Нетерово топологическое пространство

В математике нетерово топологическое пространство , названное в честь Эмми Нётер , представляет собой топологическое пространство, в котором замкнутые подмножества удовлетворяют условию убывающей цепи . Эквивалентно, мы могли бы сказать, что открытые подмножества удовлетворяют условию возрастающей цепочки , поскольку они являются дополнениями к замкнутым подмножествам. Нётеровское свойство топологического пространства также можно рассматривать как сильное условие компактности , а именно, что каждое открытое подмножество такого пространства компактно, и на самом деле это эквивалентно, казалось бы, более сильному утверждению, что каждое подмножество компактно.

Определение [ править ]

Топологическое пространство называется нётеровым, если оно удовлетворяет условию убывающей цепи для замкнутых подмножеств : для любой последовательности${\ displaystyle X}$

${\ Displaystyle Y_ {1} \ supseteq Y_ {2} \ supseteq \ cdots}$

замкнутых подмножеств в , существует целое число такое , что ${\ displaystyle Y_ {i}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle Y_ {m} = Y_ {m + 1} = \ cdots.}$

Свойства [ править ]

• Топологическое пространство нётерово тогда и только тогда, когда каждое подпространство в компактно (т. Е. Наследственно компактно), и тогда и только тогда, когда каждое открытое подмножество в компактно. ^[1]${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$
• Каждое подпространство нётерова пространства нётерово.
• Непрерывный образ нётерова пространства - нётеровский. ^[2]
• Конечное объединение нётеровых подпространств топологического пространства нётерово. ^[3]
• Каждое нётерово хаусдорфово пространство конечно с дискретной топологией .

Доказательство. Каждое подмножество X компактно в хаусдорфовом пространстве, следовательно, замкнуто. Итак, X имеет дискретную топологию и, будучи компактным, должно быть конечным.

• Каждое нётерово пространство X имеет конечное число неприводимых компонент . ^[4] Если неприводимые компоненты есть , то и ни одна из компонент не содержится в объединении других компонентов.${\ displaystyle X_ {1}, ..., X_ {n}}$${\ Displaystyle X = X_ {1} \ чашка \ cdots \ чашка X_ {n}}$${\ displaystyle X_ {i}}$

Из алгебраической геометрии [ править ]

Многие примеры нетеровских топологических пространств происходят из алгебраической геометрии , где для топологии Зарисского неприводимое множество обладает свойством , что интуитивное любое замкнутое собственное подмножество имеет меньшую размерность. Поскольку размерность может «спрыгивать» только конечное число раз, а алгебраические множества состоят из конечных объединений неприводимых множеств, нисходящие цепочки замкнутых множеств Зарисского в конечном итоге должны быть постоянными.

Более алгебраический способ увидеть это состоит в том, что ассоциированные идеалы, определяющие алгебраические множества, должны удовлетворять условию возрастающей цепи . Это следует потому, что кольца алгебраической геометрии в классическом смысле являются нётеровыми кольцами . Таким образом, этот класс примеров также объясняет название.

Если R является коммутативным нётеровым кольца, то Spec ( R ), то простой спектр из R , является нетеровым топологического пространства. В более общем смысле, нётерова схема - это нетерово топологическое пространство. Обратное неверно, поскольку Spec ( R ) одномерной области нормирования R состоит ровно из двух точек и, следовательно, является нётеровым, но есть примеры таких колец, которые не являются нётеровыми.

Пример [ править ]

Пространство (аффинное -пространство над полем ) при топологии Зарисского является примером нётерова топологического пространства. По свойствам идеала подмножества мы знаем, что если${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}}$

${\displaystyle Y_{1}\supseteq Y_{2}\supseteq Y_{3}\supseteq \cdots }$

- убывающая цепочка замкнутых по Зарискому подмножеств, то

${\displaystyle I(Y_{1})\subseteq I(Y_{2})\subseteq I(Y_{3})\subseteq \cdots }$

является восходящей цепочкой идеалов кольца Поскольку это нётерово кольцо, существует такое целое число , что ${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}].}$${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle I(Y_{m})=I(Y_{m+1})=I(Y_{m+2})=\cdots .}$

Поскольку является замыканием Y для всех Y , для всех Следовательно${\displaystyle V(I(Y))}$${\displaystyle V(I(Y_{i}))=Y_{i}}$${\displaystyle i.}$

${\displaystyle Y_{m}=Y_{m+1}=Y_{m+2}=\cdots }$ как требуется.

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для выпускников по математике , 52 , Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, Руководство по ремонту  0463157

В эту статью включены материалы из топологического пространства Нётериана на PlanetMath , которое находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .