Квантовая группа

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу) прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа S n Клейн четыре группы V Группа диэдра D n Группа кватернионов Q Дициклическая группа Dic n
Дискретные группы Решетки Целые числа ( Z ) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2; Z ) SL (2, Z ) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологические группы и группы Ли Соленоид Круг Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Евклидова E ( n ) Специальная ортогональная SO ( n ) Унитарная U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n ) G 2 П 4 E 6 E 7 E 8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая
v т е

В математике и теоретической физике термин квантовая группа обозначает один из нескольких различных видов некоммутативных алгебр с дополнительной структурой. К ним относятся квантовые группы типа Дринфельда – Джимбо (которые представляют собой квазитреугольные алгебры Хопфа ), компактные матричные квантовые группы (которые являются структурами на унитальных сепарабельных C * -алгебрах ) и квантовые группы бикроспроизведения.

Термин «квантовая группа» впервые появился в теории квантовых интегрируемых систем , которая затем была формализована Владимиром Дринфельдом и Мичио Джимбо как особый класс алгебры Хопфа . Тот же термин используется и для других алгебр Хопфа, которые деформируют классические группы или алгебры Ли или близки к ним , например, класс квантовых групп «бикроспроизведения», введенный Шаном Маджидом немного после работ Дринфельда и Джимбо.

В подходе Дринфельда квантовые группы возникают как алгебры Хопфа, зависящие от вспомогательного параметра q или h , которые становятся универсальными обертывающими алгебрами определенной алгебры Ли, часто полупростой или аффинной , когда q = 1 или h = 0. Некоторые двойственные объекты тесно связаны между собой. , также алгебры Хопфа и также называемые квантовыми группами, деформирующие алгебру функций на соответствующей полупростой алгебраической группе или компактной группе Ли .

Интуитивное значение [ править ]

Открытие квантовых групп было довольно неожиданным, так как давно было известно, что компактные группы и полупростые алгебры Ли являются «жесткими» объектами, другими словами, их нельзя «деформировать». Одна из идей, лежащих в основе квантовых групп, состоит в том, что если мы рассматриваем структуру, которая в некотором смысле эквивалентна, но больше, а именно групповую алгебру или универсальную обертывающую алгебру , то группа или обертывающая алгебра может быть «деформирована», хотя деформация не будет дольше оставаться группой или обертывающей алгеброй. Точнее, деформация может быть выполнена в категории алгебр Хопфа , которые не должны быть коммутативными или кокоммутативными.. Можно думать о деформированном объекте как алгебры функций на «некоммутативное пространстве», в духе некоммутативной геометрии в Конн . Эта интуиция, однако, возникла после того, как определенные классы квантовых групп уже доказали свою полезность при изучении квантового уравнения Янга – Бакстера и квантового метода обратной задачи, разработанного ленинградской школой ( Людвиг Фаддеев , Леон Тахтаджан , Евгений Склянин , Николай Решетихин и Владимир Корепин ) и связанные с ним работы Японской школы. ^[1] Интуиция, лежащая в основе второго, бикроспродуктаКласс квантовых групп был другим и возник в результате поиска самодуальных объектов как подхода к квантовой гравитации . ^[2]

Квантовые группы типа Дринфельда – Джимбо [ править ]

Один типа объектов обычно называют «квантовой группой» появился в работе Дринфельда и Мичио Джимбо как деформация универсального обертывающих в виде полупростой алгебры Ли или, более общо, алгебра Каца-Муди , в категории Хопфа алгебры . Полученная алгебра имеет дополнительную структуру, превращающую ее в квазитреугольную алгебру Хопфа .

