Задачи Гильберта - это двадцать три проблемы математики, опубликованные немецким математиком Давидом Гильбертом в 1900 году. Все они были нерешенными в то время, и некоторые из них оказались очень важными для математики 20-го века. Гильберт представил десять проблем (1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21 и 22) на Парижской конференции Международного конгресса математиков , выступая 8 августа в Сорбонне . Полный список из 23 задач был опубликован позже, в первую очередь в английском переводе в 1902 году Мэри Фрэнсис Уинстон Ньюсон в Бюллетене Американского математического общества . [1]
Природа и влияние проблем
Проблемы Гильберта очень разнятся по тематике и точности. Некоторые из них, такие как 3-я проблема, которая была решена первой, или 8-я проблема ( гипотеза Римана ), которая до сих пор остается нерешенной, были представлены достаточно точно, чтобы дать четкий утвердительный или отрицательный ответ. Для других проблем, таких как 5-я, эксперты традиционно соглашаются с единственной интерпретацией, и было дано решение принятой интерпретации, но существуют тесно связанные нерешенные проблемы. Некоторые из утверждений Гильберта не были достаточно точными, чтобы указать конкретную проблему, но были достаточно наводящими на размышления, чтобы определенные проблемы современной природы, казалось, применимы; например, большинство современных теоретиков числа , вероятно , увидеть 9th проблемы со ссылкой на предположительный Ленглендсе переписку по представлениям абсолютной группы Галуа в виде числового поля . [ необходимая цитата ] Другие проблемы, такие как 11-я и 16-я, касаются того, что сейчас процветает в математических дисциплинах, таких как теории квадратичных форм и реальных алгебраических кривых .
Есть две проблемы, которые не только не решены, но и могут оказаться неразрешимыми по современным меркам. Шестая проблема касается аксиоматизации физики , цели, которую разработки двадцатого века, кажется, делают как более отдаленной, так и менее важной, чем во времена Гильберта. Кроме того, четвертая проблема касается основ геометрии, и в настоящее время ее считают слишком расплывчатой, чтобы дать окончательный ответ.
Остальным 21 проблеме было уделено значительное внимание, и в конце двадцатого века работа над этими проблемами по-прежнему считалась очень важной. Пол Коэн получил медаль Филдса в 1966 году за свою работу над первой проблемой, и отрицательное решение десятой проблемы в 1970 году Юрием Матиясевичем (завершение работы Мартина Дэвиса , Хилари Патнэм и Джулии Робинсон ) вызвало аналогичное признание. Аспекты этих проблем по-прежнему вызывают большой интерес.
Игнорабимус
Следуя Готтлобу Фреге и Бертрану Расселу , Гильберт стремился определить математику логически, используя метод формальных систем , то есть конечных доказательств на основе согласованного набора аксиом. [2] Одной из основных целей программы Гильберта было финитистическое доказательство непротиворечивости аксиом арифметики: это его вторая проблема. [а]
Однако вторая теорема Гёделя о неполноте дает точный смысл, в котором такое конечное доказательство непротиворечивости арифметики доказуемо невозможно. Гильберт прожил 12 лет после того, как Курт Гёдель опубликовал свою теорему, но, похоже, не написал никакого официального ответа на работу Гёделя. [b] [c]
Десятая проблема Гильберта не спрашивает, существует ли алгоритм для определения разрешимости диофантовых уравнений , а скорее требует построения такого алгоритма: «разработать процесс, в соответствии с которым он может быть определен с помощью конечного числа операций, является ли уравнение разрешимо в целых рациональных числах ». То, что эта проблема была решена путем демонстрации невозможности существования такого алгоритма, противоречило философии математики Гильберта.
Обсуждая свое мнение о том, что каждая математическая проблема должна иметь решение, Гильберт допускает возможность того, что решение может быть доказательством невозможности исходной проблемы. [d] Он заявил, что дело в том, чтобы так или иначе узнать, каково решение, и он считал, что мы всегда можем знать это, что в математике нет никакого « ignorabimus » (утверждение, истина которого никогда не может быть познана) . [e] Кажется неясным, рассматривал бы он решение десятой проблемы как пример ignorabimus: доказано, что не существует не целочисленное решение, а (в определенном смысле) способность различать определенным образом существует ли решение.
