Инъективное тензорное произведение

В математике инъективное тензорное произведение двух топологических векторных пространств (TVS) было введено Александром Гротендиком и использовалось им для определения ядерных пространств . Инъективное тензорное произведение, как правило, не обязательно является полным , поэтому его пополнение называется завершенным инъективным тензорным произведением . Инъективные тензорные произведения имеют приложения вне ядерных пространств. В частности, как описано ниже, вплоть до TVS-изоморфизма, многие TVS, которые определены для вещественных или комплекснозначных функций, например, пространство Шварца или пространство непрерывно дифференцируемых функций, могут быть немедленно расширены до функций со значениями в хаусдорфовых функциях.локально выпуклые TVS Y с вне какой - либо необходимости расширить определения (такие как «дифференцируемые в точке») от реальных / комплексных функций к Y - значной функция.

Предварительные сведения и обозначения [ править ]

Пусть X , Y и Z будут топологическими векторными пространствами и линейным отображением.${\ displaystyle L: X \ to Y}$

• ${\ displaystyle L: X \ to Y}$является топологическим гомоморфизм или гомоморфизм , если оно является линейным, непрерывным, а представляет собой открытое отображение , где , изображение L , имеет топологию , индуцированное подпространство Y .${\ displaystyle L: X \ to \ operatorname {Im} L}$${\ displaystyle \ operatorname {Im} L}$
  • Если S - подпространство в X, то и фактор-отображение, и каноническая инъекция являются гомоморфизмами. В частности, любое линейное отображение можно канонически разложить следующим образом: где определяет биекцию.${\ Displaystyle X \ в X / S}$${\ displaystyle S \ to X}$${\ displaystyle L: X \ to Y}$${\displaystyle X\to X/\ker L{\overset {L_{0}}{\longrightarrow }}\operatorname {Im} L\to Y}$${\displaystyle L_{0}(x+\ker L):=L(x)}$
• Множество непрерывных линейных отображений (соответственно непрерывных билинейных отображений ) будем обозначать L ( X , Z ) (соответственно B ( X , Y ; Z )), где, если Z - скалярное поле, мы можем вместо этого писать L ( X ) (соответственно B ( X , Y )).${\displaystyle X\to Z}$${\displaystyle X\times Y\to Z}$
• Набор отдельно непрерывных билинейных отображений (т.е. непрерывных по каждой переменной, когда другая переменная фиксирована) будет обозначаться где, если - скалярное поле, то вместо этого мы можем написать .${\displaystyle X\times Y\to Z}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y;Z)}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y)}$
• Мы будем обозначать непрерывное двойственное пространство X через X * или и алгебраическое двойственное пространство (которое является векторным пространством всех линейных функционалов на X , непрерывных или нет) через .${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle X^{\#}}$
  • Чтобы повысить ясность изложения, мы используем обычное соглашение о написании элементов со штрихом, следующим за символом (например, обозначает элемент, а не, скажем, производную и переменные x, и не обязательно должны быть связаны каким-либо образом).${\displaystyle X'}$${\displaystyle x'}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle x'}$

Обозначения для топологий [ править ]

• σ (X, X ′) обозначает грубейшую топологию на X, делающую каждое отображение в X ′ непрерывным, и / обозначает X, наделенное этой топологией .${\displaystyle X_{\sigma \left(X,X'\right)}}$${\displaystyle X_{\sigma }}$
• σ (X ′, X) обозначает слабую * топологию на X * и или обозначает X ′, наделенный этой топологией .${\displaystyle X_{\sigma \left(X',X\right)}}$${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$
  • Обратите внимание, что каждый индуцирует отображение, определяемое . σ (X ′, X) - грубейшая топология на X ′, делающая все такие отображения непрерывными.${\displaystyle x_{0}\in X}$${\displaystyle X'\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \lambda \mapsto \lambda \left(x_{0}\right)}$
• b (X, X ′) обозначает топологию ограниченной сходимости на X и или обозначает X, наделенное этой топологией .${\displaystyle X_{b\left(X,X^{\prime }\right)}}$${\displaystyle X_{b}}$
• b (X ′, X) обозначает топологию ограниченной сходимости на X ′ или сильную двойственную топологию на X ′, и / обозначает X ′, наделенное этой топологией .${\displaystyle X_{b\left(X^{\prime },X\right)}}$${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$
  • Как обычно, если X * рассматривается как топологическое векторное пространство, но не ясно, какой топологией оно наделено, то предполагается, что топология - это b (X ', X).
• 𝜏 (X, X ′) обозначает топологию Макки на X или топологию равномерной сходимости на выпуклых сбалансированных слабо компактных подмножествах X ′ и или обозначает X, наделенное этой топологией. является тончайшей локально выпуклой топологией TVS на X , непрерывное сопряженное пространство которой равно .${\displaystyle X_{\tau \left(X,X'\right)}}$${\displaystyle X_{\tau }}$${\displaystyle \tau (X,X^{\prime })}$${\displaystyle X^{\prime }}$
• 𝜏 (X ′, X) обозначает топологию Макки на X ′ или топологию равномерной сходимости на выпуклых сбалансированных слабо компактных подмножествах X и или обозначает X, наделенное этой топологией.${\displaystyle X_{\tau \left(X',X\right)}}$${\displaystyle X_{\tau }^{\prime }}$
  • Обратите внимание на это . ^[1]${\displaystyle \tau \left(X^{\prime },X\right)\subseteq b\left(X^{\prime },X\right)\subseteq \tau \left(X^{\prime },X^{\prime \prime }\right)}$
• ε (X, X ′) обозначает топологию равномерной сходимости на равностепенно непрерывных подмножествах X ′ и или обозначает X, наделенное этой топологией .${\displaystyle X_{\varepsilon \left(X,X^{\prime }\right)}}$${\displaystyle X_{\varepsilon }}$
  • Если Н представляет собой набор линейных отображений , то Н является эквинепрерывно тогда и только тогда , когда это эквинепрерывно в начале координат; то есть тогда и только тогда, когда для каждой окрестности V точки 0 в Y существует такая окрестность U точки 0 в X , что для каждого .${\displaystyle X\to Y}$${\displaystyle \lambda (U)\subseteq V}$${\displaystyle \lambda \in H}$
• Множество H линейных отображений из X в Y называется равностепенно непрерывным, если для любой окрестности V точки 0 в Y существует такая окрестность U точки 0 в X , что для всех . ^[2]${\displaystyle h(U)\subseteq V}$${\displaystyle h\in H}$

