В математическом анализе осциллирующий интеграл представляет собой тип распределения . Осциллирующие интегралы содержат множество строгих аргументов, которые на наивном уровне, похоже, используют расходящиеся интегралы. Операторы приближенного решения многих дифференциальных уравнений можно представить в виде осциллирующих интегралов.
Колебательный интеграл записывается формально как
где а также являются функциями, определенными на со следующими свойствами.
- 1) Функция вещественнозначна, положительно однородна степени 1 и бесконечно дифференцируема вне . Также мы предполагаем, что не имеет критических точек на поддержку в . Такая функция, обычно называется фазовой функцией . В некоторых контекстах рассматриваются более общие функции, которые все еще называются фазовыми функциями.
- 2) Функция принадлежит к одному из классов символов для некоторых . Интуитивно эти классы символов обобщают понятие положительно однородных функций степени . Как и в случае с фазовой функцией , в некоторых случаях функция принято относиться к более общим или просто другим классам.
Когда формальный интеграл, определяющий сходится для всех и нет необходимости в дальнейшем обсуждении определения . Однако когда осциллирующий интеграл по-прежнему определяется как распределение на даже если интеграл может не сходиться. В этом случае распределение определяется с использованием того факта, что могут быть аппроксимированы функциями, имеющими экспоненциальный спад в . Один из возможных способов сделать это - установить
где предел взят в смысле умеренных распределений . Используя интегрирование по частям, можно показать, что этот предел определен корректно и что существует дифференциальный оператор такое, что результирующее распределение действуя на любом в пространстве Шварца дается выражением
где этот интеграл абсолютно сходится. Оператор не определен однозначно, но может быть выбран таким образом, чтобы он зависел только от фазовой функции , приказ символа , а также . Фактически, учитывая любое целое число можно найти оператора так что подынтегральное выражение выше ограничено для достаточно большой. Это основная цель определения классов символов .
Многие знакомые распределения можно записать в виде осциллирующих интегралов.
- 1) Из теоремы обращения Фурье следует, что дельта-функция , равно
- Если мы применим первый метод определения этого осциллирующего интеграла сверху, а также преобразование Фурье гауссиана, мы получим хорошо известную последовательность функций, которые аппроксимируют дельта-функцию:
- Оператор в этом случае дается, например,
- где является лапласианом относительно переменные и любое целое число больше, чем . Действительно, с этим у нас есть
- и этот интеграл абсолютно сходится.
- 2) Ядро Шварца любого дифференциального оператора можно записать в виде осциллирующего интеграла. В самом деле, если
- где , то ядро дан кем-то
Любое лагранжево распределение можно локально представить осциллирующими интегралами (см. Hörmander (1983) ). Наоборот, любой осциллирующий интеграл является лагранжевым распределением. Это дает точное описание типов распределений, которые могут быть представлены в виде осциллирующих интегралов.