 | Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . ( март 2019 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон ) |
В дифференциальной геометрии , сопряженные точках или фокальных точках [1] , грубо, точки , которые практически могут быть соединены с помощью 1-параметрического семейства геодезических . Например, на сфере северный полюс и южный полюс соединены любым меридианом . Другая точка зрения состоит в том, что сопряженные точки сообщают, когда геодезические не могут минимизировать длину. Все геодезические минимизируют длину локально , но не глобально. Например, на сфере любая геодезическая, проходящая через северный полюс, может быть расширена до южного полюса, и, следовательно, любой геодезический сегмент, соединяющий полюса, не является (однозначно) глобальным.минимизация длины. Это говорит нам, что любая пара противоположных точек на стандартной 2-сфере является сопряженными точками. [2]
Определение [ править ]
Пусть р и д являются точками на риманова многообразия , и является геодезической , которая соединяет р и д . Тогда р и д являются сопряженные точки вдоль если существует ненулевой Якоби поле вдоль , равная нулю при р и ц .
Напомним, что любое поле Якоби можно записать как производную геодезической вариации (см. Статью о полях Якоби ). Следовательно, если p и q сопряжены вдоль , можно построить семейство геодезических, которые начинаются в p и почти заканчиваются в q . В частности, если - семейство геодезических, производная по s at порождает поле Якоби J , то конечной точкой вариации, а именно , является точка q только с точностью до первого порядка по s. Следовательно, если две точки сопряжены, не обязательно, чтобы существовали две разные геодезические, соединяющие их.
Примеры [ править ]
- На сфере , антиподальные точки сопряжены.
- На , сопряженных точек нет.
- На римановых многообразиях неположительной секционной кривизны нет сопряженных точек.
См. Также [ править ]
Ссылки [ править ]
