Поле с одним элементом

В математике , то поле с одним элементом является наводящим именем для объекта , который должен вести себя подобно конечное поле с одним элементом, если такое поле может существовать. Этот объект обозначается F ₁ или, в французско-английском каламбуре, F _un . ^[1] Название «поле с одним элементом» и обозначение F ₁ только намекают, поскольку в классической абстрактной алгебре нет поля с одним элементом . Вместо этого F ₁относится к идее, что должен быть способ заменить наборы и операции, традиционные строительные блоки для абстрактной алгебры, другими, более гибкими объектами. Было предложено много теорий F ₁ , но неясно, какие из них придают F ₁ все желаемые свойства , если таковые имеются . Хотя в этих теориях до сих пор нет поля с единственным элементом, существует подобный полю объект, характеристика которого равна единице.

Большинство предлагаемых теорий F _{1 полностью} заменяют абстрактную алгебру. Математические объекты, такие как векторные пространства и кольца многочленов, могут быть перенесены в эти новые теории, имитируя их абстрактные свойства. Это позволяет развивать коммутативную алгебру и алгебраическую геометрию на новых основах. Одна из определяющих черт теорий F ₁ состоит в том, что эти новые основы допускают больше объектов, чем классическая абстрактная алгебра, один из которых ведет себя как поле характеристического.

Возможность изучения математики F ₁ была первоначально предложена в 1956 г. Жаком Титсом , опубликованной в работе Титса 1957 г. , на основе аналогии между симметриями в проективной геометрии и комбинаторикой симплициальных комплексов . F ₁ был связан с некоммутативной геометрией и с возможным доказательством гипотезы Римана .

История [ править ]

В 1957 году Жак Титс представил теорию зданий , которая связывает алгебраические группы с абстрактными симплициальными комплексами . Одно из предположений - условие нетривиальности: если здание представляет собой n -мерный абстрактный симплициальный комплекс, и если k < n , то каждый k -симплекс здания должен содержаться как минимум в трех n -симплексах. Это аналогично условию в классической проективной геометрии, согласно которому линия должна содержать не менее трех точек. Однако есть вырожденныегеометрии, удовлетворяющие всем условиям проективной геометрии, за исключением того, что прямые допускают только две точки. Аналогичные объекты в теории строительства называются квартирами. Квартиры играют такую ​​важную роль в теории зданий, что Титс предположил существование теории проективной геометрии, в которой вырожденные геометрии будут иметь равное положение с классическими. По его словам, эта геометрия будет иметь место в характерном поле . ^[2] Используя эту аналогию, можно было описать некоторые элементарные свойства F ₁ , но не удалось его построить.

После первоначальных наблюдений Титса до начала 1990-х годов не было достигнуто большого прогресса. В конце 1980-х Александр Смирнов провел серию докладов, в которых высказал предположение, что гипотезу Римана можно доказать, рассматривая целые числа как кривую над полем с одним элементом. К 1991 году Смирнов принял некоторые шаги к алгебраической геометрии над F ₁ , ^[3] введения расширений F ₁ и использовать их для обработки проективной прямой P ¹ над F ₁ . ^[3] Алгебраические числа рассматривались как отображения в этот P ¹ , а гипотетические приближения к формуле Римана – Гурвицадля этих карт были предложены. Эти приближения предполагают очень глубокие утверждения, такие как гипотеза abc . Позднее расширения F ₁ обозначались как F _q с q = 1 ⁿ . Вместе с Михаилом Капрановым Смирнов продолжил исследование того, как алгебраические и теоретико-числовые конструкции в простой характеристике могут выглядеть в «характеристической единице», кульминацией чего стала неопубликованная работа, выпущенная в 1995 году. ^[4] В 1993 году Юрий Манин прочитал серию лекций. по дзета-функциям, где он предложил развивать теорию алгебраической геометрии над F ₁ . ^[5]Он предположил , что дзета - функции многообразий над F ₁ будет иметь очень простое описание, и он предложил связь между K-теории из F ₁ и гомотопических групп сфер . Это вдохновило нескольких людей на попытку построить явные теории F ₁ -геометрии.

Первое опубликованное определение многообразия над F ₁ пришло от Кристофа Суле в 1999 г. ^[6], который построил его с помощью алгебр над комплексными числами и функторов из категорий определенных колец. ^[6] В 2000 году Чжу предложил, чтобы F ₁ было таким же, как F _2, за исключением того, что сумма единицы и единицы равнялась единице, а не нулю. ^[7] Дейтмар предположил, что F ₁ следует найти, забыв об аддитивной структуре кольца и сосредоточившись на умножении. ^[8] Тоен и Вакье построили на теории относительных схем Хакима и определили F _1, используясимметричные моноидальные категории . ^[9] Позже было показано, что их конструкция эквивалентна конструкции Дейтмара Веццани. ^[10] Николай Дуров построил F ₁ как коммутативную алгебраическую монаду . ^[11] Боргер использовал спуск, чтобы построить его из конечных полей и целых чисел. ^[12]

Конн и Caterina Consani разработаны как Соул и понятие Deitmar путем «склеивание» категории мультипликативных моноидов и категории колец , чтобы создать новую категорию , то определяющее F ₁ -схемы быть особым видом представимых функторов на ^[13] С помощью этого , им удалось дать представление о нескольких теоретико-числовых конструкциях над F _1, таких как мотивы и расширения полей, а также о построении групп Шевалле над F _{1 ²} . Наряду с Матильдой Марколли , Конн-Консани также соединил F ₁ с${\ displaystyle {\ mathfrak {M}} {\ mathfrak {R}},}$${\ displaystyle {\ mathfrak {M}} {\ mathfrak {R}}.}$некоммутативная геометрия . ^[14] Также было предложено иметь связь с гипотезой об уникальных играх в теории сложности вычислений . ^[15]

Оливер Лоршейд вместе с другими недавно достиг первоначальной цели Титса описания групп Шевалле над F ₁ путем введения объектов, называемых схемами, которые являются одновременным обобщением как полуколец, так и моноидов. ^{[16] [17]} Они используются для определения так называемых «синих схем», одна из которых - Spec F ₁ . ^[18] Идеи Лоршейда несколько отличаются от других представлений о группах над F ₁ в том, что F ₁-схема сама по себе не является группой Вейля своего базового расширения до нормальных схем. Лоршеид сначала определяет категорию Титса, полную подкатегорию категории синих схем, и определяет «расширение Вейля», функтор из категории Титса в Сет . Модель Титса-Вейля алгебраической группы - это синяя схема G с групповой операцией, которая является морфизмом в категории Титса, базовым расширением которой является и расширение Вейля изоморфно группе Вейля группы${\ Displaystyle {\ mathcal {G}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {G}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {G}}.}$

F ₁ -геометрия была связана с тропической геометрией благодаря тому факту, что полукольца (в частности, тропические полукольца) возникают как частные некоторого моноидного полукольца N [ A ] конечных формальных сумм элементов моноида A , которое само является F ₁ -алгебра. Эта связь становится очевидной из-за того, что Лоршайд использовал чертежи. ^[19] Братья Джиансиракуза построили теорию тропических схем, для которой их категория тропических схем эквивалентна категории F ₁ -схем Тоена-Ваки. ^[20] Эта категория точно, но не полностью, входит в категорию синих схем и является полной подкатегорией категории схем Дурова.

Мотивации [ править ]

Алгебраическая теория чисел [ править ]

Одна из мотиваций для F ₁ исходит из теории алгебраических чисел . Доказательство Вейля гипотезы Римана для кривых над конечными полями начинается с кривым С над конечным полем к , который оснащен функциональным полем F , которая представляет собой расширение поля из к . Каждая такая функция поля приводит к дзета - функции Хассе-Вейля г _F , и гипотеза Римана для конечных полей определяет нули z , _F . Доказательство Вейля затем использует различные геометрические свойства C для изучения ζ _F.

