В математике , Эйзенштейн целых числа (названные в честь Готхольда Eisenstein ), иногда также известны [1] , как Eulerian целых числа (после Леонарда Эйлера ), являются комплексными числами вида
где a и b - целые числа и
является примитивным (следовательно, нереальным) кубическим корнем из единицы . Целые числа Эйзенштейна образуют треугольную решетку в комплексной плоскости , в отличие от целых чисел Гаусса , которые образуют квадратную решетку в комплексной плоскости. Целые числа Эйзенштейна - это счетное бесконечное множество .
Характеристики
Числа Эйзенштейна образуют коммутативное кольцо из алгебраических чисел в поле алгебраических чисел - третье круговое поле . Чтобы убедиться, что целые числа Эйзенштейна являются целыми алгебраическими числами, обратите внимание, что каждое z = a + b ω является корнем монического многочлена
В частности, ω удовлетворяет уравнению
Произведение двух целых чисел Эйзенштейна a + b ω и c + d ω явно задается формулой
Норма целого числа Эйзенштейна - это просто квадрат его модуля и определяется выражением
что, очевидно, является обычным положительным (рациональным) целым числом.
Кроме того, комплексно сопряженное к ω удовлетворяет
Группа единиц в этом кольце представляет собой циклическая группа , образованная шестые корнями из единицы в комплексной плоскости: целые числа Эйзенштейна нормы 1.
Простые числа Эйзенштейна
Если x и y - целые числа Эйзенштейна, мы говорим, что x делит y, если существует некоторое целое число Эйзенштейна z такое, что y = zx . Неединичное целое число Эйзенштейна x называется простым числом Эйзенштейна, если его единственные неединичные делители имеют вид ux , где u - любая из шести единиц.
Есть два типа простых чисел Эйзенштейна. Во-первых, обычное простое число (или рациональное простое число ), которое конгруэнтно 2 по модулю 3 , также является простым числом Эйзенштейна. Во-вторых, 3 и любое рациональное простое число, конгруэнтное 1 по модулю 3 , равно норме x 2 - xy + y 2 целого числа Эйзенштейна x + ωy . Таким образом, такое простое число может быть разложено на множители как ( x + ωy ) ( x + ω 2 y ) , и эти множители являются простыми числами Эйзенштейна: это в точности целые числа Эйзенштейна, норма которых является рациональным простым числом.
Евклидова область
Кольцо целых чисел Эйзенштейна образует евклидову область , норма N которой задается квадратом модуля, как указано выше:
Алгоритм деления , применен к любому дивидендов и делитель , дает частное и остаток меньше делителя, удовлетворяя:
Здесь все являются целыми числами Эйзенштейна. Этот алгоритм подразумевает алгоритм Евклида , который доказывает лемму Евклида и уникальную факторизацию целых чисел Эйзенштейна в простые числа Эйзенштейна.
Один алгоритм деления следующий. Сначала выполните деление в поле комплексных чисел и запишите частное через ω:
для рационального . Затем получите целочисленное частное Эйзенштейна, округляя рациональные коэффициенты до ближайшего целого числа:
Здесь может обозначать любую из стандартных функций округления до целого числа.
Причина, по которой это удовлетворяет , в то время как аналогичная процедура не работает для большинства других квадратичных целочисленных колец, выглядит следующим образом. Фундаментальная область идеала, действующий сдвигами на комплексную плоскость, представляет собой ромб 60 ° -120 ° с вершинами . Любое целое число Эйзенштейна α лежит внутри одного из сдвигов этого параллелограмма, и фактородна из его вершин. Остаток - это квадратное расстояние от α до этой вершины, но максимально возможное расстояние в нашем алгоритме составляет всего лишь, так . (Размер ρ можно немного уменьшить, взяв быть ближайшим углом.)
Частное от C по целым числам Эйзенштейна
Фактор комплексной плоскости С помощью решетки , содержащей все целых числа Эйзенштейн является комплексным тором вещественной размерности 2. Это один из двух торы с максимальной симметрией среди всех таких комплексных торов. [ необходима цитата ] Этот тор может быть получен путем идентификации каждой из трех пар противоположных сторон правильного шестиугольника. (Другой максимально симметричный тор - это фактор комплексной плоскости по аддитивной решетке гауссовских целых чисел , и может быть получен путем идентификации каждой из двух пар противоположных сторон квадратной фундаментальной области, такой как [0,1] × [ 0,1] .)
Смотрите также
Заметки
- ^ Surányi, Ласло (1997). Алгебра . ТИПОТЕКС. п. 73. а также Салай, Михай (1991). Számelmélet . Tankönyvkiadó. п. 75.оба называют эти числа «Эйлер-эгешек», то есть целые эйлеровы числа. Последний утверждает, что Эйлер работал с ними в доказательстве.