В математике интеграл Барнса или интеграл Меллина – Барнса - это контурный интеграл, включающий произведение гамма-функций . Их ввел Эрнест Уильям Барнс ( 1908 , 1910 ). Они тесно связаны с обобщенными гипергеометрическими рядами .
Интеграл обычно берется по контуру, представляющему собой деформацию мнимой оси, проходящей справа от всех полюсов множителей вида Γ ( a + s ) и слева от всех полюсов множителей вида Γ ( a - с ).
Гипергеометрический ряд
Гипергеометрическая функция задается в виде интеграла Барнса ( Barnes +1908 ) по
см. также ( Andrews, Askey & Roy, 1999 , теорема 2.4.1). Это равенство можно получить, сдвинув контур вправо при подборе вычетов при s = 0, 1, 2, .... для, и аналитическим продолжением в другом месте. При правильных условиях сходимости можно аналогичным образом связать более общие интегралы Барнса и обобщенные гипергеометрические функции p F q ( Slater, 1966 ).
Леммы Барнса
Первая лемма Барнса ( Barnes 1908 ) утверждает
Это аналог формулы суммирования 2 F 1 Гаусса , а также расширение бета-интеграла Эйлера . Интеграл в нем иногда называют бета-интегралом Барнса .
Вторая лемма Барнса ( Barnes, 1910 ) утверждает
где e = a + b + c - d + 1. Это аналог формулы суммирования Заальшютца .
q-интегралы Барнса
Существуют аналоги интегралов Барнса для основных гипергеометрических рядов , и многие другие результаты также могут быть распространены на этот случай ( Гаспер и Рахман 2004 , глава 4).
Рекомендации
- Эндрюс, GE ; Askey, R .; Рой, Р. (1999). Специальные функции . Энциклопедия математики и ее приложений. 71 . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-62321-9. Руководство по ремонту 1688958 . CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- Барнс, EW (1908). «Новое развитие теории гипергеометрических функций» . Proc. Лондонская математика. Soc . s2-6 : 141–177. DOI : 10.1112 / ПНИЛИ / s2-6.1.141 . JFM 39.0506.01 .
- Барнс, EW (1910). «Преобразование обобщенного гипергеометрического ряда». Ежеквартальный математический журнал . 41 : 136–140. JFM 41.0503.01 .
- Гаспер, Джордж; Рахман, Мизан (2004). Базовый гипергеометрический ряд . Энциклопедия математики и ее приложений. 96 (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-83357-8. Руководство по ремонту 2128719 .
- Слейтер, Люси Джоан (1966). Обобщенные гипергеометрические функции . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-06483-X. Руководство по ремонту 0201688 . Zbl 0135.28101 . (есть мягкая обложка 2008 года с ISBN 978-0-521-09061-2 )