С другой стороны, статус первой и второй проблем еще более сложен: нет четкого математического консенсуса относительно того, являются ли результаты Геделя (в случае второй проблемы) или Геделя и Коэна (в случае первой проблемы) дают окончательные отрицательные решения или нет, поскольку эти решения относятся к определенной формализации проблем, которая не обязательно является единственно возможной. [f]
24-я проблема
Первоначально Гильберт включил в свой список 24 задачи, но решил не включать одну из них в опубликованный список. «24-я проблема» (в теории доказательств , по критерию простоты и общих методов) была повторно открыта в оригинальных рукописных заметках Гильберта немецким историком Рюдигером Тиле в 2000 году [5].
Сиквелы
С 1900 года математики и математические организации объявляют списки задач, но, за некоторыми исключениями, они не имели такого большого влияния и не создавали столько работы, как проблемы Гильберта.
Одно исключение составляют три гипотезы, сделанные Андре Вейлем в конце 1940-х годов ( гипотезы Вейля ). В области алгебраической геометрии , теории чисел и связей между ними гипотезы Вейля были очень важны [ ссылка ] . Первое из них было доказано Бернардом Дворком ; Совершенно иное доказательство первых двух с помощью ℓ-адических когомологий было дано Александром Гротендиком . Последняя и самая глубокая из гипотез Вейля (аналог гипотезы Римана) была доказана Пьером Делинем . И Гротендик, и Делинь были награждены медалью Филдса . Однако гипотезы Вейля по своему охвату были больше похожи на единственную проблему Гильберта, и Вейль никогда не планировал их как программу для всей математики. Это несколько иронично, поскольку, возможно, Вейль был математиком 1940-х и 1950-х годов, который лучше всего играл роль Гильберта, знаком почти со всеми областями (теоретической) математики и сыграл важную роль в развитии многих из них.
Пол Эрдеш поставил сотни, если не тысячи, математических задач , многие из которых были глубокими. Эрдеш часто предлагал денежное вознаграждение; размер вознаграждения зависел от воспринимаемой сложности проблемы.
Конец тысячелетия, который также был столетней годовщиной объявления Гильбертом своих проблем, предоставил естественный повод предложить «новый набор проблем Гильберта». Несколько математиков приняли вызов, в частности, обладатель медали Филдса Стив Смейл , который ответил на просьбу Владимира Арнольда предложить список из 18 задач.
По крайней мере, в основных средствах массовой информации де-факто аналогом проблем Гильберта 21 века является список из семи проблем, удостоенных премии тысячелетия, выбранный в 2000 году Институтом математики Клэя . В отличие от задач Гильберта, где главной наградой было восхищение Гильберта в частности и математиков в целом, каждая задача с призовым фондом включает вознаграждение в миллион долларов. Как и в случае с проблемами Гильберта, одна из призовых задач ( гипотеза Пуанкаре ) была решена относительно вскоре после объявления проблем.
Гипотеза Римана примечательна своим появлением в списке проблем Гильберта, списке Смейла, списке задач Премии тысячелетия и даже в гипотезах Вейля в своем геометрическом обличье. Хотя он подвергся критике со стороны крупнейших математиков нашего времени, многие эксперты полагают, что он все еще будет частью списков нерешенных проблем на протяжении многих столетий. Сам Гильберт заявил: «Если бы я проснулся после того, как проспал тысячу лет, мой первый вопрос был бы: доказана ли гипотеза Римана?» [6]
В 2008 году DARPA объявило свой собственный список из 23 проблем, которые, как он надеялся, могут привести к крупным математическим прорывам, «тем самым укрепив научные и технологические возможности Министерства обороны ». [7] [8] [9]
Резюме
Из четко сформулированных проблем Гильберта проблемы 3, 7, 10, 14, 17, 18, 19 и 20 имеют решение, которое принимается консенсусом математического сообщества. С другой стороны, проблемы 1, 2, 5, 6, 9, 11, 15, 21 и 22 имеют решения, которые частично принимаются, но существуют некоторые разногласия относительно того, решают ли они проблемы.