Пусть A = ( a _ij ) - матрица Картана алгебры Каца – Муди, и пусть q ≠ 0, 1 - комплексное число, тогда квантовая группа U _q ( G ), где G - алгебра Ли, матрица Картана которой есть A , определяется как унитальная ассоциативная алгебра с образующими k _λ (где λ - элемент решетки весов , т.е. 2 (λ, α _i ) / (α _i , α _i ) - целое число для всех i ), и е _яи f _i (для простых корней α _i ) при соблюдении следующих соотношений:

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{0}&=1\\k_{\lambda }k_{\mu }&=k_{\lambda +\mu }\\k_{\lambda }e_{i}k_{\lambda }^{-1}&=q^{(\lambda ,\alpha _{i})}e_{i}\\k_{\lambda }f_{i}k_{\lambda }^{-1}&=q^{-(\lambda ,\alpha _{i})}f_{i}\\\left[e_{i},f_{j}\right]&=\delta _{ij}{\frac {k_{i}-k_{i}^{-1}}{q_{i}-q_{i}^{-1}}}&&k_{i}=k_{\alpha _{i}},q_{i}=q^{{\frac {1}{2}}(\alpha _{i},\alpha _{i})}\\\end{aligned}}}$

И для i ≠ j у нас есть q- соотношения Серра, которые являются деформациями отношений Серра :

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{1-a_{ij}}(-1)^{n}{\frac {[1-a_{ij}]_{q_{i}}!}{[1-a_{ij}-n]_{q_{i}}![n]_{q_{i}}!}}e_{i}^{n}e_{j}e_{i}^{1-a_{ij}-n}&=0\\[6pt]\sum _{n=0}^{1-a_{ij}}(-1)^{n}{\frac {[1-a_{ij}]_{q_{i}}!}{[1-a_{ij}-n]_{q_{i}}![n]_{q_{i}}!}}f_{i}^{n}f_{j}f_{i}^{1-a_{ij}-n}&=0\end{aligned}}}$

где q-факториал , q-аналог обычного факториала , определяется рекурсивно с помощью q-числа:

${\displaystyle {\begin{aligned}{[0]}_{q_{i}}!&=1\\{[n]}_{q_{i}}!&=\prod _{m=1}^{n}[m]_{q_{i}},&&[m]_{q_{i}}={\frac {q_{i}^{m}-q_{i}^{-m}}{q_{i}-q_{i}^{-1}}}\end{aligned}}}$

В пределе q → 1 эти соотношения приближаются к соотношениям для универсальной обертывающей алгебры U ( G ), где

${\displaystyle k_{\lambda }\to 1,\qquad {\frac {k_{\lambda }-k_{-\lambda }}{q-q^{-1}}}\to t_{\lambda }}$

а t _λ - элемент подалгебры Картана, удовлетворяющий ( t _λ , h ) = λ ( h ) для всех h в подалгебре Картана.

Существуют различные коассоциативные копроизведения, при которых эти алгебры являются алгебрами Хопфа, например,

${\displaystyle {\begin{array}{lll}\Delta _{1}(k_{\lambda })=k_{\lambda }\otimes k_{\lambda }&\Delta _{1}(e_{i})=1\otimes e_{i}+e_{i}\otimes k_{i}&\Delta _{1}(f_{i})=k_{i}^{-1}\otimes f_{i}+f_{i}\otimes 1\\\Delta _{2}(k_{\lambda })=k_{\lambda }\otimes k_{\lambda }&\Delta _{2}(e_{i})=k_{i}^{-1}\otimes e_{i}+e_{i}\otimes 1&\Delta _{2}(f_{i})=1\otimes f_{i}+f_{i}\otimes k_{i}\\\Delta _{3}(k_{\lambda })=k_{\lambda }\otimes k_{\lambda }&\Delta _{3}(e_{i})=k_{i}^{-{\frac {1}{2}}}\otimes e_{i}+e_{i}\otimes k_{i}^{\frac {1}{2}}&\Delta _{3}(f_{i})=k_{i}^{-{\frac {1}{2}}}\otimes f_{i}+f_{i}\otimes k_{i}^{\frac {1}{2}}\end{array}}}$

где набор образующих был расширен, если требуется, чтобы включить k _λ для λ, которое может быть выражено как сумма элемента решетки весов и половины элемента решетки корней .