Определение [ править ]

Всюду пусть X и Y - топологические векторные пространства с непрерывными сопряженными пространствами и . Обратите внимание, что почти все описанные результаты не зависят от того, находятся ли эти векторные пространства над полем или, но для упрощения изложения мы будем предполагать, что они находятся над полем .${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle Y^{*}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

Непрерывные билинейные карты как тензорное произведение [ править ]

Хотя вопрос о том, является ли одно векторное пространство тензорным произведением двух других векторных пространств, является чисто алгебраическим (то есть ответ не зависит от топологии X или Y ). Тем не менее, векторное пространство непрерывных билинейных функционалов всегда является тензорным произведением X и Y , как мы сейчас опишем.${\displaystyle B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$

Для каждого мы теперь определяем билинейную форму, обозначенную символом x ⊗ y , из в нижележащее поле (т.е. ) как ${\displaystyle (x,y)\in X\times Y}$${\displaystyle X'\times Y'}$${\displaystyle x\otimes y:X'\times Y'\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle \left(x\otimes y\right)\left(x',y'\right):=x'(x)y'(y).}$

Это индуцирует каноническое отображение

${\displaystyle \cdot \otimes \cdot :X\times Y\to {\mathcal {B}}\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$

определяется отправкой в билинейную форму . Размах диапазона этой карты составляет . Следующая теорема может быть использована для проверки , что вместе с вышеописанной карте ⊗ является тензорное произведение X и Y .${\displaystyle (x,y)\in X\times Y}$${\displaystyle x\otimes y}$${\displaystyle B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$${\displaystyle B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$

Топология [ править ]

В дальнейшем все рассматриваемые топологические векторные пространства будут считаться локально выпуклыми. Если Z - любое локально выпуклое топологическое векторное пространство, то для любых равностепенно непрерывных подмножеств и и любой окрестности в Z определим ${\displaystyle G\subseteq X^{\prime }}$${\displaystyle H\subseteq Y^{\prime }}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,H,N)=\left\{b\in {\mathcal {B}}\left(X_{b}^{\prime },Y_{b}^{\prime };Z\right)~:~b(G,H)\subseteq N\right\}}$

Каждое множество ограничено, что необходимо и достаточно для того, чтобы совокупность всех таких образов образовывала локально выпуклую топологию TVS на, называемой ε-топологией . Включения${\displaystyle b(G,H)}$${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,H,N)}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\left(X_{b}^{\prime },Y_{b}^{\prime };Z\right)}$

${\displaystyle B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime };Z\right)~\subseteq ~B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime };Z\right)~\subseteq ~{\mathcal {B}}\left(X_{b}^{\prime },Y_{b}^{\prime };Z\right).}$

всегда выполняются, и всякий раз, когда любое из этих векторных пространств наделено ε-топологией, это будет указано путем размещения ε в качестве нижнего индекса перед открывающей скобкой. Например, наделенный ε-топологией обозначим через${\displaystyle {\mathcal {B}}\left(X_{b}^{\prime },Y_{b}^{\prime };Z\right)}$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\varepsilon }\left(X_{b}^{\prime },Y_{b}^{\prime };Z\right).}$

В частности, когда Z является основным скалярным поле , то , так как топологическое векторное пространство будет обозначать через которое называется инъективно тензорное произведением из X и Y . Это TVS не обязательно является полным, поэтому его завершение будет обозначаться как The space is complete тогда и только тогда, когда оба X и Y полны, и в этом случае завершение является подвекторным пространством, обозначаемым из Если X и Y нормированы, то поэтому is And является банаховым пространством тогда и только тогда, когда оба X${\displaystyle B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)=X\otimes Y,}$${\displaystyle B_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$${\displaystyle X\otimes _{\varepsilon }Y,}$${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y.}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$${\displaystyle B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y,}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right).}$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right).}$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$и Y - банаховы пространства. ^[4]

Равнепрерывные множества [ править ]

Одной из причин схождения к равностепенно непрерывным подмножествам (всех возможностей) является следующий важный факт:

Множество линейных непрерывных функционалов Н на TVS (не обязательно Хаусдорф или локально выпуклый) эквинепрерывно тогда и только тогда , когда оно содержится в полярном некоторых окрестностях U из в (то есть ).${\displaystyle X}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle X}$${\displaystyle H\subseteq U^{\circ }}$

Топология TVS полностью определяется открытыми окрестностями начала координат. Этот факт вместе с теоремой о биполярности означает, что посредством операции взятия поляры подмножества набор всех равностепенно непрерывных подмножеств «кодирует» всю информацию о данной топологии. В частности, отдельные топологии TVS на${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$производят различные наборы равностепенно непрерывных подмножеств и, наоборот, для любого такого набора равностепенно непрерывных множеств исходная топология TVS может быть восстановлена ​​путем взятия полярности каждого (равностепенно непрерывного) множества в наборе. Таким образом, благодаря этой идентификации равномерная сходимость на наборе равностепенно непрерывных подмножеств по существу является равномерной сходимостью на самой топологии TVS; это позволяет напрямую связать инъективную топологию с заданными топологиями пространства и Кроме того, топология локально выпуклого хаусдорфова пространства идентична топологии равномерной сходимости на равностепенно непрерывных подмножествах из ^[5].${\displaystyle X}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\prime }.}$

По этой причине в статье перечислены некоторые свойства равностепенно непрерывных множеств, которые имеют отношение к инъективному тензорному произведению. На всем протяжении и являются произвольными TVS и представляют собой набор линейных отображений из в${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle H}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y.}$

• Если равностепенно непрерывно, то топологии подпространств, которые наследуются от следующих топологий , идентичны: ^[6]${\displaystyle H\subseteq L(X;Y)}$${\displaystyle H}$${\displaystyle L(X;Y)}$
  1. топология предкомпактной сходимости;
  2. топология компактной сходимости;
  3. топология поточечной сходимости;
  4. топология поточечной сходимости на заданном плотном подмножестве .${\displaystyle X}$
• Равностепенно непрерывное множество ограничено в топологии ограниченной сходимости (т. Е. Ограничено в ). ^[6] Так, в частности, будет также ограничено в любой топологии TVS, которая грубее, чем топология ограниченной сходимости.${\displaystyle H\subseteq L(X;Y)}$${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$${\displaystyle H}$
• Если это бочкообразное пространство и является локально выпуклым, то для любого подмножества следующие условия эквивалентны:${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle H\subseteq L(X;Y),}$
  1. ${\displaystyle H}$ равностепенно непрерывно;
  2. ${\displaystyle H}$ограничен в топологии поточечной сходимости (т. е. ограничен в );${\displaystyle L_{\sigma }(X;Y)}$
  3. ${\displaystyle H}$ограничен в топологии ограниченной сходимости (т. е. ограничен в ).${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$

В частности, чтобы показать, что множество равностепенно непрерывно, достаточно показать, что оно ограничено в топологии поточечной сходимости. ^[7]${\displaystyle H}$

• Если является пространством Бэра, то любое ограниченное в нем подмножество обязательно равностепенно непрерывно. ^[7]${\displaystyle X}$${\displaystyle H\subseteq L(X;Y)}$${\displaystyle L_{\sigma }(X;Y)}$
• Если это разъемное , метризуем и плотное подмножество X , то топология поточечной сходимости на марках метризуемой так что , в частности, топология подпространства , что любое эквинепрерывное подмножество унаследовано от метризуемо. ^[6]${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D}$${\displaystyle L(X;Y)}$${\displaystyle H\subseteq L(X;Y)}$${\displaystyle L_{\sigma }(X;Y)}$

Теперь мы ограничим наше внимание свойствами равностепенно непрерывных подмножеств непрерывного сопряженного пространства (где Y теперь является скалярным полем, лежащим в основе ). ${\displaystyle X'}$${\displaystyle X}$

• Слабое замыкание равностепенно непрерывного множества линейных функционалов на является компактным подпространством в . ^[6]${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$
• Если это разъемные то каждое слабо замкнутое подмножество эквинепрерывны метризуемое компактное пространство , когда оно дается слабая топология (т.е. топологии подпространства , унаследованная от ). ^[6]${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$
• Если - нормируемое пространство, то подмножество равностепенно непрерывно тогда и только тогда, когда оно сильно ограничено (т. Е. Ограничено внутри ). ^[6]${\displaystyle X}$${\displaystyle H\subseteq X^{\prime }}$${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$
• Если это пробел с бочкой, то для любого подмножества следующее эквивалентно: ^[7]${\displaystyle X}$${\displaystyle H\subseteq X^{\prime },}$
  1. ${\displaystyle H}$ равностепенно непрерывно;
  2. ${\displaystyle H}$ относительно компактен в слабой дуальной топологии;
  3. ${\displaystyle H}$ слабо ограничен;
  4. ${\displaystyle H}$ сильно ограничено.