Это оставляет 8 ( гипотеза Римана ), 12, 13 и 16 [g] нерешенными, а 4 и 23 слишком расплывчатыми, чтобы их можно было назвать решенными. Изъятые 24 также будут в этом классе. Число 6 отложено как проблема в физике, а не в математике.
Таблица проблем
Двадцать три проблемы Гильберта (подробные сведения о решениях и ссылки см. В подробных статьях, ссылки на которые приведены в первом столбце):
Проблема | Краткое объяснение | Статус | Год решен |
---|---|---|---|
1-й | Гипотеза континуума (то есть не существует множества , мощность которого строго находится между мощностями целых и действительных чисел ) | Доказано невозможно доказать или опровергнуть в рамках теории множеств Цермело-Френкеля с или без аксиомой выбора ( при условии , теории множеств Цермело-Френкеля является последовательным , то есть, он не содержит противоречие). Нет единого мнения о том, является ли это решением проблемы. | 1940, 1963 |
2-й | Докажите , что аксиомы из арифметики являются последовательными . | Нет единого мнения о том, дают ли результаты Гёделя и Гентцена решение проблемы, сформулированной Гильбертом. Вторая теорема Гёделя о неполноте , доказанная в 1931 году, показывает, что никакое доказательство ее непротиворечивости не может быть выполнено в рамках самой арифметики. Генценовского доказал в 1936 году , что непротиворечивость арифметики следует из обоснованности из порядковых & epsi ; ₀ . | 1931, 1936 |
3-й | Учитывая любые два многогранника равного объема, всегда ли возможно разрезать первый на конечное число многогранных частей, которые можно собрать заново, чтобы получить вторую? | Решено. Результат: Нет, доказано с использованием инвариантов Дена . | 1900 г. |
4-й | Постройте все метрики, где линии являются геодезическими . | Слишком расплывчато, чтобы сказать решено или нет. [час] | - |
5-й | Являются ли непрерывные группы автоматически различающимися группами ? | Принято Эндрю Глисоном , исходя из одной интерпретации исходного утверждения. Однако, если ее понимать как эквивалент гипотезы Гильберта – Смита , она все еще остается нерешенной. | 1953? |
Шестой | Математическая обработка аксиом в физике (а) аксиоматика вероятности с предельными теоремами для основания статистической физики (б) строгой теории предельных процессов « которые ведут с атомистической точки зрения к законам движения континуумов» | Частично разрешено в зависимости от того, как интерпретируется исходное утверждение. [10] Пункты (a) и (b) были двумя конкретными проблемами, указанными Гильбертом в более позднем объяснении. [1] Аксиоматика Колмогорова (1933) теперь принята за стандарт. Есть некоторый успех на пути от «атомистической точки зрения к законам движения континуумов». [11] | 1933–2002? |
7-е | Является ли a b трансцендентным для алгебраического a ≠ 0,1 и иррационального алгебраического b ? | Решено. Результат: Да, проиллюстрировано теоремой Гельфонда или теоремой Гельфонда – Шнайдера . | 1934 г. |
8-е | Гипотеза Римана ( «действительная часть любого не- тривиального нуля в дзета - функции Римана является ½») и другие проблемы простых чисел, среди которых гипотеза Гольдбаха и близнец премьер догадка | Нерешенный. | - |
9-е | Найдите наиболее общий закон теоремы взаимности в любом поле алгебраических чисел . | Частично решено. [я] | - |
10-е | Найдите алгоритм, чтобы определить, имеет ли данное полиномиальное диофантово уравнение с целыми коэффициентами целочисленное решение. | Решено. Результат: невозможно; Из теоремы Матиясевича следует, что такого алгоритма не существует. | 1970 г. |
11-е | Решение квадратичных форм с алгебраическими числовыми коэффициентами . | Частично решено. [12] | - |
12-е | Распространите теорему Кронекера – Вебера об абелевых расширениях рациональных чисел на любое поле основных чисел. | Частично решено. [13] | - |
13-е | Решите уравнение 7-й степени, используя алгебраические (вариант: непрерывные) функции двух параметров . | Нерешенный. Непрерывный вариант этой задачи был решен Владимиром Арнольдом в 1957 году на основе работы Андрея Колмогорова , но алгебраический вариант не решен. [j] | - |
