q -экспоненциальный

В комбинаторной математике , А д -exponential является д -аналог от экспоненциальной функции , а именно собственная функция из Q -производного. Существует множество q -производных, например, классическая q -производная , оператор Аски-Вильсона и т. Д. Следовательно, в отличие от классических экспонент, q -экспоненты не уникальны. Например, это д -exponential соответствующий классическому д -производной в то время являются собственные функции операторов Аски-Вильсона.${\ Displaystyle е_ {д} (г)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {E}} _ {q} (г)}$

Определение [ править ]

Д -exponential определяется как${\ Displaystyle е_ {д} (г)}$

${\ displaystyle e_ {q} (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {z ^ {n}} {[n] _ {q}!}} = \ sum _ { n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {z ^ {n} (1-q) ^ {n}} {(q; q) _ {n}}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} z ^ {n} {\ frac {(1-q) ^ {n}} {(1-q ^ {n}) (1-q ^ {n-1}) \ cdots (1-q )}}}$

где - q -факториал, а ${\ displaystyle [n] _ {q}!}$

${\ Displaystyle (д; д) _ {п} = (1-д ^ {п}) (1-д ^ {п-1}) \ cdots (1-д)}$

- символ q -Почхаммера . То, что это q -аналог экспоненты, следует из свойства

${\ displaystyle \ left ({\ frac {d} {dz}} \ right) _ {q} e_ {q} (z) = e_ {q} (z)}$

где производная слева - это q -производная . Сказанное легко проверяется, рассматривая q -производную монома

${\displaystyle \left({\frac {d}{dz}}\right)_{q}z^{n}=z^{n-1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}=[n]_{q}z^{n-1}.}$

Здесь есть д -bracket . Другие определения q- экспоненциальной функции см. В Exton (1983) , Ismail & Zhang (1994) , Suslov (2003) и Cieslinski (2011) .${\displaystyle [n]_{q}}$ harvtxt error: no target: CITEREFExton1983 (help) harvtxt error: no target: CITEREFIsmailZhang1994 (help) harvtxt error: no target: CITEREFSuslov2003 (help) harvtxt error: no target: CITEREFCieslinski2011 (help)

Свойства [ править ]

На самом деле функция - это целая функция от . Ибо , штатно на диске .${\displaystyle q>1}$${\displaystyle e_{q}(z)}$${\displaystyle z}$${\displaystyle q<1}$${\displaystyle e_{q}(z)}$${\displaystyle |z|<1/(1-q)}$

Обратите внимание на обратное, .${\displaystyle ~e_{q}(z)~e_{1/q}(-z)=1}$

Формула сложения [ править ]

Если , держит.${\displaystyle xy=qyx}$${\displaystyle e_{q}(x)e_{q}(y)=e_{q}(x+y)}$

Отношения [ править ]

В самом деле , функция, которая тесно связана, является частным случаем основного гипергеометрического ряда ,${\displaystyle -1<q<1}$${\displaystyle E_{q}(z).}$

${\displaystyle E_{q}(z)=\;_{1}\phi _{1}\left({\scriptstyle {0 \atop 0}}\,;\,z\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{\binom {n}{2}}(-z)^{n}}{(q;q)_{n}}}=\prod _{n=0}^{\infty }(1-q^{n}z)=(z;q)_{\infty }.}$

Четко,

${\displaystyle \lim _{q\to 1}E_{q}\left(z(1-q)\right)=\lim _{q\to 1}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{\binom {n}{2}}(1-q)^{n}}{(q;q)_{n}}}(-z)^{n}=e^{-z}.~}$

Связь с Дилогарифмом [ править ]

${\displaystyle e_{q}(x)}$ имеет следующее бесконечное представление продукта:

${\displaystyle e_{q}(x)=\left(\prod _{k=0}^{\infty }(1-q^{k}(1-q)x)\right)^{-1}.}$

С другой стороны, держит. Когда ,${\displaystyle \log(1-x)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}}$${\displaystyle |q|<1}$

${\displaystyle \log e_{q}(x)=-\sum _{k=0}^{\infty }\log(1-q^{k}(1-q)x)=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(q^{k}(1-q)x)^{n}}{n}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {((1-q)x)^{n}}{(1-q^{n})n}}={\frac {1}{1-q}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {((1-q)x)^{n}}{[n]_{q}n}}.}$

Взяв предел ,${\displaystyle q\to 1}$

${\displaystyle \lim _{q\to 1}(1-q)\log e_{q}(x/(1-q))=\mathrm {Li} _{2}(x),}$

где это дилогарифм .${\displaystyle \mathrm {Li} _{2}(x)}$

Ссылки [ править ]

• Экстон , Х. (1983), q-гипергеометрические функции и приложения , Нью-Йорк: Halstead Press, Чичестер: Эллис Хорвуд, ISBN  0853124914 , ISBN 0470274530 , ISBN 978-0470274538  
• Гаспер , Г. и Рахман , М. (2004), Базовая гипергеометрическая серия , Cambridge University Press, ISBN 0521833574 
• Исмаил , MEH (2005), Классические и квантовые ортогональные многочлены от одной переменной , Cambridge University Press.
• Исмаил , MEH и Чжан , Р. (1994), «Диагонализация некоторых интегральных операторов», Успехи в математике. 108, 1–33.
• Исмаил , М. Е. Рахман , М. и Чжан , Р. (1996), Диагонализация некоторых интегральных операторов II, J. Comp. Прил. Математика. 68, 163–196.
• Джексон, Ф.Х. (1908), "О q-функциях и одном разностном операторе", Труды Королевского общества Эдинбурга , 46 , 253-281.