Поле Якоби

В римановой геометрии , А поле Якоби является векторным полем вдоль геодезического в риманове многообразия , описывающей разницу между геодезической и «бесконечно близко» геодезическим. Другими словами, поля Якоби вдоль геодезической образуют касательное пространство к геодезической в ​​пространстве всех геодезических. Они названы в честь Карла Якоби .${\ displaystyle \ gamma}$

Определения и свойства [ править ]

Поля Якоби могут быть получены следующим образом: возьмем гладкое однопараметрическое семейство геодезических с , тогда ${\ displaystyle \ gamma _ {\ tau}}$${\ displaystyle \ gamma _ {0} = \ gamma}$

${\ displaystyle J (t) = \ left. {\ frac {\ partial \ gamma _ {\ tau} (t)} {\ partial \ tau}} \ right | _ {\ tau = 0}}$

является полем Якоби и описывает поведение геодезических в бесконечно малой окрестности данной геодезической .${\ displaystyle \ gamma}$

Векторное поле J вдоль геодезической называется полем Якоби, если оно удовлетворяет уравнению Якоби :${\ displaystyle \ gamma}$

${\ displaystyle {\ frac {D ^ {2}} {dt ^ {2}}} J (t) + R (J (t), {\ dot {\ gamma}} (t)) {\ dot {\ гамма}} (t) = 0,}$

где D обозначает ковариантную производную относительно связности Леви-Чивиты , R - тензор кривизны Римана , касательное векторное поле, а t - параметр геодезической. На полном римановом многообразии для любого поля Якоби существует семейство геодезических, описывающих поле (как в предыдущем абзаце).${\ Displaystyle {\ точка {\ гамма}} (т) = д \ гамма (т) / дт}$${\ displaystyle \ gamma _ {\ tau}}$

Уравнение Якоби - это линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка ; в частности, значения и в одной точке однозначно определяют поле Якоби. Кроме того, множество полей Якоби вдоль данной геодезической образует вещественное векторное пространство размерности, вдвое превышающей размерность многообразия.${\ displaystyle J}$${\ displaystyle {\ frac {D} {dt}} J}$${\ displaystyle \ gamma}$

В качестве тривиальных примеров полей Якоби можно рассматривать и . Они соответствуют, соответственно, следующим семействам повторных параметризаций: и .${\ Displaystyle {\ точка {\ gamma}} (т)}$${\ Displaystyle т {\ точка {\ гамма}} (т)}$${\ Displaystyle \ гамма _ {\ тау} (т) = \ гамма (\ тау + т)}$${\ Displaystyle \ гамма _ {\ тау} (т) = \ гамма ((1+ \ тау) т)}$

Любое поле Якоби может быть уникальным образом представлено в виде суммы , где является линейной комбинацией тривиальных полей Якоби и ортогонально для всех . Тогда поле соответствует той же вариации геодезических, что и , только с измененными параметризациями.${\ displaystyle J}$${\displaystyle T+I}$${\displaystyle T=a{\dot {\gamma }}(t)+bt{\dot {\gamma }}(t)}$${\displaystyle I(t)}$${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle I}$${\displaystyle J}$

Пример мотивации [ править ]

На сфере , то геодезическими через Северный полюс являются большими кругами . Рассмотрим две такие геодезические и с натуральным параметром , разделенные углом . Геодезическое расстояние ${\displaystyle \gamma _{0}}$${\displaystyle \gamma _{\tau }}$${\displaystyle t\in [0,\pi ]}$${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))\,}$

является

${\displaystyle d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))=\sin ^{-1}{\bigg (}\sin t\sin \tau {\sqrt {1+\cos ^{2}t\tan ^{2}(\tau /2)}}{\bigg )}.}$

Вычисление этого требует знания геодезических. Самая интересная информация - это как раз то, что

${\displaystyle d(\gamma _{0}(\pi ),\gamma _{\tau }(\pi ))=0\,}$, для любого .${\displaystyle \tau }$

Вместо этого мы можем рассматривать производную по at :${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau =0}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \tau }}{\bigg |}_{\tau =0}d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))=|J(t)|=\sin t.}$

Обратите внимание, что мы все еще обнаруживаем пересечение геодезических в точке . Обратите внимание, что для вычисления этой производной нам на самом деле не нужно знать ${\displaystyle t=\pi }$

${\displaystyle d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))\,}$,

скорее, все, что нам нужно сделать, это решить уравнение

${\displaystyle y''+y=0\,}$,

для некоторых заданных исходных данных.

Поля Якоби дают естественное обобщение этого явления на произвольные римановы многообразия .

