В математике , то арифметика абелевых многообразий является изучение теории чисел в качестве абелева многообразия , или семейство абелевых многообразий. Это восходит к исследованиям Пьера де Ферма о том, что теперь принято называть эллиптическими кривыми ; и стала очень важной областью арифметической геометрии как с точки зрения результатов, так и с точки зрения предположений. Большинство из них можно поставить для абелевого многообразия A над числовым полем K ; или в более общем смысле (для глобальных полей или более общих конечно порожденных колец или полей).
Целые точки на абелевых многообразиях
Здесь есть некоторая напряженность между концепциями: целая точка в некотором смысле принадлежит аффинной геометрии , в то время как абелево многообразие по своей сути определено в проективной геометрии . Основные результаты, такие как теорема Зигеля о целых точках , исходят из теории диофантова приближения .
Рациональные точки зрения на абелевы многообразия
Основной результат, теорема Морделла – Вейля в диофантовой геометрии , утверждает, что A ( K ), группа точек на A над K , является конечно порожденной абелевой группой . Известен большой объем информации о ее возможных подгруппах кручения , по крайней мере, когда A - эллиптическая кривая. Считается, что вопрос о ранге связан с L-функциями (см. Ниже).
Торсер теория здесь приводит к группе Selmer и группе Тейта-Шафаревич , последний (гипотетический конечной) будучи трудно учиться.
Высоты
Теория высот играет важную роль в арифметике абелевых многообразий. Например, каноническая высота Нерона – Тейта представляет собой квадратичную форму с замечательными свойствами, которые фигурируют в формулировке гипотезы Берча и Суиннертона-Дайера .
Мод понижения p
Редукция абелевого многообразия A по модулю простого идеала (целых чисел) K - скажем, простого числа p - для получения абелевого многообразия A p над конечным полем возможно почти для всех p . «Плохие» простые числа, для которых редукция вырождается за счет приобретения особых точек , как известно, дают очень интересную информацию. Как это часто бывает в теории чисел, «плохие» простые числа играют в теории довольно активную роль.
Здесь не всегда можно избежать усовершенствованной теории (по сути) правого сопряженного с редуцированием mod p - модели Нерона . В случае эллиптической кривой есть алгоритм Джона Тейта, описывающий ее.
L-функции
Для абелевых разновидностей, таких как A p , доступно определение локальной дзета-функции . Чтобы получить L-функцию для самого A, нужно взять подходящее эйлерово произведение таких локальных функций; чтобы понять конечное число множителей для «плохих» простых чисел, нужно обратиться к модулю Тэйта группы A, который (двойственен) этальной группе когомологий H 1 (A), и действию группы Галуа на ней. Таким образом, можно получить респектабельное определение L-функции Хассе – Вейля для A. В целом ее свойства, такие как функциональное уравнение , все еще являются предположениями - гипотеза Таниямы – Шимуры (которая была доказана в 2001 г.) была просто частным случаем, так что неудивительно.
Именно в терминах этой L-функции высказывается гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера . Это лишь один особенно интересный аспект общей теории значений L-функций L ( s ) при целочисленных значениях s , и есть много эмпирических свидетельств, подтверждающих это.
Комплексное умножение
Со времен Карла Фридриха Гаусса (который знал о случае функции лемнискаты ) особая роль этих абелевых многообразий была известна.с дополнительными автоморфизмами и более общими эндоморфизмами. Что касается кольца, существует определение абелевого многообразия CM-типа , выделяющего самый богатый класс. Они особенные по своей арифметике. Это видно в их L-функциях в довольно благоприятных терминах - требуемый гармонический анализ полностью относится к типу двойственности Понтрягина , а не требует более общих автоморфных представлений . Это отражает хорошее понимание их модулей Тейт как модулей Галуа . Это также делает их труднее иметь дело с точкой зрения гипотетической алгебраической геометрии ( Ходжи гипотезой и Tate гипотеза ). В этих задачах особая ситуация более требовательна, чем общая.
В случае эллиптических кривых Kronecker Jugendtraum была программой, предложенной Леопольдом Кронекером , для использования эллиптических кривых CM-типа для явного построения теории полей классов для мнимых квадратичных полей - так, как корни из единицы позволяют делать это для поле рациональных чисел. Это обобщает, но в некотором смысле с потерей явной информации (что типично для нескольких сложных переменных ).
Гипотеза Манина – Мамфорда
Манина-Мамфорд гипотеза Юрий Манина и Дэвид Mumford , доказал Мишель Рейно , [1] [2] утверждает , что кривая С в якобиевом многообразии J может содержать только конечное число точек , которые имеют конечный порядок (а точка кручения ) в J , если C = J . Существуют и другие более общие версии, такие как гипотеза Богомолова, которая обобщает утверждение на точки, не являющиеся точками кручения.
Рекомендации
- ^ Рейно, Мишель (1983). "Sous-varétés d'une varété abélienne et points de torsion". В Артине, Майкл ; Тейт, Джон (ред.). Арифметика и геометрия. Материалы, посвященные И. Р. Шафаревичу к шестидесятилетию со дня рождения. Vol. I: Арифметика . Успехи в математике (на французском языке). 35 . Биркхойзер-Бостон. С. 327–352. Руководство по ремонту 0717600 . Zbl 0581.14031 .
- ^ Ресслер, Дамиан (2005). «Заметка о гипотезе Манина-Мамфорда». У ван дер Гира, Жерар; Мунен, Бен; Schoof, Рене (ред.). Числовые поля и функциональные поля - два параллельных мира . Успехи в математике. 239 . Birkhäuser. С. 311–318. ISBN 0-8176-4397-4. Руководство по ремонту 2176757 . Zbl 1098.14030 .