Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . ( ноябрь 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) |
В математике , то поддержка из вещественной функции F является подмножеством из области , содержащей элементы , которые не отображенная к нулю. Если область определения f является топологическим пространством , поддержка f вместо этого определяется как наименьшее замкнутое множество, содержащее все точки, не отображенные в ноль. Это понятие очень широко используется в математическом анализе .
Формулировка [ править ]
Пусть F : X → R является вещественной функцией, домен произвольным множества X . Теоретико-множественная поддержка из F , написанный Supp ( ф ) , есть множество точек в X , где F отличен от нуля
Носитель f - это наименьшее подмножество X со свойством, что f равно нулю на дополнении подмножества. Если f ( x ) = 0 для всех, кроме конечного числа точек x в X , то говорят , что f имеет конечный носитель .
Если множество X имеет дополнительную структуру (например, топологию), то носитель f определяется аналогичным образом как наименьшее подмножество X подходящего типа, такое что f обращается в нуль в соответствующем смысле на его дополнении. Понятие поддержки также естественным образом распространяется на функции, принимающие значения в более общих наборах, чем R, и на другие объекты, такие как меры или распределения .
Закрытая поддержка [ править ]
Чаще всего возникает ситуация, когда X - топологическое пространство (например, вещественная прямая или n- мерное евклидово пространство ), а f : X → R - непрерывная вещественная (или комплексная ) -значная функция. В этом случае носитель f определяется топологически как замыкание подмножества X, где f не равно нулю [1] [2] [3], т. Е.
Поскольку пересечение замкнутых множеств замкнуто, supp ( f ) является пересечением всех замкнутых множеств, содержащих теоретико-множественный носитель f .
Например, если f : R → R - функция, определенная формулой
тогда опорой f является отрезок [−1,1], поскольку f отличен от нуля на открытом интервале (−1,1) и замыкание этого множества равно [−1,1].
Понятие замкнутого носителя обычно применяется к непрерывным функциям, но определение имеет смысл для произвольных действительных или комплекснозначных функций на топологическом пространстве, и некоторые авторы не требуют, чтобы f : X → R (или C ) была непрерывной. [4]
Компактная поддержка [ править ]
Функции с компактным носителем в топологическом пространстве - это функции, замкнутый носитель которых является компактным подмножеством . Если - вещественная прямая или -мерное евклидово пространство, то функция имеет компактный носитель тогда и только тогда, когда она имеет ограниченный носитель , поскольку подмножество компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено.
Например, функция, определенная выше, является непрерывной функцией с компактным носителем [−1, 1].
Условие компактного носителя сильнее условия обращения в нуль на бесконечности . Например, функция, определяемая
обращается в нуль на бесконечности, так как as , но его носитель не компактен.
Вещественнозначные гладкие функции с компактным носителем в евклидовом пространстве называются бамп-функциями . Моллификаторы - важный частный случай выпуклых функций, поскольку они могут использоваться в теории распределений для создания последовательностей гладких функций, приближающих негладкие (обобщенные) функции посредством свертки .
В хороших случаях функции с компактным носителем плотны в пространстве функций, обращающихся в нуль на бесконечности, но это свойство требует некоторой технической работы для обоснования в данном примере. В качестве интуиции для более сложных примеров, и на языке ограничений , для любого , любой функции на вещественной оси , которая обращается в нуль на бесконечности можно аппроксимировать, выбрав соответствующую компактное подмножество из таких , что
для всех , где есть индикаторная функция из . Каждая непрерывная функция на компактном топологическом пространстве имеет компактный носитель, поскольку каждое замкнутое подмножество компактного пространства действительно компактно.
Основная поддержка [ править ]
Если X - топологическое пространство меры с мерой Бореля μ (например, R n или измеримое по Лебегу подмножество в R n , снабженное мерой Лебега), то обычно идентифицируются функции, которые равны μ-почти всюду. В этом случае существенный носитель измеримой функции f : X → R , записываемый как ess supp ( f ) , определяется как наименьшее замкнутое подмножество F в X такое, что f = 0 μ-почти всюду вне F. Эквивалентно, ess supp (f) является дополнением к наибольшему открытому множеству, на котором f = 0 μ -почти всюду [5]
Существенный носитель функции f зависит как от меры μ, так и от f , и он может быть строго меньше, чем замкнутый носитель. Например, если f : [0,1] → R - функция Дирихле, равная 0 для иррациональных чисел и 1 для рациональных чисел, а [0,1] снабжена мерой Лебега, то носитель f - это весь интервал [0,1], но существенный носитель f пуст, так как f почти всюду совпадает с нулевой функцией.
В анализе почти всегда требуется использовать существенную поддержку функции, а не ее закрытую поддержку, когда два набора различны, поэтому ess supp ( f ) часто записывается просто как supp ( f ) и называется поддержкой. [5] [6]
Обобщение [ править ]
Если М произвольное множество , содержащее нуль, понятие поддержки немедленно обобщенные функции F : X → M . Поддержка также может быть определена для любой алгебраической структуры с идентичностью (такой как группа , моноид или композиционная алгебра ), в которой элемент идентичности принимает на себя роль нуля. Например, семейство Z N функций от натуральных чисел до целых является несчетным набором целочисленных последовательностей. Подсемейство { f в ZN : f имеет конечный носитель} - это счетное множество всех целочисленных последовательностей, которые имеют только конечное число ненулевых элементов.
