Лемма Ван дер Корпута (гармонический анализ)

---

В математике , в области гармонического анализа , лемма ван дер Корпута — оценка для осциллирующих интегралов , названная в честь голландского математика Дж. Г. ван дер Корпута .

Предположим, что вещественнозначная функция является гладкой на открытом интервале и что для всех . Предположим, что либо , либо то и монотонно для . Существует константа , не зависящая от , такая, что${\ Displaystyle \ фи (х)}$${\ Displaystyle (а, б)}$${\ Displaystyle | \ фи ^ {(к)} (х) | \ geq 1}$${\ Displaystyle х \ в (а, б)}$${\ Displaystyle к \ geq 2}$${\ Displaystyle к = 1}$${\ Displaystyle \ фи '(х)}$${\ Displaystyle х \ в \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle с_ {к}}$${\ Displaystyle \ фи}$

для любого .${\ Displaystyle \ лямбда \ в \ mathbb {R}}$

Лемма ван дер Корпута тесно связана с оценками множества подуровней (см., например , ^[2] ), которые дают верхнюю границу меры множества, где функция принимает значения, не превышающие .${\ Displaystyle \ эпсилон}$

Предположим, что вещественнозначная функция является гладкой на конечном или бесконечном интервале и что для всех . Существует константа , не зависящая от , такая, что для любого множества подуровня мера ограничена .${\ Displaystyle \ фи (х)}$${\ Displaystyle I \ подмножество \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle | \ фи ^ {(к)} (х) | \ geq 1}$${\ Displaystyle х \ в I}$${\ Displaystyle с_ {к}}$${\ Displaystyle \ фи}$${\ Displaystyle \ эпсилон \ geq 0}$${\ Displaystyle \ {х \ в I: | \ фи (х) | \ Leq \ эпсилон \}}$${\ Displaystyle с_ {к} \ эпсилон ^ {1 / к}}$

---