Базовый гипергеометрический ряд

В математике , основные гипергеометрических рядах , или д -hypergeometric серии , являются Q -аналога обобщение обобщенных гипергеометрических рядов , и в своей очереди обобщена эллиптическим гипергеометрическим рядом . Ряд x _n называется гипергеометрическим, если отношение следующих друг за другом членов x _{n +1} / x _n является рациональной функцией от n . Если соотношение следующих друг за другом членов является рациональной функцией q ⁿ, то этот ряд называется основным гипергеометрическим рядом. Число q называется базовым.

Базовый гипергеометрический ряд ₂ φ ₁ ( q ^α , q ^β ; q ^γ ; q , x ) впервые был рассмотрен Эдуардом Гейне  ( 1846 г. ). Он становится гипергеометрическим рядом F (α, β; γ; x ) в пределе, когда база q равна 1.

Определение [ править ]

Есть две формы основных гипергеометрических рядов: односторонний основной гипергеометрический ряд φ и более общий двусторонний основной гипергеометрический ряд ψ. Односторонняя основной гипергеометрический ряд определяется как

${\ displaystyle \; _ {j} \ phi _ {k} \ left [{\ begin {matrix} a_ {1} & a_ {2} & \ ldots & a_ {j} \\ b_ {1} & b_ {2} & \ ldots & b_ {k} \ end {matrix}}; q, z \ right] = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(a_ {1}, a_ {2}, \ ldots , a_ {j}; q) _ {n}} {(b_ {1}, b_ {2}, \ ldots, b_ {k}, q; q) _ {n}}} \ left ((- 1) ^ {n} q ^ {n \ choose 2} \ right) ^ {1 + kj} z ^ {n}}$

где

${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m};q)_{n}=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\ldots (a_{m};q)_{n}}$

а также

${\displaystyle (a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1})}$

- факториал со сдвигом q . Самый важный частный случай - это когда j = k + 1, когда он становится

${\displaystyle \;_{k+1}\phi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{k}&a_{k+1}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k+1};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k},q;q)_{n}}}z^{n}.}$

Этот ряд называется сбалансированным, если a ₁ ... a _{k + 1} = b ₁ ... b _k q . Этот ряд называется хорошо сбалансированным, если a ₁ q = a ₂ b ₁ = ... = a _{k + 1} b _k , и очень хорошо сбалансированным, если дополнительно a ₂ = - a ₃ = qa ₁ ^1/2. Односторонний базовый гипергеометрический ряд является q-аналогом гипергеометрического ряда, поскольку

${\displaystyle \lim _{q\to 1}\;_{j}\phi _{k}\left[{\begin{matrix}q^{a_{1}}&q^{a_{2}}&\ldots &q^{a_{j}}\\q^{b_{1}}&q^{b_{2}}&\ldots &q^{b_{k}}\end{matrix}};q,(q-1)^{1+k-j}z\right]=\;_{j}F_{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{j}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};z\right]}$

держит ( Koekoek & Swarttouw (1996) ). Двусторонний базовый гипергеометрический ряд , соответствующий двусторонний гипергеометрический ряд , определяются как harvtxt error: no target: CITEREFKoekoekSwarttouw1996 (help)

${\displaystyle \;_{j}\psi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{j}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{j};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k};q)_{n}}}\left((-1)^{n}q^{n \choose 2}\right)^{k-j}z^{n}.}$

Наиболее важный частный случай - это когда j = k , когда он становится

${\displaystyle \;_{k}\psi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{k}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k};q)_{n}}}z^{n}.}$

Односторонний ряд может быть получена как частный случай двусторонних один путем установки одного из Ь переменных , равного ц , по крайней мере , когда ни один из через переменный не является степень д , так как все члены с п <0 , то исчезают.

Простая серия [ править ]

Некоторые простые выражения рядов включают

${\displaystyle {\frac {z}{1-q}}\;_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}q\;q\\q^{2}\end{matrix}}\;;q,z\right]={\frac {z}{1-q}}+{\frac {z^{2}}{1-q^{2}}}+{\frac {z^{3}}{1-q^{3}}}+\ldots }$

а также

${\displaystyle {\frac {z}{1-q^{1/2}}}\;_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}q\;q^{1/2}\\q^{3/2}\end{matrix}}\;;q,z\right]={\frac {z}{1-q^{1/2}}}+{\frac {z^{2}}{1-q^{3/2}}}+{\frac {z^{3}}{1-q^{5/2}}}+\ldots }$

а также

${\displaystyle \;_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}q\;-1\\-q\end{matrix}}\;;q,z\right]=1+{\frac {2z}{1+q}}+{\frac {2z^{2}}{1+q^{2}}}+{\frac {2z^{3}}{1+q^{3}}}+\ldots .}$

Д -binomial теорема [ править ]

Д -binomial теорема (впервые опубликована в 1811 году Генрихом августа Роте ) ^{[1] [2]} утверждает , что

${\displaystyle \;_{1}\phi _{0}(a;q,z)={\frac {(az;q)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }}}=\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {1-aq^{n}z}{1-q^{n}z}}}$

что следует, многократно применяя тождество

${\displaystyle \;_{1}\phi _{0}(a;q,z)={\frac {1-az}{1-z}}\;_{1}\phi _{0}(a;q,qz).}$

Частный случай a  = 0 тесно связан с q-экспонентой .