Поле рациональных чисел Q связано аналогичным образом с дзета-функцией Римана , но Q не является функциональным полем многообразия. Вместо этого, Q представляет собой поле функций схемы Spec Z . Это одномерная схема (также известная как алгебраическая кривая ), и поэтому должно быть какое-то «базовое поле», над которым лежит эта кривая, из которого Q будет расширением поля (точно так же, как C является кривой над k , а F - расширение k ). Надежда F ₁-геометрия состоит в том, что подходящий объект F ₁ мог бы играть роль этого базового поля, что позволило бы доказать гипотезу Римана , имитируя доказательство Вейля с F ₁ вместо k .

Геометрия Аракелова [ править ]

Геометрия над полем с одним элементом также мотивируется геометрией Аракелова , где диофантовы уравнения изучаются с использованием инструментов сложной геометрии . Теория включает сложные сравнения между конечными полями и комплексными числами. Здесь наличие F ₁ полезно по техническим причинам.

Ожидаемые свойства [ править ]

F ₁ не является полем [ править ]

F ₁ не может быть полем, потому что по определению все поля должны содержать два различных элемента: аддитивный тождественный ноль и мультипликативный тождественный элемент . Даже если это ограничение снимается (например, позволяя аддитивному и мультипликативному тождествам быть одним и тем же элементом), кольцо с одним элементом должно быть нулевым кольцом , которое не ведет себя как конечное поле. Например, все модули над нулевым кольцом изоморфны (поскольку единственный элемент такого модуля - нулевой элемент). Однако одним из ключевых мотивов F ₁ является описание множеств как " F ₁-векторные пространства »- если бы конечные множества были модулями над нулевым кольцом, то все конечные множества были бы одного и того же размера, что не так.

Другие свойства [ править ]

• Конечные множества - это как аффинные пространства, так и проективные пространства над F ₁ .
• Заостренные множества - это векторные пространства над F ₁ . ^[21]
• Конечные поля Р _Q являются квантовыми деформациями из F ₁ , где Q является деформацией.
• Группы Вейля - это простые алгебраические группы над F ₁ :

  Учитывая диаграмму Дынкина для полупростой алгебраической группы, ее группа Вейля является ^[22] полупростая алгебраической группы над F ₁ .

• Аффинная схема Spec Z представляет собой кривую над F ₁ .
• Группы - это алгебры Хопфа над F ₁ . В более общем смысле, все, что определяется исключительно в терминах диаграмм алгебраических объектов, должно иметь F ₁ -аналог в категории множеств.
• Групповые действия на множествах являются проективными представлениями G над F ₁ , и, таким образом, G является групповой алгеброй Хопфа F ₁ [ G ].
• Торические многообразия определяют F ₁ -многообразия. В некоторых описаниях F ₁ -геометрии верно и обратное в том смысле, что расширения скаляров F ₁ -многообразий на Z торические. ^[23] В то время как другие подходы к F ₁ -геометрии допускают более широкие классы примеров, торические многообразия, по-видимому, лежат в самой основе теории.
• Дзета-функция P ^N ( F ₁ ) должна быть ζ ( s ) = s ( s - 1) ⋯ ( s - N ) . ^[6]
• М -го K -группы из F ₁ должны быть м их стабильная гомотопической группой из спектра сферы . ^[6]

Вычисления [ править ]

Различные структуры на множестве аналогичны структурам на проективном пространстве и могут быть вычислены таким же образом:

Множества - это проективные пространства [ править ]

Количество элементов P ( F^п
_д) = P ^{n −1} ( F _q ), ( n - 1) -мерное проективное пространство над конечным полем F _q , является q -целым ^[24]

${\displaystyle [n]_{q}:={\frac {q^{n}-1}{q-1}}=1+q+q^{2}+\dots +q^{n-1}.}$

Принимая q = 1, получаем [ n ] _q = n .

Разложение q- целого числа в сумму степеней q соответствует клеточному разложению проективного пространства Шуберта .

Перестановки - это максимальные флаги [ править ]

Есть n ! перестановки набора с n элементами и [ n ] _q ! максимальные флаги в F^п
_д, куда

${\displaystyle [n]_{q}!:=[1]_{q}[2]_{q}\dots [n]_{q}}$

- q -факториал . Действительно, перестановка набора может считаться фильтрованным набором , поскольку флаг - это фильтрованное векторное пространство: например, порядок (0, 1, 2) набора {0,1,2} соответствует фильтрации { 0} ⊂ {0,1} ⊂ {0,1,2}.

