В математике , в области комбинаторики , в д -Pochhammer символа , также называемый д -shifted факториала , является Q -аналога [ дополнительное объяснение необходимости ] от символа Похгаммера . Он определяется как
с участием
по определению. Символ q -Почхаммера является основным строительным блоком при построении q -аналогов; например, в теории основных гипергеометрических рядов он играет роль, которую обычный символ Похгаммера играет в теории обобщенных гипергеометрических рядов .
В отличие от обычного символа Поххаммера, символ q- Почхаммера может быть расширен до бесконечного произведения:
Это аналитическая функция от q внутри единичного круга , и ее также можно рассматривать как формальный степенной ряд по q . Особый случай
известна как функция Эйлера и важна в комбинаторике , теории чисел и теории модульных форм .
Конечный продукт можно выразить через бесконечное произведение:
что расширяет определение до отрицательных целых чисел n . Таким образом, при неотрицательном n имеем
а также
В качестве альтернативы,
что полезно для некоторых производящих функций статистических сумм.
Символ q -Почхаммера является предметом ряда тождеств q- серии, в частности, разложения в бесконечный ряд
а также
- ,
которые являются частными случаями q-биномиальной теоремы :
Фридрих Карпелевич нашел следующее тождество ( доказательство см. Ольшанецкий, Рогов ( 1995 )):
Символ q -Почхаммера тесно связан с перечислительной комбинаторикой разбиений. Коэффициент в
- количество разбиений m не более чем на n частей.
Поскольку при сопряжении разбиений это то же самое, что и количество разбиений m на части размером не более n , идентифицируя производящие ряды, мы получаем тождество:
как в предыдущем разделе.
Также имеем, что коэффициент при в
- количество разбиений m на n или n -1 различных частей.
Удалив из такого разбиения треугольное разбиение с n - 1 частью, мы получим произвольное разбиение с не более чем n частями. Это дает сохраняющую вес биекцию между набором разбиений на n или n - 1 различных частей и набором пар, состоящим из треугольного разбиения, имеющего n - 1 часть, и разбиения, содержащего не более n частей. Идентифицируя производящую серию, это приводит к идентичности:
также описано в предыдущем разделе. Обратный к функциианалогично возникает как производящая функция для статистической суммы ,, который также расширяется вторыми двумя разложениями q-серии, приведенными ниже: [1]
Сама q-биномиальная теорема также может быть обработана немного более сложным комбинаторным аргументом аналогичного типа (см. Также разложения, приведенные в следующем подразделе ).
Поскольку тождества, включающие символы q -Почхаммера, так часто включают произведения многих символов, стандартное соглашение состоит в том, чтобы записать произведение как один символ с несколькими аргументами:
A Q -ряды представляет собой ряд , в котором коэффициенты являются функциями д , как правило , выражения. [2] Первые результаты принадлежат Эйлеру , Гауссу и Коши . Систематическое изучение начинается с Эдуарда Гейне (1843). [3]
Д -аналог п , также известный как д -bracket или д -количество из п , определяется как
Отсюда можно определить q -аналог факториала , q -факториал , как
| |
| |
| |
| |
| |
Эти числа являются аналогами в том смысле, что
и так также
Предельное значение n ! подсчитывает перестановок из с п - элементного множества S . Эквивалентно, он подсчитывает количество последовательностей вложенных наборов такой, что содержит ровно i элементов. [4] Для сравнения, когда q - степень простого числа, а V - n -мерное векторное пространство над полем с q элементами, q -аналогэто количество полных флагов в V , то есть это количество последовательностей подпространств таких, что имеет размерность i . [4] Предыдущие соображения предполагают, что можно рассматривать последовательность вложенных множеств как флаг над гипотетическим полем с одним элементом .
Произведение отрицательных целых q- скобок может быть выражено через q -факториал как
От q -факториалов можно перейти к определению q -биномиальных коэффициентов, также известных как гауссовские биномиальные коэффициенты , как
где легко видеть, что треугольник этих коэффициентов симметричен в том смысле, что для всех .
Это можно проверить
Из предыдущих рекуррентных соотношений также видно, что следующие варианты -биномиальные теоремы расширяются с помощью этих коэффициентов следующим образом: [5]
Можно дополнительно определить q -мультиномиальные коэффициенты
где аргументы неотрицательные целые числа, удовлетворяющие . Приведенный выше коэффициент учитывает количество флагов.подпространств в n -мерном векторном пространстве над полем с q элементами такими, что.
Лимит дает обычный полиномиальный коэффициент , который считает слова в n разных символах так что каждый появляется раз.
Также получается q- аналог гамма-функции , называемый q-гамма-функцией и определяемый как
Это сходится к обычной гамма-функции, когда q приближается к 1 изнутри единичного диска. Обратите внимание, что
для любых x и
для неотрицательных целых значений n . В качестве альтернативы это можно рассматривать как расширение q -факторной функции до действительной системы счисления.