Дифференциальная алгебра

В математике , дифференциальных колец , дифференциальных полей и дифференциальных алгебр являются кольца , поля и алгебры , оснащенные конечным числом выводов , которые являются унарные функции, линейные и удовлетворяют правилу Лейбница продукта . Естественным примером дифференциального поля является поле рациональных функций от одной переменной над комплексными числами , ${\ Displaystyle \ mathbb {C} (т)}$ , где вывод есть дифференцирование по t .

Дифференциальная алгебра относится также к области математики, состоящей в изучении этих алгебраических объектов и их использовании для алгебраического изучения дифференциальных уравнений. Дифференциальная алгебра была введена Джозефом Риттом в 1950 году ^[1].

Кольцо дифференциала

Дифференциальное кольцо представляет собой кольцо R оснащен одним или несколько отведениями , которые являются гомоморфизмами из аддитивных групп

{\ Displaystyle \ partial \ двоеточие R \ к R \,}

такое, что каждое дифференцирование ∂ удовлетворяет правилу произведения Лейбница

{\ displaystyle \ partial (r_ {1} r_ {2}) = (\ partial r_ {1}) r_ {2} + r_ {1} (\ partial r_ {2}), \,}

для каждого ${\ displaystyle r_ {1}, r_ {2} \ in R}$ . Обратите внимание, что кольцо может быть некоммутативным, поэтому несколько стандартная форма правила произведения d ( xy ) = x d y + y d x в коммутативных настройках может быть ложной. Если ${\ displaystyle M: R \ times R \ to R}$ умножение на кольце, правило произведения - тождество

{\ displaystyle \ partial \ circ M = M \ circ (\ partial \ times \ operatorname {id}) + M \ circ (\ operatorname {id} \ times \ partial).}

куда ${\ displaystyle f \ times g}$ означает функцию, которая отображает пару ${\ Displaystyle (х, у)}$ к паре ${\ Displaystyle (е (х), г (у))}$ .

Обратите внимание, что дифференциальное кольцо (не обязательно градуированное) ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ -дифференциальная алгебра.

Дифференциальное поле

Дифференциальное поле - это коммутативное поле K, снабженное дифференцированием.

Известная формула дифференцирования дробей

{\ displaystyle \ partial \ left ({\ frac {u} {v}} \ right) = {\ frac {\ partial (u) \, vu \, \ partial (v)} {v ^ {2}}} }

следует из правила произведения. Действительно, мы должны иметь

{\ Displaystyle \ partial \ left ({\ frac {u} {v}} \ times v \ right) = \ partial (u)}

Тогда по правилу произведения мы имеем

{\ displaystyle \ partial \ left ({\ frac {u} {v}} \ right) \, v + {\ frac {u} {v}} \, \ partial (v) = \ partial (u)}

Решение относительно ${\ Displaystyle \ partial (и / в)}$ , получаем искомое тождество.

Если K - дифференциальное поле, то поле констант поля K равно ${\ displaystyle k = \ {u \ in K: \ partial (u) = 0 \}.}$

Дифференциальная алгебра над полем K - это K -алгебра A, в которой вывод (я) коммутирует со скалярным умножением. То есть для всех ${\ displaystyle k \ in K}$ и ${\ displaystyle x \ in A}$ надо

{\ Displaystyle \ partial (kx) = k \ partial x}

Если ${\ displaystyle \ eta \ двоеточие с K \ на Z (A)}$ является кольцевой гомоморфизм в центре в Определяющей скалярное произведение на алгебре , один имеет

{\ Displaystyle \ partial \ circ M \ circ (\ eta \ times \ operatorname {Id}) = M \ circ (\ eta \ times \ partial)}

Как и выше, вывод должен подчиняться правилу Лейбница по умножению алгебры и должен быть линейным по сложению. Таким образом, для всех ${\ displaystyle a, b \ in K}$ и ${\ displaystyle x, y \ in A}$ надо

{\ displaystyle \ partial (xy) = (\ partial x) y + x (\ partial y)}

и

{\ displaystyle \ partial (ax + by) = a \, \ partial x + b \, \ partial y.}

Вывод на алгебре Ли

Вывод на алгебре Ли ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ это линейная карта ${\ Displaystyle D \ двоеточие {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {g}}}$ удовлетворяющие правилу Лейбница:

{\ Displaystyle D ([a, b]) = [a, D (b)] + [D (a), b]}

Для любой ${\ displaystyle a \ in {\ mathfrak {g}}}$ , ad ( a ) - вывод на ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ , что следует из тождества Якоби . Любой такой вывод называется внутренним выводом . Этот вывод распространяется на универсальную обертывающую алгебру алгебры Ли.