Подмножества - это подпространства [ править ]

Биномиальный коэффициент

${\displaystyle {\frac {n!}{m!(n-m)!}}}$

дает количество m -элементных подмножеств n -элементного множества, а q -биномиальный коэффициент

${\displaystyle {\frac {[n]_{q}!}{[m]_{q}![n-m]_{q}!}}}$

дает количество m -мерных подпространств n -мерного векторного пространства над F _q .

Разложение q -биномиального коэффициента в сумму степеней q соответствует разложению грассманиана по ячейке Шуберта .

Моноидные схемы [ править ]

Построение Дейтмаром схем моноидов ^[25] было названо «самой сердцевиной F ₁ -геометрии» ^[16], поскольку большинство других теорий F ₁ -геометрии содержат описания схем моноидов. Морально, она имитирует теорию схем , разработанных в 1950 - х и 1960 - х годах, заменив коммутативные кольца с моноидами . Эффект этого состоит в том, чтобы «забыть» аддитивную структуру кольца, оставив только мультипликативную структуру. По этой причине ее иногда называют «неаддитивной геометрией».

Моноиды [ править ]

Мультипликативный моноид это моноид , который также содержит поглощающий элемент 0 (отличного от идентичности 1 моноида), таким образом, что 0 = 0 для каждого а в моноидном А . Поле с одним элементом затем определяется как F ₁ = {0,1}, мультипликативный моноид поля с двумя элементами, которое является начальным в категории мультипликативных моноидов. Моноид идеал в моноидном А является подмножеством я , который мультипликативен замкнуто, содержит 0, и такие , что IA = {ра  : г ∈ Я , ∈ } = Я . Такой идеал прост, еслимультипликативно замкнут и содержит 1.${\displaystyle A\setminus I}$

Для моноидов A и B , моноид гомоморфизм является функцией F  : → B такое , что;

• f (0) = 0 ;
• f (1) = 1 и
• е ( AB ) = F ( ) е ( б ) для каждого а и б в А .

Моноидные схемы [ править ]

Спектр моноида А , обозначается Spec , есть множество простых идеалов А . Спектру моноида можно задать топологию Зарисского , задав основные открытые множества

${\displaystyle U_{h}=\{{\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}A:h\notin {\mathfrak {p}}\},}$

для каждого часа в A . Моноидальная пространство является топологическим пространством вместе с пучком мультипликативных моноидах называется структурный пучок . Схема аффинного моноида - это моноидальное пространство, изоморфное спектру моноида, а схема моноида - это пучок моноидов, который имеет открытое покрытие аффинными схемами моноидов.

Схемы моноидов могут быть превращены в теоретико-кольцевые схемы с помощью базового функтора расширения, который переводит моноид A в Z -модуль (т.е. кольцо), а гомоморфизм моноида f  : A → B продолжается до гомоморфизма колец, который является линейным как Гомоморфизм Z -модулей. Базовое расширение аффинной моноидной схемы определяется формулой${\displaystyle -\otimes _{\mathbf {F} _{1}}\mathbf {Z} }$${\displaystyle \mathbf {Z} [A]/\langle 0_{A}\rangle ,}$${\displaystyle f_{\mathbf {Z} }:A\otimes _{\mathbf {F} _{1}}\mathbf {Z} \to B\otimes _{\mathbf {F} _{1}}\mathbf {Z} }$

${\displaystyle \operatorname {Spec} (A)\times _{\operatorname {Spec} (\mathbf {F} _{1})}\operatorname {Spec} (\mathbf {Z} )=\operatorname {Spec} {\big (}A\otimes _{\mathbf {F} _{1}}\mathbf {Z} {\big )},}$

что, в свою очередь, определяет базовое расширение общей схемы моноидов.