Кроме того, любая алгебра Хопфа приводит к другой с обратным копроизведением T o Δ, где T задается формулой T ( x ⊗ y ) = y ⊗ x , что дает еще три возможных варианта.

Коединица на U _д ( A ) является одинаковой для всех этих копроизведений: ε ( к _λ ) = 1, ε ( е _я ) = ε ( е _я ) = 0, и соответствующие антиподам для вышеуказанных копроизведений даются

${\displaystyle {\begin{array}{lll}S_{1}(k_{\lambda })=k_{-\lambda }&S_{1}(e_{i})=-e_{i}k_{i}^{-1}&S_{1}(f_{i})=-k_{i}f_{i}\\S_{2}(k_{\lambda })=k_{-\lambda }&S_{2}(e_{i})=-k_{i}e_{i}&S_{2}(f_{i})=-f_{i}k_{i}^{-1}\\S_{3}(k_{\lambda })=k_{-\lambda }&S_{3}(e_{i})=-q_{i}e_{i}&S_{3}(f_{i})=-q_{i}^{-1}f_{i}\end{array}}}$

В качестве альтернативы, квантовая группа U _д ( С ) можно рассматривать как алгебру над полем С ( д ), поле всех рациональных функций неопределенного д над С .

Точно так же квантовую группу U _q ( G ) можно рассматривать как алгебру над полем Q ( q ), полем всех рациональных функций неопределенного q над Q (см. Ниже в разделе о квантовых группах при q = 0) . Центр квантовой группы можно описать квантовым определителем.

Теория представлений [ править ]

Подобно тому, как существует много различных типов представлений для алгебр Каца – Муди и их универсальных обертывающих алгебр, существует много различных типов представлений для квантовых групп.

Как и все алгебры Хопфа, U _q ( G ) имеет присоединенное представление на себе как модуль, причем действие задается формулой

${\displaystyle \mathrm {Ad} _{x}\cdot y=\sum _{(x)}x_{(1)}yS(x_{(2)}),}$

куда

${\displaystyle \Delta (x)=\sum _{(x)}x_{(1)}\otimes x_{(2)}.}$

Случай 1: q не является корнем единства [ править ]

Одним из важных типов представления является весовое представление, и соответствующий модуль называется весовым модулем. Весовой модуль - это модуль с базой весовых векторов. Весовой вектор - это ненулевой вектор v такой, что k _λ · v = d _λ v для всех λ , где d _λ - комплексные числа для всех весов λ, таких что

${\displaystyle d_{0}=1,}$

${\displaystyle d_{\lambda }d_{\mu }=d_{\lambda +\mu },}$для всех весов λ и μ .

Весовой модуль называется интегрируемым, если действия e _i и f _i локально нильпотентны (т.е. для любого вектора v в модуле существует положительное целое число k , возможно, зависящее от v , такое, что для всех i ). В случае интегрируемых модулей комплексные числа d _λ, связанные с вектором весов, удовлетворяют , ^{[ необходима цитата ],} где ν - элемент весовой решетки, а c _λ - такие комплексные числа, что${\displaystyle e_{i}^{k}.v=f_{i}^{k}.v=0}$${\displaystyle d_{\lambda }=c_{\lambda }q^{(\lambda ,\nu )}}$

• ${\displaystyle c_{0}=1,}$
• ${\displaystyle c_{\lambda }c_{\mu }=c_{\lambda +\mu },}$для всех весов λ и μ ,
• ${\displaystyle c_{2\alpha _{i}}=1}$для всех я .

