Арифметическая производная

В теории чисел , в арифметической производной Lagarias , или номер производной , является функция , определенная для целых чисел , основанный на простые множители , по аналогии с правилом продукта для производной функции , которая используется в математическом анализе .

Существует много версий «арифметических производных», в том числе обсуждаемая в этой статье (арифметическая производная Лагариаса), например арифметическая производная Ихары и арифметическая производная Буйума.

Ранняя история [ править ]

Арифметическая производная была введена испанским математиком Хосе Мингот Шелли в 1911 году. ^{[1] [2]} Арифметическая производная также появилась на Конкурсе Патнэма 1950 года . ^[3]

Определение [ править ]

Для натуральных чисел n арифметическая производная D ( n ) ^{[примечание 1]} определяется следующим образом:

• D ( p ) = 1 для любого простого числа p .
• D ( pq ) = D ( p ) q + pD ( q ) для любого( правило Лейбница ).${\ displaystyle p, q \ in \ mathbb {N}}$

Расширения за пределами натуральных чисел [ править ]

Эдвард Дж. Барбо распространил его на все целые числа, доказав, что D (- x ) = - D ( x ) однозначно определяет производную по целым числам. Барбо также расширил его до рациональных чисел, показав, что знакомое правило частного дает четко определенную производную на :${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

${\ displaystyle D \ left ({\ frac {p} {q}} \ right) = {\ frac {D (p) q-pD (q)} {q ^ {2}}}.}$^{[4] [5]}

Виктор Уфнаровский и Бо Аландер расширили его до некоторых иррациональных значений . В этих расширениях по-прежнему применяется приведенная выше формула, но показатели простых чисел e _i могут быть произвольными рациональными числами, что позволяет вычислять выражения вроде . ^[6]${\ displaystyle D ({\ sqrt {3}})}$

Арифметические производный также может быть распространено на любой однозначное разложение на множители , ^[6] , такие как гауссовые целые числа и целые числа Эйзенштейн , и связанное с ним поле фракций . Если UFD является кольцом многочленов , то арифметическая производная такая же, как вывод по упомянутому кольцу многочленов. Например, регулярная производная - это арифметическая производная для колец одномерных вещественных и комплексных полиномиальных и рациональных функций , что может быть доказано с помощью основной теоремы алгебры.

Арифметическая производная также была расширена на кольцо целых чисел по модулю n. ^[7]

Элементарные свойства [ править ]

Правило Лейбница означает, что D (0) = 0 (возьмем p = q = 0 ) и D (1) = 0 (возьмем p = q = 1 ).

Правило питания справедливо и для арифметической производной. Для любых целых чисел p и n ≥ 0 :

${\ Displaystyle D (p ^ {n}) = np ^ {n-1} D (p).}$

Это позволяет вычислить производную от простого факторизации целого числа :${\ textstyle x = \ prod _ {i = 1} ^ {\ omega (x)} {p_ {i}} ^ {v_ {p_ {i}} (x)}}$

${\displaystyle D(x)=\sum _{i=1}^{\omega (x)}\left[v_{p_{i}}(x)\left(\prod _{j=1}^{i-1}{p_{j}}^{v_{p_{j}}(x)}\right)p_{i}^{v_{p_{i}}-1}\left(\prod _{j=i+1}^{\omega (x)}{p_{j}}^{v_{p_{j}}(x)}\right)\right]=\sum _{i=1}^{\omega (x)}{\frac {v_{p_{i}}(x)}{p_{i}}}x=\sum _{\stackrel {p\mid x}{p{\text{ prime}}}}{\frac {v_{p}(x)}{p}}x}$

где ω ( х ) , А главная функция омега , это число различных простых множителей в х и V _р ( х ) является р-адическое нормирование из х .

Например:

${\displaystyle D(60)=D\left(2^{2}\cdot 3\cdot 5\right)=\left({\frac {2}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}\right)\cdot 60=92,}$

или же

${\displaystyle D(81)=D\left(3^{4}\right)=4\cdot 3^{3}\cdot D(3)=4\cdot 27\cdot 1=108.}$

Последовательность производных чисел для k = 0, 1, 2,… начинается (последовательность A003415 в OEIS ):

${\displaystyle 0,0,1,1,4,1,5,1,12,6,7,1,16,1,9,\ldots }$

Связанные функции [ править ]

Логарифмическая производная является абсолютно аддитивной функцией :${\displaystyle \operatorname {ld} (x)={\frac {D(x)}{x}}=\sum _{\stackrel {p\mid x}{p{\text{ prime}}}}{\frac {v_{p}(x)}{p}}}$${\displaystyle \operatorname {ld} (x\cdot y)=\operatorname {ld} (x)+\operatorname {ld} (y).}$

Неравенства и границы [ править ]

EJ Barbeau исследовал границы арифметической производной ^[8] и обнаружил, что

${\displaystyle D(n)\leq {\frac {n\log _{2}n}{2}}}$

и

${\displaystyle D(n)\geq \Omega (n)n^{\frac {\Omega (n)-1}{\Omega (n)}}}$

где Ω ( n ) , простая омега-функция , - это количество простых множителей в n . В обеих приведенных выше оценках равенство всегда имеет место, когда n является полной степенью 2, то есть n = 2 ^m для некоторого m .

