В математике , теорема Зигеля о целых точках состояний, для гладкой алгебраической кривой С из рода г , определенная над числовым полем K , представленном в аффинном пространстве в заданной системе координат, существует лишь конечное число точек на С с координатами в кольце целые числа O из K , если g > 0.
Теорема была впервые доказана в 1929 году Карлом Людвигом Зигелем и была первым крупным результатом о диофантовых уравнениях, которые зависели только от рода, а не от какой-либо специальной алгебраической формы уравнений. При g > 1 он был заменен теоремой Фальтингса в 1983 г.
История
В 1929 год Зигель доказал теорему, комбинируя версию теоремы Туэ-Зигель-Roth , от диофантового приближения , с теоремой Морделла-Вейль от геометрии диофантовом (требуемой версии Вейля, обратиться к якобиеву многообразию из C ).
В 2002 году Умберто Заньер и Пьетро Корвая дали новое доказательство, используя новый метод, основанный на теореме о подпространстве . [1]
Эффективные версии
Результат Зигеля оказался неэффективным (см. Эффективные результаты в теории чисел ), поскольку метод Туэ в диофантовом приближении также неэффективен при описании возможных очень хороших рациональных приближений алгебраических чисел . Эффективные результаты в некоторых случаях можно получить с помощью метода Бейкера .
Рекомендации
- ^ Корвая, П. и Заньер, У. "Подход теоремы подпространства к целым точкам на кривых", Compte Rendu Acad. . Sci, 334, 2002, стр 267-271 DOI : 10.1016 / S1631-073X (02) 02240-9
- Бомбьери, Энрико ; Габлер, Вальтер (2006). Высоты в диофантовой геометрии . Новые математические монографии. 4 . Издательство Кембриджского университета . DOI : 10.2277 / 0521846153 . ISBN 978-0-521-71229-3. Zbl 1130.11034 .
- Ланг, Серж (1978). Эллиптические кривые: диофантов анализ . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 231 . С. 128–153. ISBN 3-540-08489-4. Zbl 0388.10001 .
- Сигель, Карл Людвиг (1929). "Über einige Anwendungen diophantischer Approximationen". Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften (на немецком языке).