Теорема о ядре Шварца

В математике , тот ядро Шварц теорема является фундаментальным результатом в теории обобщенных функций , опубликованный Лоран Шварц в 1952 году говорится, в общих чертах, что обобщенные функции , введенные Шварц ( распределения Шварца ) имеет две-переменную теорию , что включает в себя все разумные билинейные формы на пространстве от тестовых функций . Пространство само по себе состоит из гладких функций из финитных .${\ Displaystyle {\ mathcal {D}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {D}}}$

Формулировка теоремы [ править ]

Позвольте и быть открытыми множествами . Каждое распределение определяет непрерывное линейное отображение такое, что${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle k\in {\mathcal {D}}'(X\times Y)}$${\displaystyle K\colon {\mathcal {D}}(Y)\to {\mathcal {D}}'(X)}$

${\displaystyle \left\langle k,u\otimes v\right\rangle =\left\langle Kv,u\right\rangle }$

( 1 )

для каждого . Наоборот, для каждого такого непрерывного линейного отображения существует одно и только одно распределение такое, что выполняется ( 1 ). Дистрибутив - это ядро ​​карты .${\displaystyle u\in {\mathcal {D}}(X),v\in {\mathcal {D}}(Y)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle k\in {\mathcal {D}}'(X\times Y)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle K}$

Примечание [ править ]

Для данного распределения всегда можно неформально записать линейное отображение K как${\displaystyle k\in {\mathcal {D}}'(X\times Y)}$

${\displaystyle Kv=\int _{Y}k(\cdot ,y)v(y)dy}$

чтобы

${\displaystyle \langle Kv,u\rangle =\int _{X}\int _{Y}k(x,y)v(y)u(x)dydx}$.

Интегральные ядра [ править ]

Традиционные ядерные функции K ( x ,  y ) двух переменных теории интегральных операторов были расширены за счет включения их обобщенных функциональных аналогов, которым позволено быть более сингулярными в серьезном смысле, - большой класс операторов из D к его сопряженному пространству D ′ распределений. Суть теоремы состоит в том, чтобы утверждать, что расширенный класс операторов можно охарактеризовать абстрактно, как содержащий все операторы, подчиняющиеся условию минимальной непрерывности. Билинейная форма на D возникает при объединении распределения изображения с тестовой функцией.

Простым примером является то, что естественное вложение [.] Пространства тестовых функций D в D '- отправка каждой тестовой функции f в соответствующее распределение [f] - соответствует дельта-распределению

δ ( х  -  у )

сосредоточена на диагонали подчеркнутого евклидова пространства в терминах дельта-функции Дирака δ. Хотя это в лучшем случае наблюдение, оно показывает, как теория распределения расширяет возможности. Интегральные операторы не так уж «сингулярны»; иначе сказать, что для непрерывного ядра K в пространстве создаются только компактные операторы , такие как непрерывные функции на [0,1]. Оператор I далек от компактности, и его ядро ​​интуитивно аппроксимируется функциями на [0,1] × [0,1] с острием по диагонали x  =  y и исчезающим в другом месте.

Этот результат подразумевает, что формирование распределений обладает основным свойством «замкнутости» в рамках традиционной области функционального анализа . Это было интерпретировано (комментарий Жана Дьедонне ) как убедительная проверка пригодности теории распределений Шварца для более широко распространенного математического анализа. В томе 7 « Éléments d'analyse» , стр. 3 он отмечает, что теорема включает дифференциальные операторы на том же основании, что и интегральные операторы, и приходит к выводу, что это, возможно, самый важный современный результат функционального анализа. Он сразу же уточняет это утверждение, говоря, что установка слишком «обширна» для дифференциальных операторов из-за свойства монотонности по отношению кподдержка функции , которая очевидна для дифференцирования. Даже монотонность относительно особого носителя не характерна для общего случая; его рассмотрение ведет в направлении современной теории псевдодифференциальных операторов .

Гладкие коллекторы [ править ]

Дьедонне доказывает версию результата Шварца, справедливую для гладких многообразий , и дополнительные подтверждающие результаты в разделах с 23.9 по 23.12 этой книги.

Обобщение на ядерные пространства [ править ]

Большая часть теории ядерных пространств была разработана Александром Гротендиком во время исследования теоремы о ядре Шварца и опубликована в Grothendieck 1955 . Имеем следующее обобщение теоремы.

Шварц ядра теоремы : ^[1] Предположим , что X является ядерным , Y локально выпукло, а v является непрерывной билинейной формой на . Тогда v возникает из пространства вида где и являются подходящими равностепенно непрерывными подмножествами и . Эквивалентно v имеет вид ${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle X_{A^{\prime }}^{\prime }{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y_{B^{\prime }}^{\prime }}$${\displaystyle A^{\prime }}$${\displaystyle B^{\prime }}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle Y^{\prime }}$

${\displaystyle v(x,y)=\sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i}\left\langle x,x_{i}^{\prime }\right\rangle \left\langle y,y_{i}^{\prime }\right\rangle }$ для всех ${\displaystyle (x,y)\in X\times Y}$

где и каждый из и равностепенно непрерывны. Более того, эти последовательности можно принять как нулевые (т. Е. Сходящиеся к 0) в и , соответственно.${\displaystyle \left(\lambda _{i}\right)\in l^{1}}$${\displaystyle \{x_{1}^{\prime },x_{2}^{\prime },\ldots \}}$${\displaystyle \{y_{1}^{\prime },y_{2}^{\prime },\ldots \}}$${\displaystyle X_{A^{\prime }}^{\prime }}$${\displaystyle Y_{B^{\prime }}^{\prime }}$

См. Также [ править ]

• Ядро Фредгольма
• Инъективное тензорное произведение
• Ядерный оператор
• Ядерное пространство
• Проективное тензорное произведение
• Оснащенное гильбертово пространство
• Класс трассировки

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

• Гротендик, Александр (1955). "Produits Tensoriels Topologiques et Espaces Nucléaires" [Топологические тензорные продукты и ядерные пространства]. Мемуары серии Американского математического общества (на французском языке). Провиденс: Американское математическое общество. 16 . ISBN 978-0-8218-1216-7. Руководство по ремонту  0075539 . OCLC  1315788 .
• Хёрмандер, Л. (1983). Анализ линейных дифференциальных операторов с частными I . Grundl. Математика. Wissenschaft. 256 . Springer. DOI : 10.1007 / 978-3-642-96750-4 . ISBN 3-540-12104-8. Руководство по ремонту  0717035 ..
• Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .
• Вонг (1979). Пространства Шварца, ядерные пространства и тензорные произведения . Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09513-6. OCLC  5126158 .

Внешние ссылки [ править ]

• Г. Л. Литвинов (2001) [1994], "Ядерная билинейная форма" , Энциклопедия математики , EMS Press