Отметим некоторые дополнительные важные базовые свойства, относящиеся к инъективному тензорному произведению:

• Предположим, что это билинейное отображение, где - пространство Фреше , метризуемо и локально выпукло. Если отдельно непрерывен, то он непрерывен. ^[8]${\displaystyle B:X_{1}\times X_{2}\to Y}$${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{2}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle B}$

Каноническая идентификация отдельно непрерывных билинейных отображений с линейными картами [ править ]

Установленное равенство всегда выполняется; то есть, если является линейным отображением, то непрерывно тогда и только тогда, когда оно непрерывно, причем здесь Y имеет свою исходную топологию. ^[9]${\displaystyle L\left(X_{\sigma }^{\prime };Y_{\sigma }\right)=L\left(X_{\tau }^{\prime };Y\right)}$${\displaystyle u:X^{\prime }\to Y}$${\displaystyle u:X_{\sigma \left(X',X\right)}^{\prime }\to Y_{\sigma \left(Y,Y'\right)}}$${\displaystyle u:X_{\tau \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime }\to Y}$

Также существует канонический изоморфизм векторных пространств

${\displaystyle J:{\mathcal {B}}\left(X_{\sigma \left(X',X\right)}^{\prime },Y_{\sigma \left(Y',Y\right)}^{\prime }\right)\to L\left(X_{\sigma \left(X',X\right)}^{\prime };Y_{\sigma \left(Y,Y'\right)}\right).}$^[9]

Чтобы определить его, для каждой отдельно непрерывной билинейной формы, определенной на и каждом , пусть будет определена формулой ${\displaystyle B}$${\displaystyle X'_{\sigma \left(X',X\right)}\times Y'_{\sigma \left(Y',Y\right)}}$${\displaystyle x'\in X'}$${\displaystyle B_{x'}\in \left(Y_{\sigma }'\right)'}$

${\displaystyle B_{x'}\left(y'\right):=B\left(x',y'\right).}$

Поскольку это канонически векторное пространство изоморфно Y (через значение канонической карты в y ), будет идентифицировано как элемент Y , который будет обозначаться как Это определяет карту, заданную, и поэтому канонический изоморфизм, конечно, определяется как${\displaystyle \left(Y_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }}$${\displaystyle y\mapsto }$${\displaystyle B_{x^{\prime }}}$${\displaystyle {\tilde {B}}_{x^{\prime }}\in Y.}$${\displaystyle {\tilde {B}}:X^{\prime }\to Y}$${\displaystyle x^{\prime }\mapsto {\tilde {B}}_{x^{\prime }}}$${\displaystyle J(B):={\tilde {B}}.}$

Когда задана топология равномерной сходимости на равностепенно непрерывных подмножествах X ′ , каноническое отображение становится TVS-изоморфизмом ${\displaystyle L\left(X_{\sigma }^{\sigma };Y_{\sigma }\right)}$

${\displaystyle J:{\mathcal {B}}_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)\to L_{\varepsilon }\left(X_{\tau }^{\prime };Y\right).}$^[9]

В частности, могут быть канонически встроены в TVS ; Кроме того , изображение в из под канонической карте J состоит в точности пространства линейных непрерывных отображений , образ которого имеет конечную размерность. ^[4]${\displaystyle X\otimes _{\varepsilon }Y=B_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$${\displaystyle L_{\varepsilon }\left(X_{\tau }^{\prime };Y\right)}$${\displaystyle L\left(X_{\sigma }^{\prime };Y_{\sigma }\right)}$${\displaystyle X\otimes _{\varepsilon }Y=B_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$${\displaystyle X_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime }\to Y}$

Включение всегда выполняется. Если X нормировано, то фактически является топологическим векторным подпространством в . И если вдобавок Y банаховый, то так и будет (даже если X не является полным). ^[4]${\displaystyle L\left(X_{\tau }^{\prime };Y\right)\subseteq L\left(X_{b}^{\prime };Y\right)}$${\displaystyle L_{\varepsilon }\left(X_{\tau }^{\prime };Y\right)}$${\displaystyle L_{b}\left(X_{b}^{\prime };Y\right)}$${\displaystyle L_{b}\left(X_{b}^{\prime };Y\right)}$

Свойства [ править ]

Каноническое отображение всегда непрерывно ^[10], а ε-топология всегда тоньше, чем π-топология, и грубее, чем индуктивная топология (которая является тончайшей локально выпуклой топологией TVS, делающей отдельно непрерывную). Пространство хаусдорфово тогда и только тогда, когда и X, и Y хаусдорфовы. ^[10]${\displaystyle \cdot \otimes \cdot :X\times Y\to {\mathcal {B}}\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$${\displaystyle X\times Y\to X\otimes Y}$${\displaystyle X\otimes _{\varepsilon }Y}$

Если X и Y нормированные то нормируемо в этом случае для всех , . ^[11]${\displaystyle X\otimes _{\varepsilon }Y}$${\displaystyle \theta \in X\otimes Y}$${\displaystyle \|\theta \|_{\varepsilon }\leq \|\theta \|_{\pi }}$

Предположим, что и - два линейных отображения между локально выпуклыми пространствами. Если и u, и v непрерывны, то их тензорное произведение непрерывно . ^[12] Кроме того:${\displaystyle u:X_{1}\to Y_{1}}$${\displaystyle v:X_{2}\to Y_{2}}$${\displaystyle u\otimes v:X_{1}\otimes _{\varepsilon }X_{2}\to Y_{1}\otimes _{\varepsilon }Y_{2}}$

• Если u и v оба являются TVS-вложениями, то так оно и есть . ^[13]${\displaystyle u{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }v:X_{1}{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X_{2}\to Y_{1}{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y_{2}}$
• Если (соответственно ) является линейным подпространством (соответственно ), то канонически изоморфно линейному подпространству в и канонически изоморфно линейному подпространству в . ^[14]${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle Y_{1}}$${\displaystyle X_{2}}$${\displaystyle Y_{2}}$${\displaystyle X_{1}\otimes _{\varepsilon }Y_{1}}$${\displaystyle X_{2}\otimes _{\varepsilon }Y_{2}}$${\displaystyle X_{1}{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y_{1}}$${\displaystyle X_{2}{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y_{2}}$
• Есть примеры U и V такие , что и у и v сюръективные гомоморфизмы , но это не является гомоморфизмом. ^[15]${\displaystyle u{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }v:X_{1}{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X_{2}\to Y_{1}{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y_{2}}$
• Если все четыре пробела нормированы, то . ^[11]${\displaystyle \|u\otimes v\|_{\varepsilon }=\|u\|\|v\|}$

Связь с проективным тензорным произведением и ядерными пространствами [ править ]

Самая сильная локально выпуклая топология, делающая каноническое отображение (определяемое переводом в билинейную форму ) непрерывным, называется проективной топологией или π-топологией . Когда наделено этой топологией , то он будет обозначаться и называется проективное тензорное произведение в X и Y .${\displaystyle B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)=X\otimes Y}$${\displaystyle \cdot \otimes \cdot :X\times Y\to B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$${\displaystyle (x,y)\in X\times Y}$${\displaystyle x\otimes y}$${\displaystyle B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)=X\otimes Y}$${\displaystyle X\otimes _{\pi }Y}$

Следующее определение было использовано Гротендиком для определения ядерных пространств. ^[16]

Определение 0 : Пусть X - локально выпуклое топологическое векторное пространство. Тогда X ядерно, если для любого локально выпуклого пространства Y каноническое вложение векторных пространств является вложением TVS, образ которых плотен в области.${\displaystyle X\otimes _{\pi }Y\to {\mathcal {B}}_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$

Канонические отождествления билинейных и линейных отображений [ править ]

В этом разделе мы описываем канонические отождествления между пространствами билинейных и линейных отображений. Эти отождествления будут использоваться для определения важных подпространств и топологий (особенно тех, которые относятся к ядерным операторам и ядерным пространствам ).

Двойственные пространства инъективного тензорного произведения и его пополнение [ править ]

Предположим, что

${\displaystyle \operatorname {In} :X\otimes _{\varepsilon }Y\to X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y}$

обозначает TVS-вложение в его пополнение, и пусть ${\displaystyle X\otimes _{\varepsilon }Y}$

${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} :\left(X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y\right)_{b}^{\prime }\to \left(X\otimes _{\varepsilon }Y\right)_{b}^{\prime }}$

быть его транспонированием , которое является изоморфизмом векторного пространства. Это идентифицирует непрерывное двойственное пространство как идентичное непрерывному двойственному пространству${\displaystyle X\otimes _{\varepsilon }Y}$${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y.}$

Карта идентичности

${\displaystyle \operatorname {Id} _{X\otimes Y}:X\otimes _{\pi }Y\to X\otimes _{\varepsilon }Y}$

непрерывна (по определению π-топологии ), поэтому существует единственное непрерывное линейное расширение

${\displaystyle {\hat {I}}:X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y\to X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y.}$

Если X и Y является гильбертовое то инъективно и двойственным канонический изометрический изоморфно векторным пространством от ядерных операторов из X в Y (с нормой следа).${\displaystyle {\hat {I}}:X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y\to X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y}$${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y}$${\displaystyle L^{1}\left(X;Y^{\prime }\right)}$

Инъективное тензорное произведение гильбертовых пространств [ править ]

Есть каноническая карта

${\displaystyle K:X\otimes Y\to L\left(X^{\prime };Y\right)}$

который отправляет на линейную карту, определенную ${\textstyle z=\sum _{i=1}^{n}x_{i}\otimes y_{i}}$${\displaystyle K(z):X^{\prime }\to Y}$

${\displaystyle K(z)\left(x^{\prime }\right):=\sum _{i=1}^{n}x^{\prime }(x_{i})y_{i}\in Y,}$

где оно может быть показано , что определение не зависит от конкретного выбора представления о г . Карта ${\displaystyle K(z):X\to Y}$${\textstyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}\otimes y_{i}}$

${\displaystyle K:X\otimes _{\varepsilon }Y\to L_{b}\left(X_{b}^{\prime };Y\right)}$

является непрерывным, а когда он завершен, он имеет непрерывное расширение${\displaystyle L_{b}\left(X_{b}^{\prime };Y\right)}$

${\displaystyle {\hat {K}}:X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y\to L_{b}\left(X_{b}^{\prime };Y\right).}$

Когда X и Y являются гильбертовыми пространствами, то это TVS-вложение и изометрия (когда пространствам заданы их обычные нормы), чей диапазон - это пространство всех компактных линейных операторов из X в Y (которое является замкнутым векторным подпространством в . Следовательно , идентично пространству компактных операторов из в Y (обратите внимание на штрих у X ) .Пространство компактных линейных операторов между любыми двумя банаховыми пространствами (включая гильбертовы пространства ) X и Y является замкнутым подмножеством ^[17]${\displaystyle {\hat {K}}:X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y\to L_{b}\left(X_{b}^{\prime };Y\right)}$${\displaystyle L_{b}\left(X';Y\right)}$${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle L_{b}(X;Y).}$

