Разрезать геометрическое место (риманово многообразие)

В римановой геометрии геометрическое место разреза точки на многообразии - это примерно набор всех других точек, для которых существует несколько минимизирующих геодезических, соединяющих их , но он может содержать дополнительные точки, где минимизирующая геодезическая уникальна при определенных обстоятельствах. Функция расстояния от p является гладкой функцией, за исключением самой точки p и геометрического места разреза.${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$

Определение [ править ]

Зафиксируем точку на полном римановом многообразии и рассмотрим касательное пространство . Стандартный результат заключается в том, что при достаточно малых in кривая, определяемая римановым экспоненциальным отображением , для принадлежности к интервалу является минимизирующей геодезической и единственной минимизирующей геодезической, соединяющей две конечные точки. Здесь обозначает экспоненциальное отображение из . Разреза локус в касательном пространстве определяется как множество всех векторов в таким образом, что представляет собой минимизирующую геодезический для , но не может быть для сведения к минимуму${\ displaystyle p}$${\ displaystyle (M, g)}$ ${\ displaystyle T_ {p} M}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle T_ {p} M}$${\ Displaystyle \ гамма (т) = \ ехр _ {р} (ТВ)}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle [0,1]}$${\ displaystyle \ exp _ {p}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle T_ {p} M}$${\ Displaystyle \ гамма (т) = \ ехр _ {р} (ТВ)}$${\ Displaystyle т \ в [0,1]}$${\ displaystyle t = 1 + \ epsilon}$для любого . Разрез локус ин определяются как изображение разреза локуса в касательном пространстве под экспоненциальным отображением в . Таким образом, мы можем интерпретировать геометрическое место разреза in как точки на многообразии, в которых геодезические, начинающиеся с точки, перестают сводиться к минимуму.${\ displaystyle \ epsilon> 0}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle p}$

Наименьшее расстояние от точки p до точки разреза - это радиус инъекции в точке p . На открытом шаре этого радиуса экспоненциальное отображение в точке p является диффеоморфизмом касательного пространства к многообразию, и это наибольший такой радиус. Глобальный радиус инъективности определяется как нижняя грань радиуса инъективности в точке p по всем точкам многообразия.

Характеристика [ править ]

Предположим, что находится в месте разреза in . Стандартный результат ^[1] состоит в том, что либо (1) существует более одной минимизирующей геодезической, соединяющей их , либо (2) и они сопряжены вдоль некоторой соединяющей их геодезической. Возможно выполнение и (1), и (2).${\ displaystyle q}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$

Примеры [ править ]

На стандартной круглой n -сфере геометрическое место разреза точки состоит из единственной точки, противоположной ей (т. Е. Противоположной точки ). На бесконечно длинном цилиндре геометрическое место разреза точки состоит из прямой, противоположной точке.

Приложения [ править ]

Значение годографа сечения состоит в том, что функция расстояния от точки является гладкой, за исключением геометрического места сечения самой и . В частности, имеет смысл отнести градиент и гессиан функции расстояния от точки разреза и . Эта идея используется в локальной теореме сравнения Лапласа и в локальной теореме сравнения Гессе . Они используются в доказательстве локальной версии теоремы Топоногова и многих других важных теорем римановой геометрии.${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$

Вырезать локус подмножества [ править ]

Аналогичным образом можно определить множество разрезов подмногообразия риманова многообразия в терминах его нормального экспоненциального отображения.

См. Также [ править ]

• Каустик (математика)

Ссылки [ править ]