В математической физике в уравнения Книжник-Замолодчикова или уравнения KZ , линейные дифференциальные уравнения , которым удовлетворяют функции корреляции (на сфере Римана) в двумерных теориях поля конформных связанных с аффинной алгебры Ли на фиксированном уровне. Они образуют систему сложных дифференциальных уравнений в частных производных с регулярными особыми точками, которым удовлетворяют N -точечные функции аффинных примарных полей, и могут быть получены с использованием формализма алгебр Ли или вершинных алгебр .
Структура нулевого рода конформной теории поля закодирована в свойствах монодромии этих уравнений. В частности, сплетение и слияние первичных полей (или связанных с ними представлений) может быть выведено из свойств четырехточечных функций, для которых уравнения сводятся к одному комплексному обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка с матричным знаком фуксова тип.
Первоначально российские физики Вадим Книжник и Замолодчики вывели уравнение для SU (2) Весс-Зумина-Виттен модель с использованием классических формул Гаусса для коэффициентов связности в гипергеометрическом дифференциальном уравнении .
Определение
Позволять обозначим аффинную алгебру Ли с уровнем k и двойственным числом Кокстера h . Пусть v вектор из представления нулевой моды а также связанное с ним основное поле. Позволятьбыть базисом основной алгебры Ли , их представление на первичном поле и п в форме Убивающей . Тогда длято уравнения Книжник-Замолодчикова чтения
Неформальное происхождение
Уравнения Книжника – Замолодчикова являются результатом конструкции Сугавары алгебры Вирасоро из аффинной алгебры Ли. В частности, они возникают в результате применения идентичности
к аффинному первичному полю в корреляционной функции аффинных первичных полей. В этом контексте только терминыне исчезают. Действиезатем можно переписать с использованием глобальных идентификаторов Уорда ,
а также можно отождествить с оператором бесконечно малого преобразования .
Математическая формулировка
Так как лечение в Tsuchiya & Кани (1988) , уравнение Книжника-Замолодчики было сформулировано математически на языке вершинных алгебр в связи с Борчердса (1986) и Я.И., Lepowsky & Meurman (1988) . Этот подход был популяризирован среди физиков-теоретиков Годдардом (1988). и среди математиков Каца (1996) .
Вакуума представление Н 0 из аффинной алгебры Каца-Муди на фиксированном уровне может быть закодирован в алгебре вершин . Вывод d действует как оператор энергии L 0 на H 0 , который может быть записан как прямая сумма неотрицательных целочисленных собственных подпространств L 0 , причем пространство с нулевой энергией генерируется вакуумным вектором Ω. Собственное значение собственного вектора L 0 называется его энергией. Для каждого состояния a в L существует вершинный оператор V ( a , z ), который создает a из вакуумного вектора Ω в том смысле, что
Вершинные операторы энергии 1 соответствуют образующим аффинной алгебры
где X пробегает элементы лежащей в основе конечномерной простой комплексной алгебры Ли.
Существует энергия 2 собственный вектор L -2 Ω , которые дают генераторы L п от алгебры Вирасоро , связанной с алгеброй Каца-Муди по строительству Segal-Сугавара
Если a имеет энергию α , то соответствующий вершинный оператор имеет вид
Вершинные операторы удовлетворяют
а также отношения локальности и ассоциативности
Эти последние два соотношения понимаются как аналитические продолжения: скалярные произведения с конечными векторами энергии трех выражений определяют одни и те же многочлены от z ± 1 , w ± 1 и ( z - w ) −1 в областях | z | <| w |, | z | > | w | и | z - w | <| w |. Все структурные соотношения алгебры Каца – Муди и Вирасоро могут быть восстановлены из этих соотношений, включая конструкцию Сигала – Сугавары.
Любое другое интегральное представление H i на том же уровне становится модулем для вершинной алгебры в том смысле, что для каждого a существует вершинный оператор V i ( a , z ) на H i такой, что
Наиболее общие вершинные операторы на данном уровне - это операторы сплетения Φ ( v , z ) между представлениями H i и H j, где v лежит в H k . Эти операторы также можно записать как
но теперь δ может быть рациональным числом . Опять же, эти сплетающие операторы характеризуются свойствами
и отношения с L 0 и L −1 аналогичны приведенным выше.
Когда v находится в подпространстве с наименьшей энергией для L 0 на H k , неприводимое представлениеоператор Φ ( v , w ) называется первичным полем заряда k .
Для цепочки из n первичных полей, начинающейся и заканчивающейся в H 0 , их корреляционная функция или функция n точек определяется следующим образом:
В физической литературе v i часто опускаются, а первичное поле обозначается как Φ i ( z i ), с пониманием того, что оно помечено соответствующим неприводимым представлением.
Вывод вертексной алгебры
Если ( X s ) - ортонормированный базис для формы Киллинга уравнения Книжника – Замолодчикова могут быть выведены путем интегрирования корреляционной функции
сначала в переменной w вокруг маленького кружка с центром в z ; по теореме Коши результат может быть выражен как сумма интегралов вокруг n маленьких кружков с центрами в точках z j :
Интегрирование обеих частей переменной z вокруг небольшого круга с центром в z i дает i- е уравнение Книжника – Замолодчикова.
