Генрих Август Роте

Генрих Август Роте (1773–1842) был немецким математиком, профессором математики в Эрлангене . Он был учеником Карла Гинденбурга и членом школы комбинаторики Гинденберга . ^{[1] [2]}

Биография [ править ]

Роте родился в 1773 году в Дрездене , а в 1793 году стал доцентом Лейпцигского университета . Он стал экстраординарным профессором в Лейпциге в 1796 году, а в 1804 году он переехал в Эрланген в качестве профессора, заняв кафедру, которую ранее занимал Карл Кристиан фон Лангсдорф . Он умер в 1842 году, и его должность в Эрлангене, в свою очередь, занял Иоганн Вильгельм Пфафф, брат более известного математика Иоганна Фридриха Пфаффа . ^{[3] [4]}

Исследование [ править ]

Идентичность Роте-Хаген , суммирования формула для биномиальных коэффициентов , появились в 1793 году диссертации Роте. Он назван в честь него и более поздних работ Иоганна Георга Хагена . ^[5] В том же тезисе также включал формулу для вычисления ряда Тейлора в качестве обратной функции от ряда Тейлора для самой функции, связанной с теоремой Лагранжа инверсии . ^[6]

При изучении перестановок Роте был первым, кто определил инверсию перестановки в 1800 году. Он разработал метод визуализации перестановок, теперь известный как диаграмма Роте, квадратная таблица с точкой в ​​каждой ячейке ( i , j ). для которого перестановка отображает позицию i в позицию j и крестик в каждой ячейке ( i , j ), для которой есть точка позже в строке i и другая точка позже в столбце j . Используя диаграммы Роте, он показал, что количество инверсий в перестановке такое же, как и в обратной, поскольку обратная перестановка имеет в качестве диаграммы транспонированную перестановку.исходной диаграммы, а инверсии обеих перестановок отмечены крестиками. Рота использовала этот факт , чтобы показать , что определитель из матрицы такого же , как определитель транспонированные: если один расширяет определитель как многочлен , каждый член соответствует перестановке, а знак члена определяется четностью из его количество инверсий. Поскольку каждый член определителя транспонирования соответствует члену исходной матрицы с обратной перестановкой и тем же числом инверсий, он имеет один и тот же знак, и поэтому два определителя также совпадают. ^[7]

В своей работе 1800 г. по перестановкам Роте также был первым, кто рассмотрел перестановки, которые являются инволюциями ; то есть они сами себе инверсны или, что то же самое, имеют симметричные диаграммы Роте. Он нашел рекуррентное соотношение

${\ Displaystyle Т (п) = Т (п-1) + (п-1) Т (п-2)}$

для подсчета этих перестановок, который также подсчитывает количество таблиц Юнга и который имеет своим решением телефонные номера

1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, 764, 2620, 9496, ... (последовательность A000085 в OEIS ). ^[8]

Рота была также первой , чтобы сформулировать д -binomial теоремы , а Q -аналог из биномиальной теоремы , в 1811 году публикации. ^{[9] [10]}

Избранные публикации [ править ]

• Формулы De Serierum Reversione Demonstratio Universalis Signis Localibus Combinatorio-Analyticorum Vicariis Exhibita: Dissertatio Academica , Лейпциг, 1793.
• " Ueber Permutationen, in Beziehung auf die Stellen ihrer Elemente. Anwendung der daraus abgeleiteten Satze auf das Eliminationsproblem ". В Гинденбурге, Карл , ред., Sammlung Combinatorisch-Analytischer Abhandlungen , стр. 263–305, Bey G. Fleischer dem jüngern, 1800.
• Systematisches Lehrbuch der Arithmetik , Лейпциг, 1811 г.

Ссылки [ править ]