Биномиальная теорема Коши [ править ]

Биномиальная теорема Коши является частным случаем q-биномиальной теоремы. ^[3]

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N}y^{n}q^{n(n+1)/2}{\begin{bmatrix}N\\n\end{bmatrix}}_{q}=\prod _{k=1}^{N}\left(1+yq^{k}\right)\qquad (|q|<1)}$

Личность Рамануджана [ править ]

Шриниваса Рамануджан дал личность

${\displaystyle \;_{1}\psi _{1}\left[{\begin{matrix}a\\b\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(b;q)_{n}}}z^{n}={\frac {(b/a,q,q/az,az;q)_{\infty }}{(b,b/az,q/a,z;q)_{\infty }}}}$

действительно для | q | <1 и | б / у | <| z | <1. Подобные тождества были даны Бейли. Такие тождества можно понимать как обобщения теоремы Якоби о тройном произведении , которую можно записать с помощью q-рядов как${\displaystyle \;_{6}\psi _{6}}$

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n(n+1)/2}z^{n}=(q;q)_{\infty }\;(-1/z;q)_{\infty }\;(-zq;q)_{\infty }.}$

Кен Оно приводит соответствующий формальный степенной ряд ^[4]

${\displaystyle A(z;q){\stackrel {\rm {def}}{=}}{\frac {1}{1+z}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(z;q)_{n}}{(-zq;q)_{n}}}z^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}z^{2n}q^{n^{2}}.}$

Контурный интеграл Ватсона [ править ]

В качестве аналога интеграла Барнса для гипергеометрического ряда Ватсон показал, что

${\displaystyle {}_{2}\phi _{1}(a,b;c;q,z)={\frac {-1}{2\pi i}}{\frac {(a,b;q)_{\infty }}{(q,c;q)_{\infty }}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {(qq^{s},cq^{s};q)_{\infty }}{(aq^{s},bq^{s};q)_{\infty }}}{\frac {\pi (-z)^{s}}{\sin \pi s}}ds}$

где полюса лежат слева от контура, а остальные - справа. Аналогичный контурный интеграл существует для _{r +1} φ _r . Этот контурный интеграл дает аналитическое продолжение основной гипергеометрической функции по z .${\displaystyle (aq^{s},bq^{s};q)_{\infty }}$

Версия матрицы [ править ]

Базовая гипергеометрическая матричная функция может быть определена следующим образом:

${\displaystyle {}_{2}\phi _{1}(A,B;C;q,z):=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(A;q)_{n}(B;q)_{n}}{(C;q)_{n}(q;q)_{n}}}z^{n},\quad (A;q)_{0}:=1,\quad (A;q)_{n}:=\prod _{k=0}^{n-1}(1-Aq^{k}).}$

Тест отношения показывает, что эта матричная функция абсолютно сходится. ^[5]

См. Также [ править ]

• Личность Диксон
• Роджерс-Рамануджан идентичности

Заметки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Wolfram Mathworld - q-гипергеометрические функции .

Ссылки [ править ]

• Эндрюс, Г.Е. (2010), «q-гипергеометрические и связанные функции» , в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248
• У. Н. Бейли, Обобщенные гипергеометрические ряды , (1935) Кембриджские трактаты по математике и математической физике, № 32, Cambridge University Press, Кембридж.
• Уильям Чен и Эми Фу, Полуконечные формы двусторонних базовых гипергеометрических рядов (2004)
• Экстон , Х. (1983), q-гипергеометрические функции и приложения , Нью-Йорк: Halstead Press, Чичестер: Эллис Хорвуд, ISBN 0853124914 , ISBN 0470274530 , ISBN 978-0470274538   
• Сильви Кортил и Джереми Лавджой, Разбиения Фробениуса и комбинаторика суммирования Рамануджана 1 ψ 1 {\displaystyle \,_{1}\psi _{1}}
• Файн, Натан Дж. (1988), Основные гипергеометрические ряды и приложения , Математические обзоры и монографии, 27 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-1524-3, Руководство по ремонту  0956465
• Гаспер, Джордж; Рахман, Мизан (2004), Основные гипергеометрический ряд , Энциклопедия математики и ее применения, 96 (2 изд.), Cambridge University Press , дой : 10,2277 / 0521833574 , ISBN 978-0-521-83357-8, Руководство по ремонту  2128719
• Гейне, Эдуард (1846), «Über die Reihe » 1 + ( q α − 1 ) ( q β − 1 ) ( q − 1 ) ( q γ − 1 ) x + ( q α − 1 ) ( q α + 1 − 1 ) ( q β − 1 ) ( q β + 1 − 1 ) ( q − 1 ) ( q 2 − 1 ) ( q γ − 1 ) ( q γ + 1 − 1 ) x 2 + ⋯ {\displaystyle 1+{\frac {(q^{\alpha }-1)(q^{\beta }-1)}{(q-1)(q^{\gamma }-1)}}x+{\frac {(q^{\alpha }-1)(q^{\alpha +1}-1)(q^{\beta }-1)(q^{\beta +1}-1)}{(q-1)(q^{2}-1)(q^{\gamma }-1)(q^{\gamma +1}-1)}}x^{2}+\cdots } , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 32 : 210–212
• Виктор Кац , Покман Чунг, квантовое исчисление , Universitext, Springer-Verlag, 2002. ISBN 0-387-95341-8 

• Эндрюс, Г.Е., Эски, Р. и Рой, Р. (1999). Специальные функции, Энциклопедия математики и ее приложений, том 71, Cambridge University Press .
• Эдуард Гейне , Theorie der Kugelfunctionen , (1878) 1 , стр. 97–125.
• Эдуард Гейне, Handbuch die Kugelfunctionen. Theorie und Anwendung (1898) Шпрингер, Берлин.