Примеры

Если является унитальная , то ∂ (1) = 0 , так как ∂ (1) = ∂ (1 × 1) = ∂ (1) + ∂ (1). Например, в дифференциальном поле нулевой характеристики ${\ displaystyle K}$ , рациональные числа всегда являются подполем поля констант ${\ displaystyle K}$ .

Любое кольцо является дифференциальным кольцом по отношению к тривиальному дифференцированию, которое переводит любой элемент кольца в ноль.

Поле Q ( t ) имеет уникальную структуру как дифференциальное поле, определяемое установкой ∂ ( t ) = 1: аксиомы поля вместе с аксиомами для выводов гарантируют, что вывод является дифференцированием по t . Например, в силу коммутативности умножения и закона Лейбница ∂ ( u ² ) = u ∂ ( u ) + ∂ ( u ) u = 2 u ∂ ( u ).

Дифференциальное поле Q ( t ) не может иметь решения дифференциального уравнения

{\ displaystyle \ partial (u) = u}

но расширяется до большего дифференциального поля, включая функцию e ^t, которая действительно имеет решение этого уравнения. Дифференциальное поле с решениями всех систем дифференциальных уравнений называется дифференциально замкнутым полем . Такие поля существуют, хотя они не появляются как естественные алгебраические или геометрические объекты. Все дифференциальные поля (ограниченной мощности) вкладываются в большое дифференциально замкнутое поле. Дифференциальные поля являются объектами изучения дифференциальной теории Галуа .

Встречающиеся в природе примеров выводов являются частными производными , производных Ли , то производное Пинкерло , и коммутатор по отношению к элементу в алгебре .

Кольцо псевдодифференциальных операторов

Дифференциальные кольца и дифференциальные алгебры часто изучаются с помощью кольца псевдодифференциальных операторов на них.

Это набор формальных бесконечных сумм

{\ displaystyle \ left \ {\ sum _ {n \ ll \ infty} r_ {n} \ xi ^ {n} \ mid r_ {n} \ in R \ right \},}

куда ${\ Displaystyle п \ ll \ infty}$ означает, что сумма вычисляется для всех целых чисел, не превышающих фиксированное (конечное) значение.

Этот набор представляет собой кольцо с умножением, определяемым линейным расширением следующей формулы для «одночленов»:

{\ displaystyle (r \ xi ^ {m}) (s \ xi ^ {n}) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} r (\ partial ^ {k} s) {m \ select k } \ xi ^ {m + nk},}

куда ${\ displaystyle \ textstyle {m \ choose k} = {\ frac {m (m-1) \ dots (m-k + 1} {k!}}})$ - биномиальный коэффициент . (Если ${\ displaystyle m> 0,}$ сумма конечна, так как члены с ${\ displaystyle k> m}$ все равны нулю.) В частности,

{\ Displaystyle \ xi ^ {- 1} s = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k} (\ partial ^ {k} s) \ xi ^ {- 1-k }.}

для $r = 1$ , $m = -1$ и $n = 0$ , и используя тождество ${\ displaystyle \ textstyle {-1 \ choose k} = (- 1) ^ {k}}$

См. Также

Дифференциальная теория Галуа
Kähler дифференциал
Дифференциально замкнутое поле
Д-модуль является алгебраической структурой с несколькими дифференциальных операторами , действующими на него.
Дифференциальная градуированная алгебра является дифференциальной алгебра с дополнительной классификацией.
Арифметическая производная
Дифференциальное исчисление над коммутативными алгебрами
Алгебра разностей
Дифференциально-алгебраическая геометрия
Теория Пикара – Вессио
Харди поле

Ссылки

^ Ритт, Джозеф Фелс (1950). Дифференциальная алгебра . Публикации коллоквиума AMS. 33 . Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-4638-4.

Буйум, Александру (1994). Дифференциальная алгебра и диофантова геометрия . Германн. ISBN 978-2-7056-6226-4.
Каплански, Ирвинг (1976). Введение в дифференциальную алгебру (2-е изд.). Германн. ISBN 9782705612511.
Колчин, Эллис (1973). Дифференциальная алгебра и алгебраические группы . Академическая пресса. ISBN 978-0-08-087369-5.
Маркер, Дэвид (2017) [1996]. «Модельная теория дифференциальных полей» . В Маркер, Дэвид; Мессмер, Маргит; Пиллэй, Ананд (ред.). Модельная теория полей . Конспект лекций по логике. 5 . Издательство Кембриджского университета. С. 38–113. ISBN 978-1-107-16807-7.В формате PDF
Магид, Энди Р. (1994). Лекции по дифференциальной теории Галуа . Цикл лекций в университете. 7 . Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-7004-4.

Внешние ссылки

На домашней странице Дэвида Маркера есть несколько онлайн-опросов, посвященных дифференциальным полям.

[1] Ритт, Джозеф Фелс (1950). Дифференциальная алгебра . Публикации коллоквиума AMS. 33 . Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-4638-4.

[1].