}$

Это сходится к обычной гамма-функции, когда q приближается к 1 изнутри единичного диска. Обратите внимание, что

${\displaystyle \Gamma _{q}(x+1)=[x]_{q}\Gamma _{q}(x)}$

для любых x и

${\displaystyle \Gamma _{q}(n+1)=[n]!_{q}.}$

для неотрицательных целых значений n . В качестве альтернативы, это можно рассматривать как расширение q -факторной функции до действительной системы счисления.

См. Также [ править ]

• Базовый гипергеометрический ряд
• Эллиптическая гамма-функция
• Тета-функция Якоби
• Серия Ламберта
• Теорема о пятиугольном числе
• q -производная
• q -тета-функция
• q - личность Вандермонда
• Роджерс-Рамануджан идентичности
• Непрерывная дробь Роджерса – Рамануджана

Ссылки [ править ]

• Джордж Гаспер и Мизан Рахман , Базовые гипергеометрические ряды, 2-е издание , (2004 г.), Энциклопедия математики и ее приложений, 96 , Cambridge University Press, Кембридж. ISBN 0-521-83357-4 . 
• Рулоф Коекук и Рене Ф. Свартту, Схема Аски ортогональных многочленов и ее q-аналоги , раздел 0.2.
• Экстон, Х. (1983), q-гипергеометрические функции и приложения , Нью-Йорк: Halstead Press, Чичестер: Эллис Хорвуд, 1983, ISBN 0853124914 , ISBN 0470274530 , ISBN 978-0470274538   
• М. А. Ольшанецкий, В. Б. Рогов (1995), Модифицированные функции q-Бесселя и функции q-Бесселя-Макдональда, arXiv: q-alg / 9509013.

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. " q -Analog" . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. " q -Bracket" . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. « q -Factorial» . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. « q- серия» . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. « q -биномиальный коэффициент» . MathWorld .