Особый интерес представляют представления со старшим весом и соответствующие модули со старшим весом. Модуль старшего веса - это модуль, порожденный вектором весов v , при условии, что k _λ · v = d _λ v для всех весов μ и e _i · v = 0 для всех i . Точно так же квантовая группа может иметь представление с наименьшим весом и модуль с наименьшим весом, то есть модуль, порожденный весовым вектором v , при условии k _λ · v = d _λ vдля всех весов λ и f _i · v = 0 для всех i .

Определим вектор v так, чтобы он имел вес ν, если для всех λ в решетке весов.${\displaystyle k_{\lambda }\cdot v=q^{(\lambda ,\nu )}v}$

Если G - алгебра Каца – Муди, то в любом неприводимом представлении U _q ( G ) со старшим весом ν кратности весов равны их кратности в неприводимом представлении U ( G ) с равными старшими масса. Если старший вес является доминирующим и целым (вес μ является доминирующим и целым, если μ удовлетворяет условию, которое является неотрицательным целым числом для всех i ), то весовой спектр неприводимого представления инвариантен относительно группы Вейля для G , и представление интегрируемо.${\displaystyle 2(\mu ,\alpha _{i})/(\alpha _{i},\alpha _{i})}$

Наоборот, если модуль старшего веса интегрируем, то его вектор старшего веса v удовлетворяет , где c _λ · v = d _λ v - такие комплексные числа, что${\displaystyle k_{\lambda }\cdot v=c_{\lambda }q^{(\lambda ,\nu )}v}$

• ${\displaystyle c_{0}=1,}$
• ${\displaystyle c_{\lambda }c_{\mu }=c_{\lambda +\mu },}$для всех весов λ и μ ,
• ${\displaystyle c_{2\alpha _{i}}=1}$для всех я ,

а ν - доминирующая и целая.

Как и все алгебры Хопфа, тензорное произведение двух модулей является другим модулем. Для элемента х из U _д (G) , а также для векторов v и ш в соответствующих модулях, х ⋅ ( V ⊗ ш ) = Δ ( х ) ⋅ ( об ⊗ ш ), так что и в случае копроизведения Δ ₁ , и${\displaystyle k_{\lambda }\cdot (v\otimes w)=k_{\lambda }\cdot v\otimes k_{\lambda }.w}$${\displaystyle e_{i}\cdot (v\otimes w)=k_{i}\cdot v\otimes e_{i}\cdot w+e_{i}\cdot v\otimes w}$${\displaystyle f_{i}\cdot (v\otimes w)=v\otimes f_{i}\cdot w+f_{i}\cdot v\otimes k_{i}^{-1}\cdot w.}$

Интегрируемый модуль старшего веса, описанный выше, является тензорным произведением одномерного модуля (на котором k _λ = c _λ для всех λ и e _i = f _i = 0 для всех i ) и модуля старшего веса, порожденного ненулевым вектор v ₀ , при условии для всех весов λ , и для всех i .${\displaystyle k_{\lambda }\cdot v_{0}=q^{(\lambda ,\nu )}v_{0}}$${\displaystyle e_{i}\cdot v_{0}=0}$

В частном случае, когда G - конечномерная алгебра Ли (как частный случай алгебры Каца – Муди), неприводимые представления с доминирующими целочисленными старшими весами также конечномерны.

В случае тензорного произведения модулей старшего веса его разложение на подмодули такое же, как и для тензорного произведения соответствующих модулей алгебры Каца – Муди (старшие веса такие же, как и их кратности).

Случай 2: q - корень единства [ править ]

Квазитреугольность [ править ]

Случай 1: q не является корнем единства [ править ]

Строго говоря, квантовая группа U _q ( G ) не является квазитреугольной, но ее можно рассматривать как «почти квазитреугольную» в том смысле, что существует бесконечная формальная сумма, играющая роль R -матрицы. Эта бесконечная формальная сумма выражается через образующие e _i и f _i и образующие Картана t _λ , где k _λ формально отождествляется с q ^{t _λ} . Бесконечная формальная сумма - это произведение двух факторов, ^{[ цитата ]}

${\displaystyle q^{\eta \sum _{j}t_{\lambda _{j}}\otimes t_{\mu _{j}}}}$

и бесконечная формальная сумма, где λ _j - базис для пространства, двойственного к подалгебре Картана, а μ _j - двойственный базис, и η = ± 1.