Последствия [ править ]

Эта конструкция обеспечивает многие из желаемых свойств F ₁ -геометрии: Spec F ₁ состоит из одной точки, поэтому ведет себя аналогично спектру поля в традиционной геометрии, а категория аффинных моноидных схем двойственна категории мультипликативных моноиды, отражающие двойственность аффинных схем и коммутативных колец. Кроме того, эта теория удовлетворяет комбинаторным свойствам, ожидаемым от F _1, упомянутым в предыдущих разделах; например, проективное пространство над F ₁ размерности n как схема моноида идентично квартире проективного пространства над F _q размерности n когда описывается как здание.

Однако схемы моноидов не выполняют всех ожидаемых свойств теории F ₁ -геометрии, поскольку единственные многообразия, которые имеют аналоги схем моноидов, являются торическими многообразиями . ^[26] Более точно, если Х представляет собой моноид схема, основание которой расширение является плоским , разделенным , подключенным схема конечного типа , то база расширения X является торическим многообразием. Другие понятия F ₁ -геометрии, такие как концепция Конна – Консани ^[27], построены на этой модели для описания F ₁ -многообразий, которые не являются торическими.

Расширения полей [ править ]

Можно определить полевые расширения поля с одним элементом как группу корней из единицы или, более точно (с геометрической структурой), как групповую схему корней из единицы . Это неестественно изоморфно циклической группе порядка n , причем изоморфизм зависит от выбора первообразного корня из единицы : ^[28]

${\displaystyle \mathbf {F} _{1^{n}}=\mu _{n}.}$

Таким образом, векторное пространство размерности d над F _{1 ⁿ} - это конечный набор порядка dn, на котором корни из единицы действуют свободно вместе с базовой точкой.

С этой точки зрения конечное поле F _q является алгеброй над F _{1 ⁿ} размерности d = ( q - 1) / n для любого n , которое множится в q - 1 (например, n = q - 1 или n = 1 ). Это соответствует тому факту, что группа единиц конечного поля F _q (которые представляют собой q - 1 ненулевых элементов) является циклической группой порядка q - 1 , на которой любая циклическая группа порядка, делящего q- 1 действует свободно (возведением в степень), а нулевой элемент поля является базовой точкой.

Точно так же действительные числа R являются алгеброй над F _{1 ²} бесконечной размерности, поскольку действительные числа содержат ± 1, но не содержат других корней из единицы, а комплексные числа C являются алгеброй над F _{1 ⁿ} для всех n , снова бесконечного измерения, поскольку все комплексные числа имеют корни из единицы.

С этой точки зрения любое явление, которое зависит только от поля, имеющего корни из единицы, можно рассматривать как происходящее из F ₁ - например, дискретное преобразование Фурье (комплексное) и связанное с ним теоретико-числовое преобразование ( Z / n Z -значение).

См. Также [ править ]

• Арифметическая производная
• Полугруппа с одним элементом

Примечания [ править ]

Библиография [ править ]

