В математической логике , Морели ранг , введенный Michael D. Morley ( 1965 ), является средством измерения размера подмножества модели из в теории , обобщающее понятие размерности в алгебраической геометрии .
Определение
Фиксируем теорию Т с моделью М . Ранг Морли формулы φ, определяющей определимое (с параметрами) подмножество S в M, является ординалом или −1 или ∞, определяемым сначала рекурсивным определением того, что означает для формулы иметь ранг Морли не менее α для некоторого ординала α .
- Ранг Морли не меньше 0, если S не пусто.
- Для последовательного ординала α ранг Морли не меньше α, если в некотором элементарном расширении N множества M множество S имеет счетно бесконечное число непересекающихся определимых подмножеств S i , каждое из которых имеет ранг не менее α - 1.
- Для альфа ненулевым предельном, ранг Морли по меньшей мере , α , если она по меньшей мере , β для всех р меньше , чем & alpha ; .
Ранг Морли тогда определяется как α, если он не меньше α, но не как минимум α + 1, и определяется как ∞, если он не меньше α для всех ординалов α , и определяется как −1, если S равен пустой.
Для определимой подмножества модели M (определяется формулой ф ) ранг Морли определяется как ранг Морли ф в любом ℵ 0 - насыщенный элементарным расширением М . В частности, для ℵ 0 -насыщенных моделей ранг Морли подмножества - это ранг Морли любой формулы, определяющей подмножество.
Если φ, определяющий S, имеет ранг α , а S разбивается не более чем на n <ω подмножеств ранга α , то говорят , что φ имеет степень Морли n . Формула, определяющая конечное множество, имеет ранг Морли 0. Формула с рангом Морли 1 и степенью Морли 1 называется сильно минимальной . Сильно минимальна структура является тот , где тривиальной формула х = х сильно минимальна. Ранг Морли и сильно минимальные структуры являются ключевыми инструментами в доказательстве теоремы Морли о категоричности и в более широкой области теоретико-модельной теории устойчивости .
Примеры
- Пустое множество имеет ранг Морли -1, и, наоборот, все, что имеет ранг Морли -1, пусто.
- Подмножество имеет ранг Морли 0 тогда и только тогда, когда оно конечно и непусто.
- Если V - алгебраическое множество в K n для алгебраически замкнутого поля K , то ранг Морли V такой же, как и его обычная размерность Крулля . Степень Морли V - это количество неприводимых компонент максимальной размерности; это не то же самое, что его степень в алгебраической геометрии , за исключением случаев, когда его компоненты максимальной размерности являются линейными пространствами.
- В рациональные числа , рассматриваемые как упорядоченное множество , имеет ранг Морли ∞, так как оно содержит счетное несвязное объединение определимых подмножеств , изоморфных себе.
Смотрите также
Рекомендации
- Александр Боровик , Али Несин , "Группы конечного ранга Морли", Oxford Univ. Пресса (1994)
- Б. Харт Теория стабильности и ее варианты (2000), стр. 131–148 в теории моделей, алгебре и геометрии , под редакцией Д. Хаскелла и др., Math. Sci. Res. Inst. Publ. 39, Кембриджский унив. Press, New York, 2000. Содержит формальное определение ранга Морли.
- Дэвид Маркер Модельная теория дифференциальных полей (2000), стр. 53–63 в теории моделей, алгебре и геометрии , под редакцией Д. Хаскелла и др., Math. Sci. Res. Inst. Publ. 39, Кембриджский унив. Press, Нью-Йорк, 2000.
- Морли, доктор медицины (1965), «Категоричность власти», Trans. Амер. Математика. Soc. , Американское математическое общество, 114 (2): 514-538, DOI : 10,2307 / 1994188 , JSTOR 1994188
- Пиллэй, Ананд (2001) [1994], "Группа конечного ранга Морли" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Пиллэй, Ананд (2001) [1994], «Ранг Морли» , Энциклопедия математики , EMS Press