Формальная бесконечная сумма, играющая роль R -матрицы, хорошо определенным образом действует на тензорное произведение двух неприводимых модулей старшего веса, а также на тензорное произведение двух модулей младшего веса. В частности, если v имеет вес α, а w имеет вес β , то

${\displaystyle q^{\eta \sum _{j}t_{\lambda _{j}}\otimes t_{\mu _{j}}}\cdot (v\otimes w)=q^{\eta (\alpha ,\beta )}v\otimes w,}$

и тот факт, что оба модуля являются модулями со старшим весом или оба модуля с младшим весом, сводит действие другого фактора на v ⊗ W к конечной сумме.

В частности, если V - модуль со старшим весом, то формальная бесконечная сумма R имеет четко определенное и обратимое действие на V ⊗ V , и это значение R (как элемент End ( V ⊗ V )) удовлетворяет уравнению Янга – Бакстера и, следовательно, позволяет нам определить представление группы кос , а также определить квазиинварианты для узлов , зацеплений и кос .

Случай 2: q - корень единства [ править ]

Квантовые группы при q = 0 [ править ]

Масаки Касивара исследовал предельное поведение квантовых групп при q → 0 и обнаружил основание с особенно хорошим поведением, которое называется кристаллической основой .

Описание и классификация по корневым системам и диаграммам Дынкина [ править ]

Был достигнут значительный прогресс в описании конечных частных квантовых групп, таких как U _q ( g ) выше для q ⁿ = 1; один , как правило , рассматривается класс заостренных алгебр Хопфа , а это означает , что все subcoideals являются 1-мерными и таким образом подвести образуют группу под названием корадикала :

• В 2002 году Х.-Дж. Шнайдер и Н. Андрускевич ^[3] завершили классификацию точечных алгебр Хопфа с абелевой корадикальной группой (исключая простые числа 2, 3, 5, 7), тем более что указанные выше конечные частные U _q ( g ) разлагаются в E ′ s (борелевская часть), двойственная F ′ s и K ′ s (алгебра Картана) точно так же, как обычные полупростые алгебры Ли :

${\displaystyle \left({\mathfrak {B}}(V)\otimes k[\mathbf {Z} ^{n}]\otimes {\mathfrak {B}}(V^{*})\right)^{\sigma }}$

Здесь, как и в классической теории, V - это плетеное векторное пространство размерности n, натянутое на E 's, а σ (так называемое скручивание коциклов) создает нетривиальную связь между E ' s и F 's. Обратите внимание, что в отличие от классической теории может появиться более двух связанных компонентов. Роль квантовой борелевской алгебры играет алгебра Николса скрученного векторного пространства.${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V)}$

обобщенная диаграмма Дынкина для точечной алгебры Хопфа, соединяющая четыре копии A3

• Важнейшим элементом была классификация И. Хеккенбергером конечных алгебр Николса для абелевых групп в терминах обобщенных диаграмм Дынкина . ^[4] Когда присутствуют маленькие простые числа, встречаются некоторые экзотические примеры, такие как треугольник (см. Также рисунок диаграммы Данкина ранга 3).

• Между тем, Шнайдер и Хеккенбергер ^{[5] в} целом доказали существование арифметической корневой системы также в неабелевом случае, порождая базис PBW, как доказал Харчеко в абелевом случае (без предположения о конечной размерности). Это может быть использовано ^[6] на конкретных случаях U _д ( г ) и объясняет , например , численное совпадение между некоторыми коидеалом подалгебрами этих квантовых групп и порядка группы Вейля в алгебре Ли г .