Даль, Олссон и Лойко обнаружили, что арифметическая производная натуральных чисел ограничена ^[9]

${\displaystyle D(n)\leq {\frac {n\log _{p}n}{p}}}$

где p - наименьшее простое число от n, и равенство выполняется, когда n является степенью p .

Александр Лойко , Йонас Олссон и Никлас Даль обнаружили, что невозможно найти аналогичные оценки для арифметической производной, расширенной до рациональных чисел, доказав, что между любыми двумя рациональными числами есть другие рациональные числа с произвольными большими или малыми производными.

Порядок среднего [ править ]

У нас есть

${\displaystyle \sum _{n\leq x}{\frac {D(n)}{n}}=T_{0}x+O(\log x\log \log x)}$

и

${\displaystyle \sum _{n\leq x}D(n)=\left({\frac {1}{2}}\right)T_{0}x^{2}+O(x^{1+\delta })}$

для любого δ  > 0, где

${\displaystyle T_{0}=\sum _{p}{\frac {1}{p(p-1)}}.}$

Соответствие теории чисел [ править ]

Виктор Уфнаровский и Бо Аландер подробно описали связь функции с известными теоретико- числовыми гипотезами, такими как гипотеза о простых числах-близнецах, гипотеза о тройных числах простых чисел и гипотеза Гольдбаха . Например, из гипотезы Гольдбаха следует, что для каждого k > 1 существует n, так что D ( n ) = 2 k . Гипотеза о двойных простых числах означала бы, что существует бесконечно много k, для которых D ² ( k ) = 1 . ^[6]

См. Также [ править ]

• Арифметическая функция
• Вывод (дифференциальная алгебра)
• p-вывод

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Барбо, EJ (1961). «Замечания об арифметической производной» . Канадский математический бюллетень . 4 : 117–122. DOI : 10,4153 / CMB-1961-013-0 . Zbl  0101.03702 .
• Уфнаровский Виктор; Аландер, Бо (2003). «Как отличить число» . Журнал целочисленных последовательностей . 6 . Статья 03.3.4. ISSN  1530-7638 . Zbl  1142.11305 .
• Arithmetic Derivative , Planet Math , доступ 4:15, 9 апреля 2008 г. (UTC)
• Л. Вестрик (2003). Исследования числовой производной .
• Петерсон, И. Математический путь: определение структуры чисел .
• Останься, Майкл (2005). «Обобщенные числовые производные» . Журнал целочисленных последовательностей . 8 . Статья 05.1.4. arXiv : math / 0508364 . ISSN  1530-7638 . Zbl  1065.05019 .
• Даль Н., Олссон Дж., Лойко А., Исследование свойств арифметической производной .
• Бальзаротти, Джорджио; Лава, Паоло Пьетро (2013). La Derivata aritmetica. Alla scoperta di un Nuovo Approccio alla teoria dei numeri . Милан: Хёпли. ISBN 978-88-203-5864-8.
• Ковиц, Юрий (2012). «Арифметическая производная и первообразная» (PDF) . Журнал целочисленных последовательностей . 15 (3.8).
• Хаукканен, Пентти; Мерикоски, Йорма К .; Маттила, Мика; Тоссавайнен, Тимо (2017). «Арифметическая матрица Якоби и определитель» (PDF) . Журнал целочисленных последовательностей . 20 . Статья 17.9.2. ISSN  1530-7638 .
• Хаукканен, Пентти; Мерикоски, Йорма К .; Тоссавайнен, Тимо (2018). «Арифметическая производная и аддитивные функции Лейбница» . Заметки по теории чисел и дискретной математике . 24 .
• Хаукканен, Пентти (2019). «Обобщенная арифметическая субпроизводная» . Заметки по теории чисел и дискретной математике . 25 .
• Хаукканен, Пентти; Мерикоски, Йорма К .; Тоссавайнен, Тимо (2020). «Арифметические субпроизводные: p-адическая прерывность и непрерывность» . Журнал целочисленных последовательностей . 23 . Статья 20.7.3. ISSN  1530-7638 .
• Хаукканен, Пентти; Мерикоски, Йорма К .; Тоссавайнен, Тимо (2020). «Асимптотика частных сумм ряда Дирихле арифметической производной» . Математические коммуникации . 25 .