Функции конечного носителя используются при определении алгебраических структур, таких как групповые кольца и свободные абелевы группы . [7]
В теории вероятностей и меры [ править ]
В теории вероятностей поддержку распределения вероятностей можно в общих чертах представить как замыкание набора возможных значений случайной величины, имеющей это распределение. Однако есть некоторые тонкости, которые следует учитывать при работе с общими распределениями, определенными на сигма-алгебре , а не на топологическом пространстве.
Более формально, если является случайной величиной, то опорой является наименьшее замкнутое множество, такое что .
На практике , однако, носитель из дискретной случайной величины часто определяются как набор и поддержка непрерывной случайной величины определяются как набор , где является функцией плотности вероятности из (в теоретико-множественной поддержки ). [8]
Обратите внимание , что слово поддержки может обратиться к логарифму от вероятности функции плотности вероятности. [9]
Поддержка раздачи[ редактировать ]
Можно также говорить о поддержке такого распределения , как дельта-функция Дирака δ ( x ) на действительной прямой. В этом примере мы можем рассматривать пробные функции F , которые являются гладкими функциями с опорой, не включающей точку 0. Поскольку δ ( F ) (распределение δ, примененное как линейный функционал к F ) равно 0 для таких функций, мы можем сказать, что поддержка δ есть только {0}. Поскольку меры (включая вероятностные ) на вещественной прямой являются частными случаями распределений, мы можем точно так же говорить о поддержке меры.
Предположим , что F является распределение, и что U открытое множество в евклидовом пространстве такое , что для всех тестовых функций , таких , что поддержка содержится в U , . Тогда F сказано в нуль на U . Теперь, если е обращается в нуле на любом семействе открытых множеств, то для любой тестовой функции поддерживаемой в , простой аргумент на основе компактности поддержки и разбиение единицы показывает , что , как хорошо. Таким образом , мы можем определить поддержку из F в качестве дополнения к величине открытого множества , на котором еисчезает. Например, поддержка дельты Дирака составляет .
Единственная поддержка [ править ]
В частности, в анализе Фурье интересно изучить сингулярный носитель распределения. Это имеет интуитивно понятную интерпретацию как набор точек, в которых распределение не может быть гладкой функцией .
Например, преобразование Фурье от Хевисайда ступенчатой функции может, с точностью до постоянных факторов, можно считать 1 / х (функция) , за исключением при х = 0. В то время как х = 0, очевидно , особая точка, это более точно говорят, что преобразование распределения имеет сингулярную поддержку {0}: его нельзя точно выразить как функцию по отношению к тестовым функциям с поддержкой, включающей 0. Это можно выразить как применение несобственного интеграла Коши с главным значением .
Для распределений с несколькими переменными особые опоры позволяют определять множества волновых фронтов и понимать принцип Гюйгенса с точки зрения математического анализа . Сингулярные опоры также могут использоваться для понимания явлений, специфичных для теории распределений, таких как попытки «умножить» распределения (возведение в квадрат дельта-функции Дирака не удается - в основном потому, что особые носители перемножаемых распределений не должны пересекаться).
Семейство опор [ править ]
Абстрактное понятие семейства носителей на топологическом пространстве X , пригодное для теории пучков , было определено Анри Картаном . При распространении двойственности Пуанкаре на многообразия , которые не являются компактными, идея «компактного носителя» естественным образом входит по одну сторону двойственности; см., например, когомологии Александера – Спаниера .
Бредон, Теория Шифа (2-е издание, 1997 г.) дает эти определения. Семейство Φ замкнутых подмножеств X называется семейством носителей , если оно замкнуто вниз и замкнуто относительно конечного объединения . Его степень есть объединение над Φ. Паракомпактифицирующее семейство носителей , который удовлетворяет , что любые дальнейший У в Ф, с топологией подпространства , в паракомпакте ; и имеет некоторую Z в Φ, которая является окрестностью . Если X - локально компактное пространство , предполагается, что Хаусдорф - это семейство всехкомпактные подмножества удовлетворяют дальнейшим условиям, что делает их паракомпактифицирующими.
См. Также [ править ]
- Теорема Титчмарша о свертке
- Поддержка модуля
- Ограниченная функция
Ссылки [ править ]
- ^ Фолланд, Джеральд Б. (1999). Реальный анализ, 2-е изд . Нью-Йорк: Джон Вили. п. 132.
- ^ Хермандер Lars (1990). Линейные дифференциальные уравнения с частными производными I, 2-е изд . Берлин: Springer-Verlag. п. 14.
- ^ Паскуччи, Андреа (2011). PDE и методы мартингейла в ценообразовании опционов . Серия Bocconi & Springer. Берлин: Springer-Verlag. п. 678. DOI : 10.1007 / 978-88-470-1781-8 . ISBN 978-88-470-1780-1.
- ^ Рудин, Вальтер (1987). Реальный и комплексный анализ, 3-е изд . Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 38.
- ^ а б Либ, Эллиотт ; Потеря, Майкл (2001). Анализ . Аспирантура по математике. 14 (2-е изд.). Американское математическое общество . п. 13. ISBN 978-0821827833.
- ^ Аналогичным образом используется существенная верхняя грань измеримой функции вместо ее супремума.
- Перейти ↑ Tomasz, Kaczynski (2004). Вычислительная гомология . Мишайков, Константин Михаил, Мрозек, Мариан. Нью-Йорк: Спрингер. п. 445. ISBN 9780387215976. OCLC 55897585 .
- ^ Табога, Марко. «Поддержка случайной величины» . statlect.com . Проверено 29 ноября 2017 года .
- ^ Эдвардс, AWF (1992). Вероятность (Расширенная ред.). Балтимор: Издательство Университета Джона Хопкинса. С. 31–34. ISBN 0-8018-4443-6.