Основная теорема Зарисского

---

В алгебраической геометрии основная теорема Зариски , доказанная Оскаром Зариски  ( 1943 ), представляет собой утверждение о структуре бирациональных морфизмов, грубо утверждающее, что в любой нормальной точке многообразия есть только одна ветвь. Это частный случай теоремы связности Зарисского, когда два многообразия бирациональны.

Основную теорему Зарисского можно сформулировать несколькими способами, которые на первый взгляд кажутся совершенно разными, но на самом деле тесно связаны между собой. Вот некоторые из вариаций, которые были названы основной теоремой Зарисского:

Название «основная теорема Зарисского» происходит от того факта, что Зарисский обозначил ее как «ОСНОВНУЮ ТЕОРЕМУ» у Зарисского ( 1943 ).

Пусть f — бирациональное отображение алгебраических многообразий V и W . Напомним, что f определяется замкнутым подмногообразием («графиком» f ), таким, что проекция на первый фактор индуцирует изоморфизм между open и , и таким, что также является изоморфизмом на U. Дополнение U в V называется фундаментальным многообразием или местом неопределенности , а образ подмножества V при называется его полным преобразованием .${\displaystyle \Gamma \subset V\times W}$${\displaystyle p_{1}}$${\displaystyle U\subset V}$${\displaystyle p_{1}^{-1}(U)}$${\displaystyle p_{2}\circ p_{1}^{-1}}$${\displaystyle p_{2}\circ p_{1}^{-1}}$

Здесь T — по существу бирациональный морфизм из V ′ в V , W — подмногообразие множества, где обратное к T не определено, локальное кольцо которого нормально, а преобразование T [ W ] означает прообраз W при морфизм из V ′ в V .

Вот несколько вариантов этой теоремы, сформулированных с использованием более современной терминологии. Хартсхорн (1977 , следствие III.11.4) называет следующее утверждение о связности «Основной теоремой Зариского»:

---