В дифференциальной геометрии , сопряженные точках или фокальных точках [1] , грубо, точки , которые практически могут быть соединены с помощью 1-параметрического семейства геодезических . Например, на сфере северный полюс и южный полюс соединены любым меридианом . Другая точка зрения состоит в том, что сопряженные точки сообщают, когда геодезические не могут минимизировать длину. Все геодезические минимизируют длину локально , но не глобально. Например, на сфере любая геодезическая, проходящая через северный полюс, может быть расширена до южного полюса, и, следовательно, любой геодезический сегмент, соединяющий полюса, не является (однозначно) глобальным.минимизация длины. Это говорит нам, что любая пара противоположных точек на стандартной 2-сфере является сопряженными точками. [2]
Определение
Предположим, что p и q - точки на римановом многообразии и- геодезическая , соединяющая точки p и q . Тогда р и д являются сопряженными точками вдольесли существует ненулевое поле Якоби вдолькоторый обращается в нуль в точках p и q .
Напомним, что любое поле Якоби можно записать как производную геодезической вариации (см. Статью о полях Якоби ). Следовательно, если p и q сопряжены вдоль, можно построить семейство геодезических, которые начинаются в p и почти заканчиваются в q . В частности, еслисемейство геодезических, производная которых по s в точкепорождает поле Якоби J , то конечная точка вариации, а именно, является точкой q только до первого порядка по s . Следовательно, если две точки сопряжены, не обязательно, чтобы существовали две разные геодезические, соединяющие их.
Примеры
- На сфере , противоположные точки сопряжены.
- На , сопряженных точек нет.
- На римановых многообразиях неположительной секционной кривизны нет сопряженных точек.