Квадратичное целое число

В теории чисел , квадратичные целые числа являются обобщением целых чисел до квадратичных полей . Целые квадратичные числа - это целые алгебраические числа второй степени, то есть решения уравнений вида

х 2 + bx + с = 0

с целыми числами $b$ и $c$ . Когда рассматриваются алгебраические целые числа, обычные целые числа часто называют рациональными целыми числами .

Распространенными примерами квадратичных целых чисел являются квадратные корни из целых чисел, например $\sqrt 2$ , и комплексное число $i = \sqrt -1$ , которое порождает гауссовские целые числа . Другой распространенный пример - не действительный кубический корень из единицы. $-1 + \sqrt -3 / 2$ , который генерирует целые числа Эйзенштейна .

Квадратичные целые числа встречаются в решениях многих диофантовых уравнений , таких как уравнения Пелла , и других вопросов, связанных с целочисленными квадратичными формами . Изучение колец целых квадратичных чисел лежит в основе многих вопросов алгебраической теории чисел .

История [ править ]

Этот раздел нуждается в расширении . Вы можете помочь, добавив к нему . ( Март 2015 г. )

Средневековые индийские математики уже открыли умножение квадратичных целых чисел одного и того же $D$ , что позволило им решить некоторые случаи уравнения Пелла . ^{[ необходима цитата ]}

Описание, данное в § Явное представление квадратичных целых чисел, было впервые дано Ричардом Дедекиндом в 1871 году. ^[1]^[2]

Определение [ править ]

Квадратичное целое число является целым алгебраической степенью два. Более точно, это комплексное число , которое решает уравнение вида $x$ $2$ $+$ $bx$ $+$ $c$ $= 0$ с целыми числами b и c . Каждое квадратичное целое число, не являющееся целым, не является рациональным - а именно, это действительное иррациональное число, если $b$ $2$ $- 4$ $c$ $> 0,$ и не действительное, если $b$ $2$ $- 4$ $c$ $<0$ - и лежит в однозначно определенном квадратичном поле ${\ displaystyle x = {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -4c}}} {2}}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}})}$ , расширение из, порожденное квадратным корнем из единственного бесквадратного целого числа $D$ , удовлетворяющего условию $b$ $2$ $- 4$ $c$ $=$ $De$ $2$ для некоторого целого числа $e$ . Если $D$ положительно, квадратичное целое число действительно. Если D <0, он мнимый (то есть сложный и нереальный). ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Квадратичные целые числа (включая обычные целые числа), которые принадлежат квадратичному полю , образуют область целостности, называемую кольцом целых чисел ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}}).}$

Хотя квадратичные целые числа, принадлежащие данному квадратичному полю, образуют кольцо , набор всех квадратичных целых чисел не является кольцом, потому что он не замкнут при сложении или умножении . Например, и являются квадратичными целыми числами, но и не являются, поскольку их минимальные многочлены имеют степень четыре. ${\ displaystyle 1 + {\ sqrt {2}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {3}}}$ ${\ displaystyle 1 + {\ sqrt {2}} + {\ sqrt {3}}}$ ${\ Displaystyle (1 + {\ sqrt {2}}) \ cdot {\ sqrt {3}}}$

Явное представление [ править ]

Здесь и далее рассматриваемые квадратичные целые числа принадлежат квадратичному полю, где $D$ - целое число без квадратов . Это не ограничивает общность, поскольку равенство $\sqrt$ $a$ $2$ $D$ $=$ $a$ $\sqrt$ $D$ (для любого положительного целого числа $a$ ) влечет ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}}),}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}}) = \ mathbb {Q} ({\ sqrt {a ^ {2} D}}).}$

Элемент $x$ из является квадратичным целым числом тогда и только тогда, когда существуют два целых числа $a$ и $b$ такие, что либо ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}})}$

{\ Displaystyle х = а + Ь {\ sqrt {D}},}

или, если $D - 1$ делится на $4$

{\ displaystyle x = {\ frac {a} {2}} + {\ frac {b} {2}} {\ sqrt {D}},}

с

a

и

b

оба нечетные

Другими словами, каждое квадратное целое число может быть записано как $a + ωb$ , где $a$ и $b$ - целые числа, а $ω$ определяется как:

{\ displaystyle \ omega = {\ begin {case} {\ sqrt {D}} & {\ mbox {if}} D \ Equiv 2,3 {\ pmod {4}} \\ {{1 + {\ sqrt { D}}} \ over 2} & {\ mbox {if}} D \ Equiv 1 {\ pmod {4}} \ end {case}}}

(поскольку $D$ предполагалось свободным от квадратов, случай невозможен, так как это означало бы, что D делится на квадрат 4). ^[3] ${\ Displaystyle D \ Equiv 0 {\ pmod {4}}}$

Норма и спряжение [ править ]

Можно записать квадратичное целое число в ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}})}$

а + b \sqrt D

,

где $a$ и $b$ либо оба целые числа, либо, только если $D \equiv 1 (mod 4)$ , обе половины нечетных целых чисел . Норма такого целого числа квадратичной

N (a + b \sqrt D) = a 2 - Db 2

.

Норма квадратичного целого числа всегда целое. Если $D <0$ , норма квадратичного целого числа - это квадрат его абсолютного значения как комплексного числа (это неверно, если $D > 0$ ). Норма - это полностью мультипликативная функция , что означает, что норма произведения квадратичных целых чисел всегда является произведением их норм.

Каждому целому квадратичному числу $a + b \sqrt D$ соответствует сопряженное

{\overline {a+b{\sqrt {D}}}}=a-b{\sqrt {D}}.

Квадратичное целое число имеет ту же норму, что и его сопряженное, и эта норма является произведением квадратичного целого числа и его сопряженного. Сопряжение суммы или произведения квадратичных целых чисел - это сумма или произведение (соответственно) сопряженных чисел. Это означает, что сопряжение является автоморфизмом кольца целых чисел —см. § Квадратичные целочисленные кольца ниже. $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}})$

Квадратичные целочисленные кольца [ править ]

Каждое целое число без квадратов (отличное от 0 и 1) $D$ определяет квадратное целочисленное кольцо , которое является областью целостности, состоящей из алгебраических целых чисел, содержащихся в нем. Это множество $Z$ $[$ $ω$ $] = {$ $a$ $+$ $ωb$ $:$ $a$ $,$ $b$ $\in$ $Z$ $},$ где, если $D$ $= 4,$ $k$ $+1$ , и $ω$ $=$ $\sqrt$ $D в$ противном случае. Это часто обозначается , потому что это кольцо целых из $Q$ $\mathbf {Q} ({\sqrt {D}}).$ $\omega ={\tfrac {1+{\sqrt {D}}}{2}}$ ${\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {D}})}$ $(\sqrt D$ ), который является целым замыканием из $Z$ в кольце $Z$ $[$ $ω$ $]$ состоит из всех корней всех уравнений $х$ $2$ $+$ $Вх$ $+$ $С$ $= 0$ , чьи дискриминант $Б$ $2$ $- 4$ $С$ является произведением $D$ на квадрат целое число. В частности, √ D принадлежит $Z$ $[$ $ω$ $]$ , будучи корнем уравнения $x$ $2$ $-$ $D$ $= 0$ , которое имеет $\mathbf {Q} ({\sqrt {D}}).$ $4 D в$ качестве его дискриминанта.

Квадратный корень из любого целого числа является квадратичным целым числом, так как каждый целого числа можно записать $п = м 2 D$ , где $D$ представляет собой квадрат-целое число , свободные, и его корень квадратного корня из $й 2 - м 2 Д = 0$ .

Основная теорема арифметики не соответствует действительности во многих кольцах квадратичных целых. Однако существует уникальная факторизация идеалов , которая выражается в том факте, что каждое кольцо целых алгебраических чисел является дедекиндовской областью . Будучи простейшими примерами алгебраических целых чисел, квадратичные целые числа обычно являются стартовыми примерами большинства исследований по теории алгебраических чисел . ^[4]

Квадратичные целые кольца разделить на два класса в зависимости от знака $D$ . Если $D > 0$ , все элементы вещественные, и кольцо является вещественным квадратичным целочисленным кольцом . Если $D$ $<0$ , единственными действительными элементами являются обычные целые числа, а кольцо является комплексным квадратичным целочисленным кольцом . ${\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {D}})}$ ${\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {D}})}$

Для вещественных квадратичных целочисленных колец номер класса , который измеряет отказ уникальной факторизации, указан в OEIS A003649 ; для мнимого случая они приведены в OEIS A000924 .

Единицы [ править ]

Квадратичное целое число - это единица в кольце целых чисел тогда и только тогда, когда его норма равна $1$ или $-1$ . В первом случае его мультипликативная инверсия - его сопряженная. Это отрицание его сопряженного во втором случае. $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}})$

Если $D <0$ , кольцо целых чисел имеет не более шести единиц. В случае гауссовых целых чисел ( $D$ $= -1$ ) четыре единицы: $1, -1,$ $\sqrt$ $-1$ $, -$ $\sqrt$ $-1$ . В случае целых чисел Эйзенштейна ( $D$ $= -3$ ) шесть единиц равны $\pm 1,$ $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}})$ $\pm 1 \pm \sqrt -3 / 2$ . Для всех остальных отрицательных $D$ есть только две единицы: $1$ и $-1$ .

Если $D > 0$ , кольцо целых чисел имеет бесконечно много единиц, равных $\pm$ $u$ $i$ , где $i$ - произвольное целое число, а $u$ - конкретная единица, называемая фундаментальной единицей . Принимая во внимание основной единицей $у$ , есть три другие фундаментальные единицы, сопряженная , а также и Как правило, один вызывает на основную единицу, уникальный тот , который имеет абсолютное большее значение , чем 1 (как действительное число). Это единственная фундаментальная единица, которую можно записать как $a$ $+$ $b$ $\sqrt$ $D$ , где $a$ $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}})$ ${\overline {u}},$ $-u$ $-{\overline {u}}.$ и $b$ положительные (целые числа или половины целых чисел).

Фундаментальные единицы для 10 наименьших положительных бесквадратных $D$ равны $1 + \sqrt 2$ , $2 + \sqrt 3$ , $1 + \sqrt 5 / 2$ ( золотое сечение ), $5 + 2 \sqrt 6$ , $8 + 3 \sqrt 7$ , $3 + \sqrt 10$ , $10 + 3 \sqrt 11$ , $3 + \sqrt 13 / 2$ , $15 + 4 \sqrt 14$ , $4 + \sqrt 15$ . Для большего $D$ коэффициенты основной единицы могут быть очень большими. Например, для $D = 19, 31, 43$ основные единицы равны соответственно $170 + 39 \sqrt 19$ , $1520 + 273 \sqrt 31$ и $3482 + 531 \sqrt 43$ .

Примеры комплексных квадратичных целочисленных колец [ править ]

Гауссовские целые числа

Простые числа Эйзенштейна

При $D$ <0 ω - комплексное ( мнимое или иначе не действительное) число. Следовательно, квадратичное целочисленное кольцо естественно рассматривать как набор алгебраических комплексных чисел .

Классический пример , в гауссовых целых числах , который был представлен Карлом Гауссом около 1800 изложить свой биквадратичный закон взаимности. ^[5] $\mathbf {Z} [{\sqrt {-1}}]$
Элементы в называются целыми числами Эйзенштейна . ${\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-3}})}=\mathbf {Z} \left[{{1+{\sqrt {-3}}} \over 2}\right]$

Оба упомянутых выше кольца являются кольцами целых чисел круговых полей Q (ζ ₄ ) и Q (ζ ₃ ) соответственно. Напротив, Z [ √ −3 ] даже не является дедекиндовской областью .

Оба приведенных выше примера представляют собой кольца главных идеалов, а также евклидовы области для нормы. Это не так для

{\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-5}})}=\mathbf {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right],

который даже не является уникальной областью факторизации . Это можно показать следующим образом.

У нас есть ${\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-5}})},$

9=3\cdot 3=(2+{\sqrt {-5}})(2-{\sqrt {-5}}).

Коэффициенты 3 и являются несократимыми , поскольку все они имеют норму 9, и если бы они не были несократимыми, они имели бы коэффициент нормы 3, что невозможно, поскольку норма элемента, отличного от $\pm 1,$ составляет не менее 4 Таким образом, разложение 9 на неприводимые множители не уникально. $2+{\sqrt {-5}}$ $2-{\sqrt {-5}}$

Эти идеалы и не главным , как простое вычисление показывает , что их продукт является идеал , порожденный 3, и, если бы они были главными, это означало бы , что 3 не будет неприводимым. $\langle 3,1+{\sqrt {-5}}\rangle$ $\langle 3,1-{\sqrt {-5}}\rangle$

Примеры вещественных квадратичных целочисленных колец [ править ]

Полномочия золотого сечения

При $D > 0$ , $ω$ является положительным иррациональным действительным числом, а соответствующее квадратичное целое кольцо представляет собой множество алгебраических действительных чисел . Решения уравнения Пелля $X 2 - D Y 2 = 1$ , широко изученного диофантова уравнения , являются единицами этих колец для $D \equiv 2, 3 (mod 4)$ .

Для $D = 5$ , $ω = 1+ \sqrt 5 / 2$ это золотое сечение . Это кольцо изучал Петер Густав Лежен Дирихле . Его единицы имеют вид $\pm ω n$ , где $n$ - произвольное целое число. Это кольцо также является результатом изучения 5-кратной вращательной симметрии на евклидовой плоскости, например, мозаик Пенроуза . ^[6]
Индийский математик Брахмагупта обработал уравнение Пелла $X 2 - 61 Y 2 = 1$ , которому соответствует кольцо $Z [\sqrt 61]$ . Некоторые результаты были представлены Европейским сообществом по Пьером Ферма в 1657. ^{[ который? ]}

Главные кольца квадратичных целых чисел [ править ]

Свойство уникальной факторизации не всегда проверяется для колец квадратичных целых чисел, как показано выше для случая $Z [\sqrt -5]$ . Однако, как и для любой области Дедекинда , кольцо квадратичных целых чисел является уникальной областью факторизации тогда и только тогда, когда это область главных идеалов . Это происходит тогда и только тогда, когда номер класса соответствующего квадратичного поля равен единице.

Полностью определены мнимые кольца целых квадратичных чисел, которые являются кольцами главных идеалов. Это для ${\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {D}})}$

D = -1, -2, -3, -7, -11, -19, -43, -67, -163

.

Этот результат был впервые предположен Гауссом и доказан Куртом Хегнером , хотя доказательству Хегнера не верили, пока Гарольд Старк не дал более позднее доказательство в 1967 году (см. Теорему Старка – Хегнера ). Это частный случай знаменитой проблемы числа классов .

Существует много известных натуральных чисел $D > 0$ , для которых кольцо целых квадратичных чисел является кольцом главных идеалов. Однако полный список неизвестен; даже не известно, конечно ли число этих колец главных идеалов.

Евклидовы кольца квадратичных целых чисел [ править ]

Когда кольцо квадратичных целых чисел является областью главного идеала , интересно знать, является ли оно евклидовой областью . Эта проблема была полностью решена следующим образом.

Оборудованный нормой как евклидова функция , это евклидова область для отрицательного $D,$ когда $N(a+b{\sqrt {D}})=a^{2}-Db^{2}$ ${\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {D}})}$

D = -1, -2, -3, -7, -11

,^[7]

а при положительном $D$ , когда

D = 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73

(последовательность A048981 в OEIS ).

Нет другого кольца квадратичных целых чисел, которое было бы евклидовым с нормой как евклидова функция. ^[8]

Для отрицательного $D$ кольцо квадратичных целых чисел является евклидовым тогда и только тогда, когда норма для него является евклидовой функцией . Отсюда следует, что при

D = -19, -43, -67, -163

,

четыре соответствующих кольца квадратичных целых чисел являются одними из редких известных примеров областей главных идеалов, которые не являются евклидовыми областями.

С другой стороны, обобщенная гипотеза Римана подразумевает, что кольцо действительных квадратичных целых чисел, которое является областью главного идеала, также является евклидовой областью для некоторой евклидовой функции, которая действительно может отличаться от обычной нормы. ^[9] Значения D = 14, 69 были первыми, для которых кольцо квадратичных целых чисел было доказано как евклидово, но не евклидово по норме. ^[10]^[11]

Заметки [ править ]

↑ Дедекинд 1871 , Приложение X, стр. 447
Перейти ↑ Bourbaki 1994 , p. 99
^ "Почему квадратное целочисленное кольцо определено таким образом?" . math.stackexchange.com . Проверено 31 декабря 2016 .
^ М. Артин, Алгебра (2-е изд), глава 13
^ Даммит, стр. 229
^ де Брюйн, Н.Г. (1981), "Алгебраическая теория непериодических мозаик Пенроуза плоскости, I, II" (PDF) , Indagationes Mathematicae , 43 (1): 39–66
^ Даммит, стр. 272
^ Левек, Уильям Дж. (2002) [1956]. Разделы теории чисел, тома I и II . Нью-Йорк: Dover Publications. С. II: 57, 81. ISBN 978-0-486-42539-9. Zbl 1009.11001 .
^ П. Вайнбергер, О евклидовых кольцах алгебраических целых чисел . В: Аналитическая теория чисел (Сент-Луис, 1972), Proc. Симпозиумы. Чистая математика. 24 (1973), 321–332.
^ М. Харпер, является евклидовым . Может. J. Math. 56 (2004), 55–70. $\mathbb {Z} [{\sqrt {14}}]$
^ Дэвид А. Кларк, Квадратичное поле, которое является евклидовым, но не норм-евклидовым , Manuscripta Mathematica, 83 (1994), 327–330 [1] Архивировано 29 января 2015 г. в Wayback Machine.

Ссылки [ править ]

Бурбаки, Николас (1994). Элементы истории математики . Перевод Мелдрам, Джон. Берлин: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-64767-6. Руководство по ремонту 1290116 .
Дедекинд, Ричард (1871), Vorlesungen über Zahlentheorie von PG Lejeune Dirichlet (2-е изд.), Vieweg. Дата обращения 5. августа 2009.
Даммит, Д.С., и Фут, Р.М., 2004. Абстрактная алгебра , 3-е изд.
Артин, М., Алгебра , 2-е изд., Гл.13.

Дальнейшее чтение [ править ]

Дж. С. Милн. Алгебраическая теория чисел , версия 3.01, 28 сентября 2008 г., онлайн-лекции

[1] Дедекинд 1871 , Приложение X, стр. 447

[2] Перейти ↑ Bourbaki 1994 , p. 99

[3] "Почему квадратное целочисленное кольцо определено таким образом?" . math.stackexchange.com . Проверено 31 декабря 2016 .

[4] М. Артин, Алгебра (2-е изд), глава 13

[5] Даммит, стр. 229

[6] де Брюйн, Н.Г. (1981), "Алгебраическая теория непериодических мозаик Пенроуза плоскости, I, II" (PDF) , Indagationes Mathematicae , 43 (1): 39–66

[7] Даммит, стр. 272

[8] Левек, Уильям Дж. (2002) [1956]. Разделы теории чисел, тома I и II . Нью-Йорк: Dover Publications. С. II: 57, 81. ISBN 978-0-486-42539-9. Zbl 1009.11001 .

[9] П. Вайнбергер, О евклидовых кольцах алгебраических целых чисел . В: Аналитическая теория чисел (Сент-Луис, 1972), Proc. Симпозиумы. Чистая математика. 24 (1973), 321–332.

[10] М. Харпер, является евклидовым . Может. J. Math. 56 (2004), 55–70. $\mathbb {Z} [{\sqrt {14}}]$

[11] Дэвид А. Кларк, Квадратичное поле, которое является евклидовым, но не норм-евклидовым , Manuscripta Mathematica, 83 (1994), 327–330 [1] Архивировано 29 января 2015 г. в Wayback Machine.

[1]