Дифференциальная алгебра

В математике , дифференциальных колец , дифференциальных полей и дифференциальных алгебр являются кольца , поля и алгебры , оснащенные конечным числом выводов , которые являются унарные функции, линейные и удовлетворяют правилу Лейбница продукта . Естественный пример дифференциального поля является полем рациональных функций одной переменной над комплексными числами , где вывод является дифференцирование по  т .${\ Displaystyle \ mathbb {C} (т)}$

Дифференциальная алгебра относится также к области математики, состоящей в изучении этих алгебраических объектов и их использовании для алгебраического изучения дифференциальных уравнений. Дифференциальная алгебра была введена Джозефом Риттом в 1950 году ^[1].

Дифференциальное кольцо [ править ]

Дифференциальное кольцо представляет собой кольцо R оснащен одним или несколько отведениями , которые являются гомоморфизмами из аддитивных групп

${\ Displaystyle \ partial \ двоеточие R \ к R \,}$

такое, что каждый вывод ∂ удовлетворяет правилу произведения Лейбница

${\ displaystyle \ partial (r_ {1} r_ {2}) = (\ partial r_ {1}) r_ {2} + r_ {1} (\ partial r_ {2}), \,}$

для каждого . Обратите внимание, что кольцо может быть некоммутативным, поэтому несколько стандартная форма d ( xy ) = x d y + y d x правила произведения в коммутативных настройках может быть ложной. Если это умножение на кольце, правилом произведения является тождество${\ displaystyle r_ {1}, r_ {2} \ in R}$${\ displaystyle M: ​​R \ times R \ to R}$

${\ displaystyle \ partial \ circ M = M \ circ (\ partial \ times \ operatorname {id}) + M \ circ (\ operatorname {id} \ times \ partial).}$

где означает функцию, которая отображает пару в пару .${\ displaystyle f \ times g}$${\ Displaystyle (х, у)}$${\ Displaystyle (е (х), г (у))}$

Дифференциальное поле [ править ]

Дифференциальное поле - это коммутативное поле K, снабженное дифференцированием.

Известная формула дифференцирования дробей

${\displaystyle \partial \left({\frac {u}{v}}\right)={\frac {\partial (u)\,v-u\,\partial (v)}{v^{2}}}}$

следует из правила произведения. Действительно, мы должны иметь

${\displaystyle \partial \left({\frac {u}{v}}\times v\right)=\partial (u)}$

Тогда по правилу произведения мы имеем

${\displaystyle \partial \left({\frac {u}{v}}\right)\,v+{\frac {u}{v}}\,\partial (v)=\partial (u)}$

Решая относительно , получаем искомое тождество.${\displaystyle \partial (u/v)}$

Если K - дифференциальное поле, то поле констант поля K равно${\displaystyle k=\{u\in K:\partial (u)=0\}.}$

Дифференциальная алгебра над полем K - это K -алгебра A, в которой дифференцирование (я) коммутирует со скалярным умножением. То есть для всех и у одного${\displaystyle k\in K}$${\displaystyle x\in A}$

${\displaystyle \partial (kx)=k\partial x}$

Если - гомоморфизм колец в центр A, определяющий скалярное умножение на алгебре , то${\displaystyle \eta \colon K\to Z(A)}$

${\displaystyle \partial \circ M\circ (\eta \times \operatorname {Id} )=M\circ (\eta \times \partial )}$

Как и выше, вывод должен подчиняться правилу Лейбница по умножению алгебры и должен быть линейным по сложению. Таким образом, для всех и один имеет${\displaystyle a,b\in K}$${\displaystyle x,y\in A}$

${\displaystyle \partial (xy)=(\partial x)y+x(\partial y)}$

и

${\displaystyle \partial (ax+by)=a\,\partial x+b\,\partial y.}$

Вывод на алгебре Ли [ править ]

Вывод на алгебре Ли - это линейное отображение, удовлетворяющее правилу Лейбница:${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle D\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle D([a,b])=[a,D(b)]+[D(a),b]}$

Для любого ad ( a ) является выводом на , что следует из тождества Якоби . Любой такой вывод называется внутренним выводом . Этот вывод распространяется на универсальную обертывающую алгебру алгебры Ли.${\displaystyle a\in {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Примеры [ править ]

Если является унитальная , то ∂ (1) = 0 , так как ∂ (1) = ∂ (1 × 1) = ∂ (1) + ∂ (1). Например, в дифференциальном поле нулевой характеристики рациональные числа всегда являются подполем поля констант .${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$

Любое кольцо является дифференциальным кольцом относительно тривиального дифференцирования, которое переводит любой элемент кольца в ноль.