• Боргер, Джеймс (2009), Λ-кольца и поле с одним элементом , arXiv : 0906.3146
• Консани, Катерина; Конн, Ален , ред. (2011), Некоммутативная геометрия, арифметика и смежные темы. Материалы 21-го заседания Японо-американского математического института (JAMI), проходившего в Университете Джона Хопкинса, Балтимор, Мэриленд, США, 23–26 марта 2009 г. , Балтимор, Мэриленд: Johns Hopkins University Press, ISBN 978-1-4214-0352-6, Zbl  1245,00040
• Конн, Ален ; Консани, Катерина; Марколли, Матильда (2009), «Развлечение с », Журнал теории чисел , 129 (6): 1532–1561, arXiv : 0806.2401 , doi : 10.1016 / j.jnt.2008.08.007 , MR 2521492 , Zbl 1228.11143${\displaystyle \mathbb {F} _{1}}$  
• Конн, Ален ; Consani, Caterina (2010), "Схемы над F ₁ и дзета - функции", Compositio Mathematica , Лондонского математического общества, 146 (6): 1383-1415, Arxiv : 0903,2024 , DOI : 10,1112 / S0010437X09004692
• Дейтмар, Антон (2005), «Схемы над F ₁ », у ван дер Гира, G .; Moonen, B .; Шоф Р. (ред.), Числовые и функциональные поля: два параллельных мира , Прогресс в математике, 239
• Дейтмар, Антон (2006), F ₁ -схемы и торические многообразия , arXiv : math / 0608179
• Дуров, Николай (2008), "Новый подход к геометрии Аракелова", arXiv : 0704.2030 [ math.AG ]
• Джиансиракуза, Джеффри; Джиансиракуза, Ноа (2016), «Уравнения тропических разновидностей», Duke Mathematical Journal , 165 (18): 3379–3433, arXiv : 1308.0042 , doi : 10.1215 / 00127094-3645544
• Капранов Михаил; Смирнов, Александр (1995), Детерминанты когомологий и законы взаимности: случай числового поля (PDF)
• Ле Брюн, Ливен (2009), «(не) коммутативная f-un геометрия», arXiv : 0909.2522 [ math.RA ]
• Lescot, Paul (2009), Algebre absolue (PDF) , заархивировано из оригинала (PDF) 27 июля 2011 г. , извлечено 21 ноября 2009 г.
• Лопес Пенья, Хавьер; Лоршеид, Оливер (2011), «Отображение F _1- земли: обзор геометрии над полем с одним элементом», Некоммутативная геометрия, арифметика и связанные темы : 241–265, arXiv : 0909.0069
• Лоршеид, Оливер (2009), «Алгебраические группы над полем с одним элементом», arXiv : 0907.3824 [ math.AG ]
• Лоршеид, Оливер (2016), « План- вид на F ₁ -геометрию», в Koen, Thas (ed.), Абсолютная арифметика и F ₁ -геометрия , Издательство Европейского математического общества, arXiv : 1301.0083
• Лоршеид, Оливер (2018a), « F ₁ для всех», Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , Springer, 120 (2): 83–116, arXiv : 1801.05337 , doi : 10.1365 / s13291-018-0177-x
• Лоршеид, Оливер (2018b), "Геометрия чертежей, часть II: модели Титса-Вейля алгебраических групп", Форум математики, Sigma , 6 , arXiv : 1201.1324
• Лоршеид, Оливер (2015), Теоретико- схемная тропикализация , arXiv : 1508.07949
• Манин, Юрий (1995), «Лекции по дзета-функциям и мотивам (по Денингеру и Курокаве)» (PDF) , Astérisque , 228 (4): 121–163
• Шольце, Питер (2017), p-адическая геометрия , стр. 13, arXiv : 1712.03708
• Смирнов, Александр (1992), "Неравенства Гурвица для числовых полей" (PDF) , Алгебра и анализ , 4 (2): 186–209
• Суле, Кристоф (1999), На поле с одним элементом (разоблачение à l'Arbeitstagung, Бонн, июнь 1999) (PDF) , Препринт IHES
• Soulé, Christophe (2003), Les varétés sur le corps à un élément (на французском языке), arXiv : math / 0304444
• Титс, Жак (1957), "Sur les аналогов algébriques des groupes semi-simples complex", Colloque d'algèbre supérieure, tenu à Bruxelles du 19 au 22 декабря 1956, Centre Belge de Recherches Mathématiques Établissements Ceuterick, Louvain , Gais: Librair -Villars, стр. 261–289.
• Тоен, Бертран ; Ваки, Мишель (2005), Au dessous de Spec Z, arXiv : math / 0509684
• Веццани, Альберто (2010), «Схема Дейтмара и схемы Тоена-Ваки над F 1 » , Mathematische Zeitschrift , 271 : 1–16, arXiv : 1005.0287 , doi : 10.1007 / s00209-011-0896-5

Внешние ссылки [ править ]

• Находки по математической физике Джона Баэза на этой неделе: неделя 259
• Поле с одним элементом в кафе n категории
• Поле с одним элементом на секретном семинаре по ведению блогов
• Ищу ф ун и ф ун фольклор , Ливен ле Брюн.
• Картографирование F_1-земли: обзор геометрии поля с одним элементом , Хавьер Лопес Пенья, Оливер Лоршайд
• F un Mathematics , Lieven le Bruyn, Koen Thas .
• Конференция Вандербильта по некоммутативной геометрии и геометрии над полем с одним элементом ( расписание )
• NCG и F_un , Ален Конн и К. Консани: резюме докладов и слайды