Пятиугольное число

Визуальное представление первых шести пятиугольных чисел

Пятиугольное число является фигурными числами , что расширяет понятие треугольных и квадратных чисел к пятиугольнику , но, в отличии от первых двух, узоры , участвующие в построении пятиугольных чисел не вращательно - симметричные . П - й пятиугольного числа р _п есть число различных точек в виде рисунка из точек , состоящих из контуров регулярных пятиугольников со сторон вплоть до п точек, когда пятиугольники накладных таким образом , что они имеют одну вершины. Например, третий состоит из контуров, содержащих 1, 5 и 10 точек, но 1 и 3 из 5 совпадают с 3 из 10, оставляя 12 различных точек, 10 в форме пятиугольника и 2 внутри.

p _n определяется по формуле:

${\ displaystyle p_ {n} = {\ frac {3n ^ {2} -n} {2}}}$

для n ≥ 1. Первые несколько пятиугольных чисел:

1 , 5 , 12 , 22 , 35 , 51 , 70 , 92 , 117 , 145 , 176 , 210 , 247 , 287, 330, 376, 425, 477, 532, 590, 651, 715, 782, 852, 925 , 1001 , 1080, 1162, 1247, 1335, 1426, 1520, 1617, 1717, 1820, 1926, 2035, 2147, 2262, 2380, 2501, 2625, 2752, 2882, 3015, 3151, 3290, 3432, 3577, 3725, 3876, 4030, 4187 ... (последовательность A000326 в OEIS ).

N-е пятиугольное число - это сумма n целых чисел, начиная с n (т.е. от n до 2n-1). Также имеют место следующие отношения:

${\ displaystyle p_ {n} = p_ {n-1} + 3n-2 = 2p_ {n-1} -p_ {n-2} +3}$

Пятиугольные числа тесно связаны с треугольными числами. П - й пятиугольной номер одна треть (3 п - 1) е треугольное число . Кроме того, где T _n - n- ^е треугольное число.

${\ displaystyle p_ {n} = T_ {n-1} + n ^ {2} = T_ {n} + 2T_ {n-1} = T_ {2n-1} -T_ {n-1}}$

Обобщенные пятиугольные числа получаются из формулы, приведенной выше, но с n, принимающим значения в последовательности 0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, 4 ..., производя последовательность:

0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155, 176, 187, 210, 222, 247, 260, 287, 301, 330, 345, 376, 392, 425, 442, 477, 495, 532, 551, 590, 610, 651, 672, 715, 737, 782, 805, 852, 876, 925, 950, 1001, 1027, 1080, 1107, 1162, 1190, 1247, 1276, 1335 ... (последовательность A001318 в OEIS ).

Обобщенные пятиугольные числа важны для теории разбиений Эйлера , как это выражено в его теореме о пятиугольных числах .

Число точек внутри самого внешнего пятиугольника узора, образующего пятиугольное число, само по себе является обобщенным пятиугольным числом.

Пятиугольные числа не следует путать с пятиугольными числами по центру .

Обобщенные пятиугольные числа и центрированные шестиугольные числа [ править ]

Обобщенные пятиугольные числа тесно связаны с центрированными шестиугольными числами . Когда массив, соответствующий центрированному шестиугольному числу, делится между его средней строкой и соседней строкой, он появляется как сумма двух обобщенных пятиугольных чисел, причем большая часть является собственно пятиугольным числом:

1 = 1 + 0		7 = 5 + 2		19 = 12 + 7		37 = 22 + 15

В целом:

${\ displaystyle 3n (n-1) +1 = {\ tfrac {1} {2}} n (3n-1) + {\ tfrac {1} {2}} (1-n) {\ bigl (} 3 (1-n) -1 {\ bigr)}}$

где оба члена справа - обобщенные пятиугольные числа, а первый член - собственно пятиугольное число ( n ≥ 1). Такое разделение центрированных гексагональных массивов дает обобщенные пятиугольные числа в виде трапециевидных массивов, которые можно интерпретировать как диаграммы Феррерса для их разбиения. Таким образом, их можно использовать для доказательства упомянутой выше теоремы о пятиугольных числах.

Тесты на пятиугольные числа [ править ]

Учитывая положительное целое число x , чтобы проверить, является ли оно (необобщенным) пятиугольным числом, мы можем вычислить

${\ displaystyle n = {\ frac {{\ sqrt {24x + 1}} + 1} {6}}.}$

Число x пятиугольное тогда и только тогда, когда n - натуральное число . В этом случае x - n- е пятиугольное число.

Тест идеального квадрата [ править ]

Для обобщенных пятиугольных чисел достаточно просто проверить, является ли 24 x + 1 полным квадратом.

Для необобщенных пятиугольных чисел, помимо теста на идеальный квадрат, также требуется проверить,

${\displaystyle {\sqrt {24x+1}}\equiv 5\mod 6}$

Математические свойства пятиугольных чисел гарантируют, что этих тестов достаточно для доказательства или опровержения пятиугольника числа. ^[1]

Квадратные пятиугольные числа [ править ]

Квадратное пятиугольное число - это пятиугольное число, которое также является полным квадратом. ^[2]

Первые несколько:

0, 1, 9801, 94109401, 903638458801, 8676736387298001, 83314021887196947001, 799981229484128697805801, 7681419682192581869134354401, 73756990988431941623299373152801 ... ( OEIS запись A036353 )

См. Также [ править ]

• Шестиугольное число
• Треугольное число

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Леонард Эйлер: О замечательных свойствах пятиугольных чисел