Поле Q ( t ) имеет уникальную структуру как дифференциальное поле, определяемое установкой ∂ ( t ) = 1: аксиомы поля вместе с аксиомами для выводов гарантируют, что вывод является дифференцированием по t . Например, в силу коммутативности умножения и закона Лейбница ∂ ( u ² ) =  u ∂ ( u ) + ∂ ( u ) u  = 2 u ∂ ( u ).

Дифференциальное поле Q ( t ) не может иметь решения дифференциального уравнения

${\displaystyle \partial (u)=u}$

но расширяется до большего дифференциального поля, включая функцию e ^t, которая действительно имеет решение этого уравнения. Дифференциальное поле с решениями всех систем дифференциальных уравнений называется дифференциально замкнутым полем . Такие поля существуют, хотя они не появляются как естественные алгебраические или геометрические объекты. Все дифференциальные поля (ограниченной мощности) вкладываются в большое дифференциально замкнутое поле. Дифференциальные поля являются объектами изучения дифференциальной теории Галуа .

Встречающиеся в природе примеров выводов являются частными производными , производных Ли , то производное Пинкерло , и коммутатор по отношению к элементу в алгебре .

Кольцо псевдодифференциальных операторов [ править ]

В этом разделе несколько вопросов. Пожалуйста, помогите улучшить его или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны ) Этот раздел предоставляет недостаточный контекст для тех, кто не знаком с предметом . Пожалуйста, помогите улучшить статью , предоставив читателю больше контекста . ( Май 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) В этом разделе не процитировать любые источники . Пожалуйста, помогите улучшить этот раздел , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален . ( Май 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) Этот раздел может сбивать с толку или непонятно читателям . В частности, неясно, представляет ли \ xi дифференциальный или интегральный оператор, а обозначение \ sum_ {n <\ infty} не определено (я исправил это, но правильность моего редактирования должна быть проверена). Помогите, пожалуйста, прояснить раздел . На странице обсуждения может быть обсуждение этого вопроса . ( Май 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Дифференциальные кольца и дифференциальные алгебры часто изучаются с помощью кольца псевдодифференциальных операторов на них.

Это набор формальных бесконечных сумм

${\displaystyle \left\{\sum _{n\ll \infty }r_{n}\xi ^{n}\mid r_{n}\in R\right\},}$

где означает, что сумма вычисляется для всех целых чисел, не превышающих фиксированное (конечное) значение.${\displaystyle n\ll \infty }$

Этот набор представляет собой кольцо с умножением, определяемым линейным расширением следующей формулы для «мономов»:

${\displaystyle (r\xi ^{m})(s\xi ^{n})=\sum _{k=0}^{\infty }r(\partial ^{k}s){m \choose k}\xi ^{m+n-k},}$

где - биномиальный коэффициент . (Если сумма конечна, поскольку все члены с равны нулю.) В частности, один имеет${\displaystyle \textstyle {m \choose k}={\frac {m(m-1)\dots (m-k+1}{k!}}}$${\displaystyle m>0,}$${\displaystyle k>m}$

${\displaystyle \xi ^{-1}s=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(\partial ^{k}s)\xi ^{-1-k}.}$

для r = 1 , m = –1 и n = 0 , и используя тождество${\displaystyle \textstyle {-1 \choose k}=(-1)^{k}}$

См. Также [ править ]

• Дифференциальная теория Галуа
• Кэлер дифференциал
• Дифференциально замкнутое поле
• Д-модуль является алгебраической структурой с несколькими дифференциальных операторами , действующими на него.
• Дифференциальная градуированная алгебра является дифференциальной алгебра с дополнительной классификацией.
• Арифметическая производная
• Дифференциальное исчисление над коммутативными алгебрами
• Алгебра разностей
• Дифференциально-алгебраическая геометрия
• Теория Пикара – Вессио
• Харди поле

Ссылки [ править ]

• Буйум, Александру (1994). Дифференциальная алгебра и диофантова геометрия . Германн. ISBN 978-2-7056-6226-4.
• Каплански, Ирвинг (1976). Введение в дифференциальную алгебру (2-е изд.). Германн. ISBN 9782705612511.
• Колчин, Эллис (1973). Дифференциальная алгебра и алгебраические группы . Академическая пресса. ISBN 978-0-08-087369-5.
• Маркер, Дэвид (2017) [1996]. «Модельная теория дифференциальных полей» . В Маркер, Дэвид; Мессмер, Маргит; Пиллэй, Ананд (ред.). Модельная теория полей . Конспект лекций по логике. 5 . Издательство Кембриджского университета. С. 38–113. ISBN 978-1-107-16807-7.В формате PDF
• Магид, Энди Р. (1994). Лекции по дифференциальной теории Галуа . Цикл лекций в университете. 7 . Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-7004-4.

Внешние ссылки [ править ]

• На домашней странице Дэвида Маркера есть несколько онлайн-опросов, посвященных дифференциальным полям.