Кроме того, каноническое отображение инъективно, когда X и Y являются гильбертовыми пространствами. ^[17]${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y\to X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y}$

Интегральные формы и операторы [ править ]

Интегральные билинейные формы [ править ]

Обозначим карту идентичности через

${\displaystyle \operatorname {Id} :X\otimes _{\pi }Y\to X\otimes _{\varepsilon }Y}$

и разреши

${\displaystyle {}^{t}\operatorname {Id} :\left(X\otimes _{\varepsilon }Y\right)_{b}^{\prime }\to \left(X\otimes _{\pi }Y\right)_{b}^{\prime }}$

обозначают его транспонирование , которое представляет собой непрерывную инъекцию. Напомним, что канонически отождествляется с пространством непрерывных билинейных отображений на . Таким образом, непрерывное двойственное пространство к может быть канонически идентифицировано как подвекторное пространство к , обозначаемое . Элементы называются целочисленными ( билинейными ) формами на . Следующая теорема оправдывает слово интеграл .${\displaystyle \left(X\otimes _{\pi }Y\right)^{\prime }}$${\displaystyle B(X,Y)}$${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle X\otimes _{\varepsilon }Y}$${\displaystyle B(X,Y)}$${\displaystyle J(X,Y)}$${\displaystyle J(X,Y)}$${\displaystyle X\times Y}$

Теорема ^{[18] [19]} Двойственная J ( X , Y ) к состоит в точности из тех непрерывных билинейных форм v на, которые могут быть представлены в виде отображения ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y}$${\displaystyle X\times Y}$

${\displaystyle b\in B(X,Y)\mapsto v(b)=\int _{S\times T}b{\big \vert }_{S\times T}\left(x^{\prime },y^{\prime }\right)\operatorname {d} \mu \left(x^{\prime },y^{\prime }\right)}$

где S и T - некоторые замкнутые равностепенные подмножества в и , соответственно, и - положительная мера Радона на компакте с полной массой . Кроме того, если A является равностепенно непрерывным подмножеством J ( X , Y ), то элементы могут быть представлены с фиксированным и проходящим через ограниченное по норме подмножеством пространства мер Радона на .${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$${\displaystyle Y_{\sigma }^{\prime }}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle S\times T}$${\displaystyle \leq 1}$${\displaystyle v\in A}$${\displaystyle S\times T}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle S\times T}$

Интегральные линейные операторы [ править ]

Учитывая линейную карту , можно определить каноническую билинейную форму , называется связанная билинейная форма на по ${\displaystyle \Lambda :X\to Y}$${\displaystyle B_{\Lambda }\in Bi\left(X,Y^{\prime }\right)}$${\displaystyle X\times Y^{\prime },}$

${\displaystyle B_{\Lambda }\left(x,y^{\prime }\right):=\left(y^{\prime }\circ \Lambda \right)(x).}$

Непрерывное отображение называется интегральным, если связанная с ним билинейная форма является целочисленной билинейной формой. ^[20] Интегральное отображение имеет вид, для каждого и${\displaystyle \Lambda :X\to Y}$${\displaystyle \Lambda :X\to Y}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle y^{\prime }\in Y^{\prime }:}$

${\displaystyle \left\langle y',\Lambda (x)\right\rangle =\int _{A'\times B''}\left\langle x',x\right\rangle \left\langle y'',y'\right\rangle \mathrm {d} \mu \!\left(x',y''\right)}$

для подходящего слабо замкнуты и эквинепрерывной aubsets и из и , соответственно, и некоторой положительная меры Радона от общей массы .${\displaystyle A'}$${\displaystyle B''}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle Y''}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \leq 1}$

Каноническое отображение в L ( X ; Y ) [ править ]

Существует каноническое отображение , которое посылает к линейной карте , определенной , где оно может быть показано , что определение не зависит от выбора представления о  г .${\displaystyle K:X^{\prime }\otimes Y\to L(X;Y)}$${\textstyle z=\sum _{i=1}^{n}x_{i}'\otimes y_{i}}$${\displaystyle K(z):X\to Y}$${\textstyle K(z)(x):=\sum _{i=1}^{n}x_{i}'(x)y_{i}\in Y}$${\displaystyle K(z):X\to Y}$${\textstyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}'\otimes y_{i}}$

Примеры [ править ]

Пространство суммируемых семейств [ править ]

В этом разделе мы фиксируем некоторое произвольное (возможно, несчетное ) множество A , TVS X , и пусть это будет направленное множество всех конечных подмножеств A, направленное включением .${\displaystyle {\mathcal {F}}(A)}$${\displaystyle \subseteq }$

Пусть - семейство элементов в TVS X и для любого конечного подмножества H из A , пусть . Мы называем суммируем в X , если предел из чистых сходится в X к некоторому элементу (любой такой элемент называется его сумма ). Множество всех таких суммируемых семейств является векторным подпространством, обозначаемым через .${\displaystyle \left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}$${\textstyle x_{H}:=\sum _{i\in H}x_{i}}$${\displaystyle \left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}$ ${\textstyle \lim _{H\in {\mathcal {F}}(A)}x_{H}}$ ${\displaystyle \left(x_{H}\right)_{H\in {\mathcal {F}}(A)}}$${\displaystyle X^{A}}$${\displaystyle S}$

Теперь мы определим топологию на S очень естественным образом. Эта топология оказывается инъективной топологией, взятой и перенесенной на S через канонический изоморфизм векторных пространств (очевидный). Это обычное явление при изучении инъективных и проективных тензорных произведений пространств функций / последовательностей и TVS: «естественный способ», которым можно было бы определить (с нуля) топологию на таком тензорном произведении, часто эквивалентен инъективному или проективному топология тензорного произведения .${\displaystyle l^{1}(A){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X}$

Пусть обозначать базу выпуклых уравновешенных окрестностей 0 в X и для каждого , пусть обозначим его функционал Минковского . Для любого такого U и любого пусть ${\displaystyle {\mathfrak {U}}}$${\displaystyle U\in {\mathfrak {U}}}$${\displaystyle \mu _{U}:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle x=\left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}\in S}$

${\displaystyle q_{U}(x):=\sup _{x'\in U^{\circ }}\sum _{\alpha \in A}\left|\left\langle x',x_{\alpha }\right\rangle \right|}$

где определяет полунорм на S . Семейство полунорм порождает топологию, превращающую S в локально выпуклое пространство. Векторное пространство S, наделенное этой топологией, обозначим через . ^[21] Частный случай, когда X - скалярное поле, будет обозначаться .${\displaystyle q_{U}}$${\displaystyle \{q_{U}:U\in {\mathfrak {U}}\}}$${\displaystyle l^{1}(A,X)}$${\displaystyle l^{1}(A)}$

Существует каноническое вложение векторных пространств, определяемое линеаризацией билинейного отображения, определяемого формулой . ^[21]${\displaystyle l^{1}(A)\otimes X\to l^{1}(A,E)}$${\displaystyle l^{1}(A)\times X\to l^{1}(A,E)}$${\displaystyle \left(\left(r_{\alpha }\right)_{\alpha \in A},x\right)\mapsto \left(r_{\alpha }x\right)_{\alpha \in A}}$

Теорема : ^[21] Каноническое вложение (векторных пространств) становится вложением топологических векторных пространств, когда задана инъективная топология и, кроме того, его диапазон плотен в своей области. Если является пополнением X, то непрерывное расширение этого вложения является изоморфизмом TVS. Так, в частности, если X полно, то канонически изоморфно .${\displaystyle l^{1}(A)\otimes X\to l^{1}(A,E)}$${\displaystyle l^{1}(A)\otimes _{\varepsilon }X\to l^{1}(A,E)}$${\displaystyle l^{1}(A)\otimes X}$${\displaystyle {\hat {X}}}$${\displaystyle l^{1}(A){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X\to l^{1}\left(A,{\hat {X}}\right)}$${\displaystyle l^{1}(A)\otimes _{\varepsilon }X\to l^{1}\left(A,X\right)\subseteq l^{1}\left(A,{\hat {X}}\right)}$${\displaystyle l^{1}(A){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X}$${\displaystyle l^{1}(A,E)}$

Пространство непрерывно дифференцируемых вектор-функций [ править ]

На всем протяжении, пусть будет открытое подмножество , где - целое число и пусть будет локально выпуклое топологическое векторное пространство (TVS).${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle Y}$

Определение ^[22] Предположим, что и - функция такая, что с предельной точкой . Тогда мы говорим , что F является дифференцируемой в , если существуют п векторов в Y , называются частные производные от F , таким образом, что${\displaystyle p^{0}=\left(p_{1}^{0},\ldots ,p_{n}^{0}\right)\in \Omega }$${\displaystyle f:\operatorname {Dom} f\to Y}$${\displaystyle p^{0}\in \operatorname {Dom} f}$${\displaystyle p^{0}}$${\displaystyle \operatorname {Dom} f}$${\displaystyle p^{0}}$${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$

${\displaystyle \lim _{p\to p^{0},p\in \operatorname {Dom} f}{\frac {f(p)-f\left(p^{0}\right)-\sum _{i=1}^{n}\left(p_{i}-p_{i}^{0}\right)e_{i}}{\left\|p-p^{0}\right\|_{2}}}=0}$в Y

где .${\displaystyle p=\left(p_{1},\ldots ,p_{n}\right)}$

Можно , естественно расширить понятие непрерывно дифференцируемой функции в Y - значных функций , определенных на . Для любого , пусть обозначает векторное пространство всех Y- значных отображений, определенных на, и пусть обозначает векторное подпространство, состоящее из всех отображений в, которые имеют компактный носитель.${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle k=0,1,\ldots ,\infty }$${\displaystyle C^{k}\left(\Omega ;Y\right)}$${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle C_{c}^{k}\left(\Omega ;Y\right)}$${\displaystyle C^{k}\left(\Omega ;Y\right)}$${\displaystyle C^{k}\left(\Omega ;Y\right)}$

Затем можно определить топологию на и в том же порядке, что и топологии на и определены для пространства распределений и тестовых функций (см статьи: Дифференцируемый вектор-функции из евклидова пространства ). Вся эта работа по расширению определения дифференцируемости и различных топологий оказывается в точности эквивалентна простому взятию завершенного инъективного тензорного произведения:${\displaystyle C^{k}\left(\Omega ;Y\right)}$${\displaystyle C_{c}^{k}\left(\Omega ;Y\right)}$${\displaystyle C^{k}\left(\Omega \right)}$${\displaystyle C_{c}^{k}\left(\Omega \right)}$