Решение уравнения Якоби [ править ]

Позвольте и завершите это, чтобы получить ортонормированный базис в . Параллельно транспортируйте его, чтобы получить основу на всем протяжении . Это дает ортонормированный базис с . Поле Якоби может быть записано в координатах в терминах этого базиса как и, таким образом,${\displaystyle e_{1}(0)={\dot {\gamma }}(0)/|{\dot {\gamma }}(0)|}$${\displaystyle {\big \{}e_{i}(0){\big \}}}$${\displaystyle T_{\gamma (0)}M}$${\displaystyle \{e_{i}(t)\}}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle e_{1}(t)={\dot {\gamma }}(t)/|{\dot {\gamma }}(t)|}$${\displaystyle J(t)=y^{k}(t)e_{k}(t)}$

${\displaystyle {\frac {D}{dt}}J=\sum _{k}{\frac {dy^{k}}{dt}}e_{k}(t),\quad {\frac {D^{2}}{dt^{2}}}J=\sum _{k}{\frac {d^{2}y^{k}}{dt^{2}}}e_{k}(t),}$

а уравнение Якоби можно переписать в виде системы

${\displaystyle {\frac {d^{2}y^{k}}{dt^{2}}}+|{\dot {\gamma }}|^{2}\sum _{j}y^{j}(t)\langle R(e_{j}(t),e_{1}(t))e_{1}(t),e_{k}(t)\rangle =0}$

для каждого . Таким образом, мы получаем линейное обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ). Поскольку это ОДУ имеет гладкие коэффициенты, мы имеем, что решения существуют для всех и уникальны, заданы и для всех .${\displaystyle k}$ ${\displaystyle t}$${\displaystyle y^{k}(0)}$${\displaystyle {y^{k}}'(0)}$${\displaystyle k}$

Примеры [ править ]

Рассмотрим геодезическую с параллельным раме ортонормированной , , построенное , как указано выше.${\displaystyle \gamma (t)}$${\displaystyle e_{i}(t)}$${\displaystyle e_{1}(t)={\dot {\gamma }}(t)/|{\dot {\gamma }}|}$

• Векторные поля, заданные как, и являются полями Якоби.${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$${\displaystyle t{\dot {\gamma }}(t)}$
• В евклидовом пространстве (а также для пространств постоянной нулевой секционной кривизны ) поля Якоби - это просто те поля, линейные по .${\displaystyle t}$
• Для римановых многообразий постоянной отрицательной секционной кривизны любое поле Якоби является линейной комбинацией , и , где .${\displaystyle -k^{2}}$${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$${\displaystyle t{\dot {\gamma }}(t)}$${\displaystyle \exp(\pm kt)e_{i}(t)}$${\displaystyle i>1}$
• Для римановых многообразий постоянной положительной кривизны сечения , любое поле Якоби представляет собой линейную комбинацию , , и , где .${\displaystyle k^{2}}$${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$${\displaystyle t{\dot {\gamma }}(t)}$${\displaystyle \sin(kt)e_{i}(t)}$${\displaystyle \cos(kt)e_{i}(t)}$${\displaystyle i>1}$
• Ограничение векторного поля Киллинга на геодезическую является полем Якоби в любом римановом многообразии.

См. Также [ править ]

• Сопряженные точки
• Уравнение геодезического отклонения
• Теорема сравнения Рауха
• Поле Н-Якоби

Ссылки [ править ]

• Манфреду Пердиган ду Карму . Риманова геометрия. Перевод со второго португальского издания Фрэнсиса Флаэрти. Математика: теория и приложения. Birkhäuser Boston, Inc., Бостон, Массачусетс, 1992. xiv + 300 с. ISBN  0-8176-3490-8
• Джефф Чигер и Дэвид Г. Эбин . Теоремы сравнения в римановой геометрии. Переиздание оригинала 1975 года. AMS Chelsea Publishing, Провиденс, Род-Айленд, 2008. x + 168 стр. ISBN 978-0-8218-4417-5 
• Сосичи Кобаяси и Кацуми Номидзу . Основы дифференциальной геометрии. Vol. II. Перепечатка оригинала 1969 года. Библиотека Wiley Classics. Публикация Wiley-Interscience. John Wiley & Sons, Inc., Нью-Йорк, 1996. xvi + 468 стр. ISBN 0-471-15732-5 
• Барретт О'Нил . Полуриманова геометрия. С приложениями к теории относительности. Чистая и прикладная математика, 103. Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], Нью-Йорк, 1983. xiii + 468 стр. ISBN 0-12-526740-1