Алгебра разностей

Алгебра разностей - это раздел математики, связанный с изучением разностных (или функциональных ) уравнений с алгебраической точки зрения. Алгебра разностей аналогична дифференциальной алгебре, но связана с разностными уравнениями, а не с дифференциальными уравнениями. Как самостоятельный предмет он был инициирован Джозефом Риттом и его учеником Ричардом Коном.

Разностные кольца, разностные поля и разностные алгебры

Разница кольцо является коммутативным кольцом вместе с кольцом эндоморфизмом . Часто предполагается, что это инъективно. Когда это поле, говорят о поле различия . Классическим примером разностного поля является поле рациональных функций с разностным оператором, задаваемым формулой . Роль разностных колец в разностной алгебре аналогична роли коммутативных колец в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии . Морфизм разностных колец - это морфизм колец, коммутирующий с . Разностная алгебра над полем разностной разница кольцо${\ displaystyle R}$${\ Displaystyle \ sigma \ двоеточие R \ to R}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle R}$${\ Displaystyle К = \ mathbb {C} (х)}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ Displaystyle \ сигма (е (х)) = е (х + 1)}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle R}$со структурой a -алгебры, которая является морфизмом разностных колец, т.е. расширяется . Разностная алгебра, которая является полем, называется расширением разностного поля .${\ displaystyle K}$${\ displaystyle K \ to R}$${\ Displaystyle \ sigma \ двоеточие R \ to R}$${\ Displaystyle \ sigma \ двоеточие K \ to K}$

Алгебраические разностные уравнения

Кольцо разностных полиномов над разностным полем от (разностных) переменных есть кольцо полиномов над разностным полем от бесконечного числа переменных . Это становится алгеброй разностей , расширяясь от до, как это предлагается путем именования переменных.${\ Displaystyle К \ {у \} = К \ {у_ {1}, \ ldots, у_ {п} \}}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle y_ {1}, \ ldots, y_ {n}}$${\ displaystyle K}$${\displaystyle \sigma ^{i}(y_{j}),\ (i\in \mathbb {N} ,1\leq j\leq n)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle K}$${\displaystyle K\{y\}}$

По системе алгебраических разностных уравнений над одним означает любое подмножество из . Если - разностная алгебра над решениями в :${\displaystyle K}$${\displaystyle F}$${\displaystyle K\{y\}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle K}$${\displaystyle F}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle \mathbb {V} _{R}(F)=\{a\in R^{n}|\ f(a)=0{\text{ for all }}f\in F\}.}$

Классически в основном интересуют решения в расширениях разностных полей . Например, если и является полем мероморфных функций на с разностным оператором, заданным как , то тот факт, что гамма-функция удовлетворяет функциональному уравнению, можно абстрактно переформулировать как .${\displaystyle K}$${\displaystyle K=\mathbb {C} (x)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma (f(x))=f(x+1)}$ ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)}$${\displaystyle \Gamma \in \mathbb {V} _{R}(\sigma (y_{1})-xy_{1})}$

Различие сортов

Интуитивно разностное многообразие над разностным полем - это множество решений системы алгебраических разностных уравнений над . Это определение необходимо уточнить, указав, где искать решения. Обычно ищут решения в так называемом универсальном семействе расширений разностного поля . ^{[1] [2] В} качестве альтернативы, можно определить разностное многообразие как функтор из категории расширений разностных полей в категорию множеств, которая имеет форму для некоторых .${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle R\rightsquigarrow \mathbb {V} _{R}(F)}$${\displaystyle F\subseteq K\{y\}.}$

Существует взаимно однозначное соответствие между разностными многообразиями, определяемыми алгебраическими разностными уравнениями в переменных, и некоторыми идеалами в , а именно идеалами совершенных разностей . ^[3] Одна из основных теорем разностной алгебры утверждает, что каждая возрастающая цепочка совершенных разностных идеалов в конечна. Этот результат можно рассматривать как разностный аналог теоремы Гильберта о базисе .${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}$${\displaystyle K\{y\}}$${\displaystyle K\{y\}}$${\displaystyle K\{y\}}$

Приложения

Алгебра разностей связана со многими другими математическими областями, такими как дискретные динамические системы , комбинаторика , теория чисел или теория моделей . Хотя некоторые проблемы реальной жизни, такие как динамика населения , можно смоделировать с помощью алгебраических разностных уравнений, разностная алгебра также имеет приложения в чистой математике. Например, есть доказательство гипотезы Манина – Мамфорда методами разностной алгебры. ^[4] Изучена модельная теория разностных полей.

Смотрите также

• Конечная разница
• Отношение рецидива
• Функциональное уравнение
• Дифференциальная алгебра

Примечания

использованная литература

• Александр Левин (2008), алгебра разностей , Springer, ISBN 978-1-4020-6946-8 
• Ричард М. Кон (1979), алгебра разностей , RE Krieger Pub. Co., ISBN 978-0-88275-651-6 

внешняя ссылка

• Вибмер, Майкл (2013). Конспект лекций - Алгебраические разностные уравнения (PDF) . С. 80 стр.
• Страница из ZOE Chatzidakis имеет несколько онлайн - опросов , обсуждающие (теории моделей) разностные полей.