Теорема ^[23]. Если Y - полное хаусдорфово локально выпуклое пространство, то канонически изоморфно инъективному тензорному произведению .${\displaystyle C^{k}\left(\Omega ;Y\right)}$${\displaystyle C^{k}\left(\Omega \right){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y}$

Пространства непрерывных отображений из компактного пространства [ править ]

Если Y - нормированное пространство и если K - компакт, то -норма на равна . ^[23] Если H и K - два компактных пространства, то , где это каноническое отображение является изоморфизмом банаховых пространств. ^[23]${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle C(K)\otimes Y}$${\textstyle \left\|f\right\|_{\varepsilon }=\sup _{x\in K}\left\|f(x)\right\|}$${\displaystyle C\left(H\times K\right)\cong C\left(H\right){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }C\left(K\right)}$

Пробелы последовательностей, сходящиеся к 0 [ править ]

Если Y - нормированное пространство, то пусть обозначает пространство всех последовательностей в Y, которые сходятся к началу координат и задают этому пространству норму . Пусть обозначают . Тогда для любого банахово пространство Y , канонически изометрично . ^[23]${\displaystyle l_{\infty }(Y)}$${\displaystyle \left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\textstyle \left\|\left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\right\|:=\sup _{i\in \mathbb {N} }\left\|y_{i}\right\|}$${\displaystyle l_{\infty }}$${\displaystyle l_{\infty }\left(\mathbb {C} \right)}$${\displaystyle l_{\infty }{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y}$${\displaystyle l_{\infty }(Y)}$

Пространство функций Шварца [ править ]

Теперь мы обобщим пространство Шварца на функции со значениями в TVS. Пусть пространство все такое , что для всех пар полиномов P и Q в п переменных, является ограниченное подмножество Y . Чтобы обобщить топологию пространства Шварца на , мы даем топологию равномерной сходимости по функциям , поскольку P и Q меняются по всем возможным парам многочленов от n переменных. ^[23]${\displaystyle {\mathcal {L}}\left(\mathbb {R} ^{n};Y\right)}$${\displaystyle f\in C^{\infty }\left(\mathbb {R} ^{n};Y\right)}$${\displaystyle \left\{P(x)Q\left(\partial /\partial x\right)f(x):x\in \mathbb {R} ^{n}\right\}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}\left(\mathbb {R} ^{n};Y\right)}$${\displaystyle {\mathcal {L}}\left(\mathbb {R} ^{n};Y\right)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle P(x)Q\left(\partial /\partial x\right)f(x)}$

Теорема : ^[23] Если Y - полное локально выпуклое пространство, то канонически изоморфно .${\displaystyle {\mathcal {L}}\left(\mathbb {R} ^{n};Y\right)}$${\displaystyle {\mathcal {L}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y}$

См. Также [ править ]

• Вспомогательные нормированные пространства
• Окончательная топология
• Индуктивное тензорное произведение
• Интегральные карты
• Атомные операторы
• Ядерные пространства
• Проективное тензорное произведение
• Топологическое тензорное произведение

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

• Дистель, Джо (2008). Метрическая теория тензорных произведений: пересмотренное резюме Гротендика . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-4440-3. OCLC  185095773 .
• Дубинский, Эд (1979). Строение ядерных пространств Фреше . Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09504-7. OCLC  5126156 .
• Гротендик, Гротендик (1966). Производит tensoriels topologiques et espaces nucléaires (на французском языке). Провиденс: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-1216-5. OCLC  1315788 .
• Хусейн, Такдир (1978). Бочность в топологических и упорядоченных векторных пространствах . Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09096-7. OCLC  4493665 .
• Халилулла, С.М. (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . 936 . Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370 .
• Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Нленд, Х (1977). Борнологии и функциональный анализ: вводный курс по теории двойственности топологии-борнологии и ее использованию в функциональном анализе . Амстердам Нью-Йорк Нью-Йорк: Паб Северной Голландии. Co. Единственные дистрибьюторы в США и Канаде, Elsevier-North Holland. ISBN 0-7204-0712-5. OCLC  2798822 .
• Нленд, Х (1981). Ядерные и конъядерные пространства: вводные курсы по ядерным и конъядерным пространствам в свете дуальности . Амстердам Нью-Йорк Нью-Йорк, Нью-Йорк: паб Северной Голландии. Co. Единственный дистрибьютор в США и Канаде, Elsevier North-Holland. ISBN 0-444-86207-2. OCLC  7553061 .
• Пич, Альбрехт (1972). Ядерные локально выпуклые пространства . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-05644-0. OCLC  539541 .
• Робертсон, AP (1973). Топологические векторные пространства . Кембридж, Англия: Издательство университета. ISBN 0-521-29882-2. OCLC  589250 .
• Райан, Раймонд (2002). Введение в тензорные произведения банаховых пространств . Лондон Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 1-85233-437-1. OCLC  48092184 .
• Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .
• Вонг (1979). Пространства Шварца, ядерные пространства и тензорные произведения . Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09513-6. OCLC  5126158 .

Внешние ссылки [ править ]

• Ядерное пространство в ncatlab