14-е | Является ли кольцо инвариантов в качестве алгебраической группы , действующей на кольце многочленов всегда конечно порождено ? | Решено. Результат: Нет, Масаёши Нагата построил контрпример . | 1959 г. |
15-е | Строгое основание перечислительного исчисления Шуберта . | Частично решено. [ необходима цитата ] | - |
16-е | Опишите относительное положение овалов, происходящих от вещественной алгебраической кривой, и как предельные циклы полиномиального векторного поля на плоскости. | Неразрешенный, даже для алгебраических кривых степени 8. | - |
17-е | Выразите неотрицательную рациональную функцию как частное от сумм квадратов . | Решено. Результат: Да, благодаря Эмилю Артину . Кроме того, был установлен верхний предел количества необходимых квадратных терминов. | 1927 г. |
18-е | (а) Существует ли многогранник, допускающий только анизоэдрическую мозаику в трех измерениях? б) Какая упаковка сфер самая плотная ? | (а) Решено. Результат: Да ( Карл Рейнхардт ). (b) Широко распространено мнение, что решение разрешено с помощью компьютерного доказательства ( Томас Каллистер Хейлз ). Результат: Наивысшая плотность достигается за счет плотных упаковок , каждая из которых имеет плотность около 74%, таких как гранецентрированная кубическая плотная упаковка и гексагональная плотная упаковка. [k] | а) 1928 г. б) 1998 г. |
19-е | Всегда ли аналитичны решения регулярных задач вариационного исчисления ? | Решено. Результат: Да, доказано Эннио де Джорджи и, независимо и разными методами, Джоном Форбсом Нэшем . | 1957 г. |
20-е | Есть ли решения у всех вариационных задач с определенными граничными условиями ? | Решено. Важная тема исследований на протяжении 20-го века, завершившаяся поиском решений для нелинейного случая. | ? |
21-е | Доказательство существования линейных дифференциальных уравнений с заданной монодромной группой | Частично решено. Результат: Да / Нет / Открыть в зависимости от более точной постановки задачи. | ? |
22-е | Униформизация аналитических отношений с помощью автоморфных функций | Частично решено. Теорема униформизации | ? |
23-е | Дальнейшее развитие вариационного исчисления | Слишком расплывчато, чтобы сказать решено или нет. | - |
Смотрите также
- Проблемы Ландау
Заметки
- ^ См. Нагель и Ньюман в редакции Хофштадтера (2001, стр. 107), [3] сноска 37: «Более того, хотя большинство специалистов по математической логике не сомневаются в убедительности доказательства [Генцена], оно не является конечным в смысле Первоначальные условия Гильберта для абсолютного доказательства непротиворечивости ». Также см. Следующую страницу: «Но эти доказательства [Gentzen's et al.] Не могут быть отражены внутри систем, к которым они относятся, и, поскольку они не являются конечными, они не достигают заявленных целей исходной программы Гильберта». Хофштадтер немного переписал исходную сноску (1958 г.), заменив слово «студенты» на «специалисты по математической логике». И этот момент снова обсуждается на стр. 109 [3] и не был изменен там Хофштадтером (стр. 108). [3]
- ↑ Рид сообщает, что, услышав о «работе Гёделя от Бернейса, он был« несколько рассержен »... Сначала он был только зол и разочарован, но затем он начал пытаться конструктивно решить проблему ... Это было пока не ясно, какое влияние в конечном итоге окажет работа Гёделя »(стр. 198–199). [4] Рид отмечает, что в двух статьях в 1931 году Гильберт предложил другую форму индукции, названную «unndliche Induktion» (стр. 199). [4]
- ^ Биография Рида Гильберта, написанная в 1960-х годах из интервью и писем, сообщает, что «Гёдель (который никогда не переписывался с Гильбертом) считает, что схема Гильберта для основ математики« остается очень интересной и важной, несмотря на мои отрицательные результаты ». (стр. 217). Обратите внимание на использование настоящего времени - она сообщает, что Гедель и Бернейс, среди прочих, «ответили на мои вопросы о работе Гильберта в области логики и основ» (стр. vii). [4]
- ^ Этот вопрос, который берет свое начало в «фундаментальном кризисе» начала 20 века, в частности, в споре о том, при каких обстоятельствах закон исключенного среднего может быть использован в доказательствах. См. Гораздо больше в полемике Брауэра – Гильберта .