Компактные матричные квантовые группы [ править ]

С.Л. Воронович ввел компактные матричные квантовые группы. Компактные матричные квантовые группы представляют собой абстрактные структуры, на которых «непрерывные функции» на структуре задаются элементами C * -алгебры . Геометрия компактной матричной квантовой группы является частным случаем некоммутативной геометрии .

Непрерывные комплекснозначные функции на компактном хаусдорфовом топологическом пространстве образуют коммутативную C * -алгебру. По теореме Гельфанда коммутативная C * -алгебра изоморфна C * -алгебре непрерывных комплекснозначных функций на компактном хаусдорфовом топологическом пространстве, а топологическое пространство однозначно определяется C * -алгеброй с точностью до гомеоморфизма .

Для компактной топологической группы , G , существует С * -алгебра гомоморфизм Δ: C ( G ) → C ( G ) ⊗ C ( G ) (где С ( О ) ⊗ C ( G ) является С * -алгеброй тензор product - пополнение алгебраического тензорного произведения C ( G ) и C ( G )), такого что ∆ ( f ) ( x , y ) = f ( xy ) для всех f ∈ C( G ), и для всех x , y ∈ G (где ( f ⊗ g ) ( x , y ) = f ( x ) g ( y ) для всех f , g ∈ C ( G ) и всех x , y ∈ G ). Также существует линейное мультипликативное отображение κ : C ( G ) → C ( G ) такое, что κ ( f) ( Х ) = F ( х ^-1 ) для всех F ∈ C ( G ) , и все х ∈ G . Строго говоря, это не делает C ( G ) алгеброй Хопфа, если G не конечна. С другой стороны, конечно-мерное представление из G может быть использовано для генерирования * -подалгебры C ( G ) , которая также является Хопф * -алгебра. В частности, если - n -мерное представление группы G , то для всех i , j${\displaystyle g\mapsto (u_{ij}(g))_{i,j}}$ u _ij ∈ C ( G ) и

${\displaystyle \Delta (u_{ij})=\sum _{k}u_{ik}\otimes u_{kj}.}$

Отсюда следует, что * -алгебра, порожденная u _ij для всех i, j и κ ( u _ij ) для всех i, j, является * -алгеброй Хопфа: коединица определяется формулой ε ( u _ij ) = δ _ij для всех i , j (где δ _ij - символ Кронекера ), антиподом является κ , а единица измерения равна

${\displaystyle 1=\sum _{k}u_{1k}\kappa (u_{k1})=\sum _{k}\kappa (u_{1k})u_{k1}.}$

Общее определение [ править ]

В качестве обобщения, компактная матричная квантовая группа определяется как пара ( C , u ), где C - C * -алгебра и матрица с элементами в C такими, что${\displaystyle u=(u_{ij})_{i,j=1,\dots ,n}}$

• * -Подалгебра, С ₀ , из C , который генерируется с помощью матричных элементов U , плотно в C ;

• Существует гомоморфизм C * -алгебр, называемый коумножением ∆: C → C ⊗ C (где C ⊗ C - тензорное произведение C * -алгебр - пополнение алгебраического тензорного произведения C и C ) такой, что для всех i, j имеем:

${\displaystyle \Delta (u_{ij})=\sum _{k}u_{ik}\otimes u_{kj}}$

• Существует линейное антимультипликативное отображение κ: C ₀ → C ₀ (коинверс) такое, что κ ( κ ( v *) *) = v для всех v ∈ C ₀ и

${\displaystyle \sum _{k}\kappa (u_{ik})u_{kj}=\sum _{k}u_{ik}\kappa (u_{kj})=\delta _{ij}I,}$

где я это единичный элемент С . Поскольку κ антимультипликативно, то κ ( vw ) = κ ( w ) κ ( v ) для всех v , w в C ₀ .

Как следствие непрерывности, коумножение на C коассоциативно.

Вообще говоря, C не является биалгеброй, а C ₀ - * -алгеброй Хопфа.

Неформально C можно рассматривать как * -алгебру непрерывных комплекснозначных функций над компактной матричной квантовой группой, а u можно рассматривать как конечномерное представление компактной матричной квантовой группы.

Представления [ править ]

Представление компактной матричной квантовой группы задается копредставлением Хопфа * -алгебра (а копредставление counital coassociative коалгебра квадратная матрица с элементами в А (так v принадлежит М ( п , А )) такое , что${\displaystyle v=(v_{ij})_{i,j=1,\dots ,n}}$

${\displaystyle \Delta (v_{ij})=\sum _{k=1}^{n}v_{ik}\otimes v_{kj}}$

для всех i , j и ε ( v _ij ) = δ _ij для всех i, j ). Кроме того, представление v называется унитарным, если матрица для v унитарна (или, что эквивалентно, если κ ( v _ij ) = v * _ij для всех i , j ).

Пример [ править ]

Примером компактной матричной квантовой группы является SU _μ (2), где параметр μ - положительное действительное число. Таким образом, SU _μ (2) = (C (SU _μ (2)), u ), где C (SU _μ (2)) - C * -алгебра, порожденная элементами α и γ, при условии

${\displaystyle \gamma \gamma ^{*}=\gamma ^{*}\gamma ,}$

${\displaystyle \alpha \gamma =\mu \gamma \alpha ,}$

${\displaystyle \alpha \gamma ^{*}=\mu \gamma ^{*}\alpha ,}$

${\displaystyle \alpha \alpha ^{*}+\mu \gamma ^{*}\gamma =\alpha ^{*}\alpha +\mu ^{-1}\gamma ^{*}\gamma =I,}$

и

${\displaystyle u=\left({\begin{matrix}\alpha &\gamma \\-\gamma ^{*}&\alpha ^{*}\end{matrix}}\right),}$

так что коумножение определяется выражением ∆ (α) = α ⊗ α - γ ⊗ γ *, ∆ (γ) = α ⊗ γ + γ ⊗ α *, а коинверсия определяется выражением κ (α) = α *, κ (γ) = −μ ⁻¹ γ, κ (γ *) = −μγ *, κ (α *) = α. Обратите внимание, что u - это представление, но не унитарное представление. u эквивалентно унитарному представлению

${\displaystyle v=\left({\begin{matrix}\alpha &{\sqrt {\mu }}\gamma \\-{\frac {1}{\sqrt {\mu }}}\gamma ^{*}&\alpha ^{*}\end{matrix}}\right).}$

Эквивалентно SU _μ (2) = (C (SU _μ (2)), w ), где C (SU _μ (2)) - C * -алгебра, порожденная элементами α и β, при условии

${\displaystyle \beta \beta ^{*}=\beta ^{*}\beta ,}$

${\displaystyle \alpha \beta =\mu \beta \alpha ,}$

${\displaystyle \alpha \beta ^{*}=\mu \beta ^{*}\alpha ,}$

${\displaystyle \alpha \alpha ^{*}+\mu ^{2}\beta ^{*}\beta =\alpha ^{*}\alpha +\beta ^{*}\beta =I,}$

и

${\displaystyle w=\left({\begin{matrix}\alpha &\mu \beta \\-\beta ^{*}&\alpha ^{*}\end{matrix}}\right),}$

так что коумножение определяется как ∆ (α) = α ⊗ α - μβ ⊗ β *, ∆ (β) = α ⊗ β + β ⊗ α *, а коинверсия определяется как κ (α) = α *, κ (β) = −μ ⁻¹ β, κ (β *) = −μβ *, κ (α *) = α. Обратите внимание, что w - унитарное представление. Реализации можно идентифицировать приравниванием .${\displaystyle \gamma ={\sqrt {\mu }}\beta }$

Если μ = 1, то SU _μ (2) совпадает с алгеброй C (SU (2)) функций на конкретной компактной группе SU (2).

Квантовые группы Bicrossproduct [ править ]

В то время как компактные матричные псевдогруппы обычно являются версиями квантовых групп Дринфельда-Джимбо в формулировке алгебры двойных функций, с дополнительной структурой, бикроспроизведения представляют собой отдельное второе семейство квантовых групп, значение которых возрастает как деформации разрешимых, а не полупростых групп Ли. Они связаны с лиевскими расщеплениями алгебр Ли или локальными факторизациями групп Ли и могут рассматриваться как перекрестное произведение или квантование Макки одного из факторов, действующих на другой для алгебры, и аналогичная история для копроизведения Δ со вторым фактором действуя в ответ на первое.

Самый простой нетривиальный пример соответствует двум копиям R, локально действующим друг на друга, и приводит к квантовой группе (заданной здесь в алгебраической форме) с генераторами p , K , K ⁻¹ , скажем, и копроизведением

${\displaystyle [p,K]=hK(K-1)}$

${\displaystyle \Delta p=p\otimes K+1\otimes p}$

${\displaystyle \Delta K=K\otimes K}$

где h - параметр деформации.

Эта квантовая группа была связана с игрушечной моделью физики планковского масштаба, реализующей взаимность Борна, если рассматривать ее как деформацию алгебры Гейзенберга квантовой механики. Кроме того, начиная с любой компактной вещественной формы полупростой алгебры Ли g, ее комплексификация как вещественная алгебра Ли удвоенной размерности распадается на g и некоторую разрешимую алгебру Ли ( разложение Ивасавы ), и это дает каноническую квантовую группу бикроспроизведения, связанную с г . Для su (2) получается квантовая групповая деформация евклидовой группы E (3) движений в 3-х измерениях.

См. Также [ править ]

• Алгебра Хопфа
• Биалгебра Ли
• Группа Пуассона – Ли
• Квантовая аффинная алгебра

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Гренсинг, Герхард (2013). Структурные аспекты квантовой теории поля и некоммутативной геометрии . World Scientific. DOI : 10.1142 / 8771 . ISBN 978-981-4472-69-2.
• Джаганнатан, Р. (2001). «Некоторые вводные замечания по квантовым группам, квантовым алгебрам и их приложениям». arXiv : math-ph / 0105002 .
• Кассель, Кристиан (1995), Квантовые группы , Тексты для выпускников по математике, 155 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0783-2 , ISBN 978-0-387-94370-1, Руководство по ремонту  1321145
• Люстиг, Джордж (2010) [1993]. Введение в квантовые группы . Кембридж, Массачусетс: Birkhäuser. ISBN 978-0-817-64716-2.
• Маджид, Шан (2002), учебник по квантовым группам , Серия лекций Лондонского математического общества, 292 , Cambridge University Press, DOI : 10.1017 / CBO9780511549892 , ISBN 978-0-521-01041-2, MR  1904789
• Маджид, Шан (январь 2006 г.), "Что такое ... квантовая группа?" ( PDF ) , Уведомления Американского математического общества , 53 (1): 30–31 , получено 16 января 2008 г.
• Podles, P .; Muller, E. (1998), "Введение в квантовые группы", Обзоры по математической физике , 10 (4): 511–551, arXiv : q-alg / 9704002 , Bibcode : 1997q.alg ..... 4002P , doi : 10.1142 / S0129055X98000173
• Шнидер, Стивен ; Штернберг, Шломо (1993). Квантовые группы: от коалгебр до алгебр Дринфельда . Тексты для выпускников по математической физике. 2 . Кембридж, Массачусетс: International Press.
• Street, Ross (2007), квантовые группы , серия лекций Австралийского математического общества, 19 , Cambridge University Press, DOI : 10.1017 / CBO9780511618505 , ISBN 978-0-521-69524-4, Руководство по ремонту  2294803