В математике , А дифференциальное поле К является дифференциально закрытым , если каждая конечная система дифференциальных уравнений с раствором в некоторой области , простирающейся дифференциальной K уже имеет решение в K . Эта концепция была введена Робинсоном (1959) . Дифференциально замкнутые поля являются аналогами дифференциальных уравнений алгебраически замкнутых полей для полиномиальных уравнений.
Теория дифференциально замкнутых полей
Напомним, что дифференциальное поле - это поле, снабженное оператором вывода . Пусть K - дифференциальное поле с оператором дифференцирования ∂.
- Дифференциальный полином в х есть многочлен в формальных выражениях х , d х , d 2 х ... с коэффициентами в K .
- Порядок из ненулевых дифференциальный полином в х является самым большим п таким образом, что ∂ п х происходит в ней, или -1 , если дифференциальный многочлен является константой.
- Сепаранта S е дифференциальный полином порядка п ≥0 является производной от F по отношению к ∂ п х .
- Поле констант из K является подполе элементов через с ∂ в = 0.
- В дифференциальном поле K ненулевой характеристики p все степени p постоянны. Отсюда следует, что ни K, ни его поле констант не совершенны , если ∂ не тривиально. Поле К с выводом ∂ называется дифференцированно совершенным , если оно либо характеристики 0, либо характеристики р и каждая константа является р - й степенью элемента из K .
- Дифференциально замкнутое поле является дифференциально совершенным дифференциальным полем К такому , что если е и г являются дифференциальными полиномами таким образом, что S F ≠ 0 и г ≠ 0 , и е имеет больший порядок , чем г , то есть некоторые х в K с F ( х ) = 0 и g ( x ) ≠ 0. (Некоторые авторы добавляют условие, что K имеет характеристику 0, и в этом случае S f автоматически отличен от нуля, а K автоматически совершенен.)
- DCF p - это теория дифференциально замкнутых полей характеристики p (где p равно 0 или простому числу ).
Считая g = 1 и f любым обычным сепарабельным полиномом, мы показываем, что любое дифференциально замкнутое поле сепарабельно замкнуто . В характеристике 0 это означает, что она алгебраически замкнута, но в характеристике p > 0 дифференциально замкнутые поля никогда не являются алгебраически замкнутыми.
В отличие от комплексных чисел в теории алгебраически замкнутых полей нет естественного примера дифференциально замкнутого поля. Любое дифференциально совершенное поле K имеет дифференциальное замыкание , расширение простой модели , которое дифференциально замкнуто. Сала показали , что дифференциальное замыкание единственно с точностью до изоморфизма над K . Шелах также показал, что первичное дифференциально замкнутое поле характеристики 0 (дифференциальное замыкание рациональных чисел) не является минимальным ; это был довольно неожиданный результат, поскольку это не то, что можно было бы ожидать по аналогии с алгебраически замкнутыми полями.
Теория DCF р является полным и модель полной (при р = 0 это было показано , Робинсон, и для р > 0 по дереву (1973) ). Теория DCF p является модельным спутником теории дифференциальных полей характеристики p . Это модельное завершение теории дифференциально совершенных полей характеристики p, если добавить к языку символ, задающий корень p- й степени для констант, когда p > 0. Теория дифференциальных полей характеристики p > 0 не имеет модельного завершения, а в характеристике p = 0 это то же самое, что и теория дифференциально совершенных полей, поэтому DCF 0 является завершением модели.
Число дифференциально замкнутых полей некоторой бесконечной мощности κ равно 2 κ ; для несчетного κ это было доказано Шелахом (1973) , а для счетного κ - Грушовским и Соколовичем.
Топология Колчина
Колчин топология на K м определяется путем принятия множества решений систем дифференциальных уравнений над К в м переменных в качестве основных замкнутых множеств. Как и топология Зарисского, топология Колчина нётерова .
D-конструктивное множество - это конечное объединение замкнутых и открытых множеств в топологии Колчина. Эквивалентно, д-построимо множество является множеством решений бескванторной или атомно - , формулы с параметрами K .
Исключение квантора
Как и теория алгебраически замкнутых полей, теория DCF 0 дифференциально замкнутых полей характеристики 0 исключает кванторы . Геометрическое содержание этого утверждения состоит в том, что проекция d-конструктивного множества является d-конструктивным. Он также устраняет воображаемые, завершенные и завершенные модели.
В характеристике p > 0 теория DCF p исключает кванторы на языке дифференциальных полей с добавленной унарной функцией r, которая является корнем p- й степени всех констант, и равна 0 для элементов, которые не являются константами.
Дифференциальный Nullstellensatz
Дифференциальный Nullstellensatz является аналогом в дифференциальной алгебре nullstellensatz Гильберта .
- Дифференциальный идеал или ∂-идеал является идеальным замкнут относительно ∂.
- Идеал называется радикальным, если он содержит все корни своих элементов.
Предположим, что K - дифференциально замкнутое поле характеристики 0.. Тогда дифференциальный nullstellensatz Зайденберга утверждает, что существует взаимно однозначное соответствие между
- Радикальные дифференциальные идеалы в кольце дифференциальных многочленов от n переменных, и
- ∂-замкнутые подмножества K n .
Это соответствие отображает ∂-замкнутое подмножество в идеал элементов, исчезающих на нем, и отображает идеал в его множество нулей.
Омега стабильность
В характеристике 0 Блюм показал, что теория дифференциально замкнутых полей ω-устойчива и имеет ранг Морли ω. В ненулевой характеристике Вуд (1973) показал, что теория дифференциально замкнутых полей не является ω-устойчивой, а Шелах (1973) более точно показал, что она устойчива, но не сверхстабильна .
Строение определимых множеств: трихотомия Зильбера
Проблемы разрешимости
Ядро Манина
Приложения
Смотрите также
Рекомендации
- Маркер, Дэвид (2000), "Модельная теория дифференциальных полей" (PDF) , Теория моделей, алгебра и геометрия , Math. Sci. Res. Inst. Publ., 39 , Cambridge: Cambridge Univ. Press, стр. 53–63, MR 1773702
- Робинсон, Абрахам (1959), "О концепции дифференциально замкнутого поля", Bull. Res. Совет Израиля, секта. F , 8F : 113-128, MR 0125016
- Сакс, Джеральд Э. (1972), "Дифференциальное замыкание дифференциального поля" , Bull. Амер. Математика. Soc. , 78 (5): 629-634, DOI : 10,1090 / S0002-9904-1972-12969-0 , МР 0299466
- Шелах, Сахарон (1973), "Дифференциально замкнутые поля", Израиль J. Math. , 16 (3): 314-328, DOI : 10.1007 / BF02756711 , МР 0344116
- Вуд, Кэрол (1973), "Теория модели дифференциальных полях характеристики р ≠ 0", Труды Американского математического общества , 40 (2): 577-584, DOI : 10,2307 / 2039417 , JSTOR 2039417
- Вуд, Кэрол (1976), "Теория модель дифференциальных полей вновь", Израиль Журнал математики , 25 (3-4): 331-352, DOI : 10.1007 / BF02757008
- Вуд, Кэрол (1998), «Дифференциально замкнутые поля», теория моделей и алгебраическая геометрия , конспект лекций по математике, 1696 , Берлин: Springer, стр. 129–141, doi : 10.1007 / BFb0094671 , ISBN 978-3-540-64863-5, Руководство по ремонту 1678539