- ^ «Эта убежденность в разрешимости каждой математической проблемы является мощным стимулом для рабочего. Мы слышим внутри себя вечный зов: существует проблема. Ищите ее решение. Вы можете найти ее с помощью чистого разума, поскольку в математике нет ignorabimus »(Гильберт, 1902, стр. 445).
- ^ Нагель, Ньюман и Хофштадтер обсуждают этот вопрос: «Возможность построения конечного абсолютного доказательства непротиворечивости для формальной системы, такой как Principia Mathematica , не исключается результатами Гёделя ... Его аргумент не исключает возможности ... Но Сегодня, похоже, никто не имеет четкого представления о том, каким будет финитистическое доказательство, которое не может быть отражено в Principia Mathematica (сноска 39, стр. 109). Авторы приходят к выводу, что перспектива «крайне маловероятна» [3].
- ^ Некоторые авторы считают эту проблему слишком расплывчатой, чтобы ее можно было назвать решенной, хотя по ней все еще ведутся активные исследования.
- ^ По словам Грея, большинство проблем уже решено. Некоторые из них не были определены полностью, но был достигнут достаточный прогресс, чтобы считать их "решенными"; Грей называет четвертую проблему слишком расплывчатой, чтобы сказать, решена ли она.
- ^ Задача 9 была решена Артин в 1927 году для абелевых расширений этих рациональных чисел при развитии теории полей классов ; неабелев случай остается нерешенным, если интерпретировать его как неабелеву теорию полей классов .
- ^ Нетрудно показать, что проблема имеет частичное решение в пространстве однозначных аналитических функций (Рауденбуш). Некоторые авторы утверждают, что Гильберт намеревался найти решение в пространстве (многозначных) алгебраических функций, тем самым продолжая свою собственную работу над алгебраическими функциями и ставя вопрос о возможном расширении теории Галуа (см., Например, Абхьянкар [14 ] Витушкин, [15] Чеботарев, [16] и др.). Из одной из статей Гильберта [17] следует, что это было его первоначальным намерением при решении проблемы. Язык Гильберта - это «... Existenz von algebraischen Funktionen ...», [существование алгебраических функций]. Таким образом, проблема до сих пор не решена.
- ^ Грей также называет 18-ю проблему «открытой» в своей книге 2000 года, потому что проблема упаковки сфер (также известная как гипотеза Кеплера ) не была решена, но теперь было заявлено ее решение.
Рекомендации
- ^ a b Гильберт, Дэвид (1902). «Математические задачи» . Бюллетень Американского математического общества . 8 (10): 437–479. DOI : 10.1090 / S0002-9904-1902-00923-3 . Более ранние публикации (на немецком языке) появлялись в Гильберт, Дэвид (1900). "Математическая проблема" . Göttinger Nachrichten : 253–297. а также Гильберт, Дэвид (1901). «[название не указано]». Archiv der Mathematik und Physik . 3. 1 : 44–63, 213–237.
- ^ ван Хейеноорт, Жан, изд. (1976) [1966]. От Фреге до Гёделя: справочник по математической логике, 1879–1931 ((pbk.) Ed.). Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета. стр. 464ff. ISBN 978-0-674-32449-7.
Надежный источник аксиоматической системы Гильберта, его комментариев к ним и к фундаментальному «кризису», происходившему в то время (в переводе на английский), представлен как « Основы математики» Гильберта (1927). - ^ а б в г Нагель, Эрнест; Ньюман, Джеймс Р. (2001). Хофштадтер, Дуглас Р. (ред.). Доказательство Гёделя . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Издательство Нью-Йоркского университета. ISBN 978-0-8147-5816-8.
- ^ а б в Рид, Констанс (1996). Гильберта . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0387946740.