Вывод алгебры Ли
Также возможно вывести уравнения Книжника – Замодчикова без явного использования вершинных алгебр. Член Φ ( v i , z i ) может быть заменен в корреляционной функции его коммутатором с L r, где r = 0, ± 1. Результат может быть выражен через производную по z i . С другой стороны, L r также определяется формулой Сигала – Сугавары:
После подстановки этих формул на L r полученные выражения можно упростить с помощью формул коммутатора
Первоначальное происхождение
Оригинальное доказательство Книжника и Замолодчикова (1984) , воспроизведенное в Цучия и Кани (1988) , использует комбинацию обоих вышеперечисленных методов. Сначала обратите внимание, что для X в
Следовательно
С другой стороны,
чтобы
Результат следует из использования этого предела в предыдущем равенстве.
Представление монодромии уравнения КЗ
В конформной теории поля вдоль приведенного выше определения п - точечная корреляционная функции поля удовлетворяет уравнение KZ первичного. В частности, дляи неотрицательных целых k есть основные поля «S , соответствующий спин J представления (). Корреляционная функция основных полей для представления принимает значения в тензорном произведении и его уравнение KZ
- ,
где как выше неофициальный вывод .
Эта n- точечная корреляционная функция может быть аналитически продолжена как многозначная голоморфная функция в область с участием для . Благодаря этому аналитическому продолжению голономия уравнения КЗ может быть описана группой кос представил Эмиль Артин . Коно (2002) В общем, сложная полупростая алгебра Ли и его представления дают линейное представление группы кос
как голономия уравнения КЗ. Напротив, уравнение КЗ дает линейное представление групп кос в виде своей голономии.
Действие на аналитическим продолжением уравнения КЗ называется представлением монодромии уравнения КЗ . В частности, если все«s имеет спин 1/2 представления , то линейное представление получается из уравнения ХЗА согласуется с представлением , построенным из теории алгебры операторов по Vaughan Jones . Известно, что представление монодромии уравнения КЗ с общей полупростой алгеброй Ли согласуется с линейным представлением группы кос, заданной R-матрицей соответствующей квантовой группы .
Приложения
- Теория представлений аффинной алгебры Ли и квантовых групп
- Группы кос
- Топология в гиперплоских комплементов
- Теория узлов и тройки
Смотрите также
- Квантовые уравнения КЗ
Рекомендации
- Байк, Джинхо; Deift, Перси; Йоханссон, Курт (июнь 1999 г.), «О распределении длины самой длинной возрастающей подпоследовательности случайных перестановок» (PDF) , J. Amer. Математика. Soc. , 12 (4): 1119-78, DOI : 10,1090 / S0894-0347-99-00307-0 , S2CID 11355968
- Книжник, В.Г . ; Замолодчиков, А.Б. (1984), "Алгебра токов и модель Весса – Зумино в двух измерениях", Nucl. Phys. B , 247 (1): 83-103, Bibcode : 1984NuPhB.247 ... 83K , DOI : 10,1016 / 0550-3213 (84) 90374-2
- Цучия, А .; Кани Ю. (1988), Вершинные операторы в конформной теории поля на P (1) и представления монодромии группы кос , Adv. Stud. Чистая математика, 16 , с. 297–372 (Исправление в томе 19, стр. 675–682.)
- Борчердс, Ричард (1986), "Вершинные алгебры, алгебры Каца – Муди и монстр", Proc. Natl. Акад. Sci. США , 83 (10): 3068-3071, Bibcode : 1986PNAS ... 83.3068B , DOI : 10.1073 / pnas.83.10.3068 , КУП 323452 , PMID 16593694
- Френкель, Игорь ; Леповски, Джеймс ; Меурман, Арне (1988), Вершинные операторные алгебры и монстр , Чистая и прикладная математика, 134 , Academic Press, ISBN 0-12-267065-5
- Годдард, Питер (1989), «Мероморфная конформная теория поля» , в Каце, Виктор Г. (редактор), Бесконечномерные алгебры Ли и группы , Advanced Series In Mathematical Physics, 7 , World Scientific, pp. 556–587, ISBN 978-981-4663-17-5
- Кац, Виктор (1998), Вершинные алгебры для начинающих , Серия лекций в университете, 10 , Американское математическое общество, ISBN 0-8218-0643-2
- Этингоф, Павел I .; Френкель, Игорь ; Кириллов, Александр А. (1998), Лекции по теории представлений и уравнениям Книжника – Замолодчикова , Математические обзоры и монографии, 58 , Американское математическое общество, ISBN 0821804960
- Френкель, Эдвард; Бен-Цви, Дэвид (2001), Вершинные алгебры и алгебраические кривые , Математические обзоры и монографии, 88 , Американское математическое общество, ISBN 0-8218-2894-0
- Коно, Тошитаке (2002), Конформная теория поля и топология , Перевод математических монографий, 210 , Американское математическое общество, ISBN 978-0821821305