16-я проблема Гильберта была поставлена Давидом Гильбертом на Парижской конференции Международного конгресса математиков в 1900 году как часть его списка из 23 задач математики . [1]
Исходная проблема была поставлена как проблема топологии алгебраических кривых и поверхностей ( Problem der Topologie algebraischer Kurven und Flächen ).
Фактически проблема состоит из двух похожих задач в разных разделах математики:
- Исследование взаимного расположения ветвей вещественных алгебраических кривых степени n (и аналогично для алгебраических поверхностей ).
- Определение верхней границы числа предельных циклов в двумерных полиномиальных векторных полях степени n и исследование их взаимного расположения.
Первая проблема еще не решена для n = 8. Поэтому эту проблему обычно имеют в виду, когда говорят о шестнадцатой проблеме Гильберта в реальной алгебраической геометрии . Вторая проблема также остается нерешенной: верхняя оценка числа предельных циклов не известна ни для какого n > 1, и именно это обычно понимают под шестнадцатой проблемой Гильберта в области динамических систем .
Испанское королевское математическое общество заявило об этом документе, объясняющем шестнадцатую проблему Гильберта. [2]
Первая часть 16-й проблемы Гильберта
В 1876 году Гарнак исследовал алгебраические кривые в вещественной проективной плоскости и обнаружил, что кривые степени n могут иметь не более
отдельные подключенные компоненты . Кроме того, он показал, как построить кривые, которые достигают этой верхней границы и, таким образом, являются наилучшей возможной границей. Кривые с таким количеством компонентов называются M-кривыми .
Гильберт исследовал M-кривые степени 6 и обнаружил, что 11 компонентов всегда были сгруппированы определенным образом. Теперь его вызов математическому сообществу состоял в том, чтобы полностью исследовать возможные конфигурации компонентов M-кривых.
Кроме того, он потребовал обобщения теоремы Гарнака о кривой на алгебраические поверхности и аналогичного исследования поверхностей с максимальным числом компонентов.
Вторая часть 16-й проблемы Гильберта
Здесь мы собираемся рассматривать полиномиальные векторные поля в вещественной плоскости, то есть систему дифференциальных уравнений вида:
где P и Q - действительные многочлены степени n .
Эти полиномиальные векторные поля были изучены Пуанкаре , который решил отказаться от поиска точных решений системы и вместо этого попытался изучить качественные особенности совокупности всех возможных решений.
Среди многих важных открытий он обнаружил, что предельные множества таких решений не обязательно должны быть стационарной точкой , а могут быть периодическими решениями. Такие решения называются предельными циклами .
Вторая часть 16-й проблемы Гильберта состоит в том, чтобы определить верхнюю границу количества предельных циклов в полиномиальных векторных полях степени n и, как и в первой части, исследовать их взаимное расположение.
Полученные результаты
В 1991/1992 годах Юлием Ильяшенко и Жаном Экаллем было показано, что каждое полиномиальное векторное поле на плоскости имеет только конечное число предельных циклов (статья Анри Дюлака 1923 года, в которой утверждалось, что доказательство этого утверждения содержит пробел в 1981 году) . Это утверждение неочевидно, поскольку легко построить гладкие (C ∞ ) векторные поля на плоскости с бесконечным числом концентрических предельных циклов. [3]
Вопрос о том, существует ли конечная верхняя граница H ( n ) для числа предельных циклов плоских полиномиальных векторных полей степени n, остается нерешенным для любого n > 1. ( H (1) = 0, поскольку линейные векторные поля не имеют предела циклы.) Евгений Ландис и Иван Петровский предлагали решение в 1950-х годах, но в начале 1960-х оно оказалось неверным. Известны плоские квадратичные векторные поля с четырьмя предельными циклами. [3] Пример численной визуализации четырех предельных циклов в векторном поле квадратичной плоскости можно найти в. [4] [5] В общем, трудности с оценкой количества предельных циклов с помощью численного интегрирования связаны с вложенным пределом циклы с очень узкими областями притяжения, которые являются скрытыми аттракторами , и полустабильные предельные циклы.
Оригинальная постановка задач
В своем выступлении Гильберт представил проблемы следующим образом: [6]
Верхняя граница замкнутых и отдельных ветвей алгебраической кривой степени n была определена Гарнаком (Mathematische Annalen, 10); отсюда возникает вопрос об относительном расположении ветвей на плоскости. Что касается кривых степени 6, я - правда, довольно тщательно - убедил себя, что 11 ветвей, которые они могут иметь, согласно Гарнаку, никогда не могут быть отдельными, скорее, должна существовать одна ветвь, у которой есть другая ветвь. внутри и девять ветвей снаружи, или напротив. Мне кажется, что тщательное исследование взаимного расположения верхней границы для отдельных ветвей представляет большой интерес, равно как и соответствующее исследование количества, формы и положения листов алгебраической поверхности в пространстве - это еще не даже известно, сколько листов может иметь поверхность степени 4 в трехмерном пространстве. (см. Rohn, Flächen vierter Ordnung, Preissschriften der Fürstlich Jablonowskischen Gesellschaft, Leipzig 1886)
Гильберт продолжает: [6]
Следуя этой чисто алгебраической проблеме, я хотел бы поднять вопрос, который, как мне кажется, может быть решен с помощью того же метода непрерывного изменения коэффициентов, и ответ на который имеет такое же значение для топологии семейств кривых, определяемых дифференциальными уравнениями - это вопрос о верхней границе и положении граничных циклов Пуанкаре (пределов циклов) для дифференциального уравнения первого порядка вида:
где X , Y - целые рациональные функции n- й степени соответственно. x , y или записываются однородно:
где X , Y , Z означают интегральные, рациональные, однородные функции n- й степени по x , y , z, а последние следует рассматривать как функцию параметра t .
Рекомендации
- ^ Дэвид Гилберт (переведенный Мэри Винтон Ньюсон). «Математические задачи» .
- ^ "Sobre el проблема 16 de Hilbert" .
- ^ а б Ю. Ильяшенко (2002). "Столетняя история 16-й проблемы Гильберта" (PDF) . Вестник АПП . 39 (3): 301–354. DOI : 10,1090 / s0273-0979-02-00946-1 .
- ^ Кузнецов Н.В.; Кузнецова О.А.; Леонов Г.А. (2011). «Визуализация четырех предельных циклов нормального размера в двумерной полиномиальной квадратичной системе». Дифференциальные уравнения и динамические системы . 21 (1–2): 29–33. DOI : 10.1007 / s12591-012-0118-6 .
- ^ Леонов Г.А.; Кузнецов Н.В. (2013). «Скрытые аттракторы в динамических системах. От скрытых колебаний в задачах Гильберта-Колмогорова, Айзермана и Калмана до скрытых хаотических аттракторов в схемах Чуа» . Международный журнал бифуркаций и хаоса в прикладных науках и технике . 23 (1): 1330002–219. Bibcode : 2013IJBC ... 2330002L . DOI : 10.1142 / S0218127413300024 .
- ^ а б Дэвид Гилберт (переведенный Маби Винтон Ньюсон). «Математические задачи №16» .
Внешние ссылки
- 16-я проблема Гильберта: вычисление ляпуновских величин и предельных циклов в двумерных динамических системах