- ^ Тиле, Рюдигер (январь 2003 г.). «Двадцать четвертая проблема Гильберта» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 110 : 1–24. DOI : 10.1080 / 00029890.2003.11919933 . S2CID 123061382 .
- ^ Клоусон, Кальвин С. Математические тайны: красота и магия чисел . п. 258.
- ^ Куни, Майкл (29 сентября 2008 г.). «23 самых сложных математических вопроса в мире» . Сетевой мир .
- ^ «Математические задачи DARPA - DARPA-BAA08-65» . Система управления наградами (SAM) - beta.sam.gov . Проверено 31 марта 2021 .
- ^ «Математические задачи DARPA - (из архива)» . web.archive.org: Возможности федерального бизнеса . 26 сентября 2008 г. Архивировано из оригинала на 2019-01-12 . Проверено 31 марта 2021 .
- ^ Корри, Л. (1997). «Дэвид Гильберт и аксиоматизация физики (1894–1905)». Arch. Hist. Exact Sci . 51 (2): 83–198. DOI : 10.1007 / BF00375141 . S2CID 122709777 .
- ^ Горбань АН ; Карлин И. (2014). «Шестая проблема Гильберта: точные и приближенные гидродинамические многообразия для кинетических уравнений» . Бюллетень Американского математического общества . 51 (2): 186–246. arXiv : 1310.0406 . DOI : 10.1090 / S0273-0979-2013-01439-3 .
- ^ Hazewinkel, Michiel (2009). Справочник по алгебре . 6 . Эльзевир. п. 69. ISBN. 978-0080932811.
- ^ Хьюстон-Эдвардс, Келси. «Математики находят долгожданные строительные блоки для специальных многочленов» .
- ^ Абхьянкар, Шрирам С. «Тринадцатая проблема Гильберта» (PDF) .
- ^ Витушкин, А.Г. "К тринадцатой проблеме Гильберта и смежным вопросам" (PDF) .
- ^ Чеботарев Н.Г. О некоторых вопросах проблемы резольвент.
- ^ Гильберт, Дэвид (1927). «Über die Gleichung neunten Grades». Математика. Энн . 97 : 243–250. DOI : 10.1007 / BF01447867 . S2CID 179178089 .
дальнейшее чтение
- Грей, Джереми Дж. (2000). Вызов Гильберта . Оксфорд, Великобритания: Издательство Оксфордского университета . ISBN 978-0-19-850651-5.
- Янделл, Бенджамин Х. (2002). The Honors Class: проблемы Гильберта и их решения . Уэллсли, Массачусетс: А.К. Петерс. ISBN 978-1-56881-141-3.
- Тиле, Рюдигер (2005). «О Гильберте и его двадцати четырех проблемах». В Ван Браммелен, Глен (ред.). Математика и ремесло историка: лекции Кеннета О. Мэя . CMS Книги по математике / Ouvrages de Mathématiques de la SMC. 21 . С. 243–295. ISBN 978-0-387-25284-1.
- Доусон, Джон В. младший (1997). Логические дилеммы: жизнь и творчество Курта Гёделя . А.К. Петерс.
Обилие информации , относящейся к «программе» Гильберта и Гёделя «s удара по второму вопросу, влияние Гейтинг » s и Брауэр «ы Интуиционизм по философии Гильберта. - Браудер, Феликс Э. , изд. (1976). «Математические разработки, возникающие из проблем Гильберта». Труды симпозиумов по чистой математике XXVIII . Американское математическое общество.
Сборник обзорных эссе экспертов, посвященных каждой из 23 проблем, с акцентом на текущие разработки. - Матиясевич, Юрий (1993). Десятая проблема Гильберта . Кембридж, Массачусетс: MIT Press. ISBN 978-0262132954.
Отчет на уровне бакалавриата математика, завершившего решение задачи.
Внешние ссылки
- "Проблемы Гильберта" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- «Оригинальный текст выступления Гильберта на немецком языке» . Архивировано из оригинала на 2012-02-05 . Проверено 5 февраля 2005 .
- «Математические задачи Давида Гильберта: лекция, прочитанная перед Международным конгрессом математиков в Париже в 1900 году» (PDF) .