Экспоненциальное отображение (риманова геометрия)

Экспоненциальная карта Земли, если смотреть с северного полюса, является полярной азимутальной эквидистантной проекцией в картографии.

В римановой геометрии , экспоненциальное отображение является отображением из подмножества касательного пространства Т _р М о наличии риманова многообразия (или псевдориманово многообразие ) М к М самых. (Псевдо) риманова метрика определяет каноническую аффинную связность, а экспоненциальное отображение (псевдо) риманова многообразия задается экспоненциальным отображением этой связности.

Определение [ править ]

Пусть $М$ будет дифференцируемое многообразие и $р$ точка $М$ . Аффинная связность на $М$ позволяет определить понятие прямой через точку $р$ . ^[1]

Пусть $v \in T p M$ - касательный вектор к многообразию в точке $p$ . Тогда существует единственная геодезическая $γ v,$ удовлетворяющая $γ v (0) = p,$ с начальным касательным вектором $γ' v (0) = v$ . Соответствующее экспоненциальное отображение определяется выражением $exp p (v) = γ v (1)$ . В общем, экспоненциальное отображение определяется только локально , то есть оно берет только небольшую окрестность начала координат в $T p M$ в окрестность точки $p$ на многообразии. Это потому, что он опирается на теорему существования и единственности для обыкновенных дифференциальных уравнений, которая носит локальный характер. Аффинная связность называется полной, если экспоненциальное отображение корректно определено в каждой точке касательного расслоения .

Свойства [ править ]

Интуитивно говоря, экспоненциальное отображение берет данный касательный вектор к многообразию, проходит по геодезической, начиная с этой точки, и идет в этом направлении в течение единицы времени. Поскольку v соответствует вектору скорости геодезической, фактическое (риманово) пройденное расстояние будет зависеть от этого. Мы также можем повторно параметризовать геодезические, чтобы они имели единичную скорость, поэтому мы можем эквивалентно определить exp _p ( v ) = β (| v |), где β - геодезическая с единичной скоростью (геодезическая, параметризованная длиной дуги), идущая в направлении v . Изменяя касательный вектор v, мы получим, применяя exp _p , разные точки на Mкоторые находятся на некотором расстоянии от базовой точки p - это, возможно, один из наиболее конкретных способов продемонстрировать, что касательное пространство к многообразию является своего рода «линеаризацией» многообразия.

Теорема Хопфа – Ринова утверждает, что можно определить экспоненциальное отображение на всем касательном пространстве тогда и только тогда, когда многообразие полно как метрическое пространство (что оправдывает обычный термин геодезически полный для многообразия, имеющего экспоненциальное отображение с этим свойством ). В частности, компактные многообразия геодезически полны. Однако даже если exp _p определен на всем касательном пространстве, он, вообще говоря, не будет глобальным диффеоморфизмом . Однако его дифференциал в начале касательного пространства является тождественным отображением, и поэтому по теореме об обратной функции мы можем найти окрестность начала координат T _pM, на котором экспоненциальное отображение является вложением (т. Е. Экспоненциальное отображение является локальным диффеоморфизмом). Радиус наибольшего шара вокруг начала координат в Т _р М , которые могут быть отображены с помощью диффеоморфно ехра _р называется радиусом приемистости из М на р . Покрой локус экспоненциального отображения, грубо говоря, множество всех точек , где экспоненциальная карта не имеет единственный минимум.

Важным свойством экспоненциального отображения является следующая лемма Гаусса (еще одна лемма Гаусса ): дан любой касательный вектор v в области определения exp _p и другой вектор w, основанный на вершине v (следовательно, w фактически находится в дважды касательное пространство Т _v (Т _р М )) и ортогональная к V , ш остатки , ортогональных к V , когда выдвигается вперед с помощью экспоненциального отображения. Это означает, в частности, что граничная сфера малого шара около начала координат в T _p Mортогонален геодезическим в M, определяемым этими векторами (т. е. геодезические радиальные ). Это мотивирует определение геодезических нормальных координат на римановом многообразии.

Экспоненциальное отображение также полезно для связи абстрактного определения кривизны с более конкретной его реализацией, первоначально задуманной самим Риманом - секционная кривизна интуитивно определяется как гауссова кривизна некоторой поверхности (т. Е. Сечение многообразия 2 -мерное подмногообразие) через рассматриваемую точку p . С помощью экспоненциального отображения, он теперь может быть точно определен как гауссовая кривизна поверхности через р определяется образом при ехре _р от 2-мерного подпространства Т _р М .

Связь с экспоненциальными отображениями в теории Ли [ править ]

В случае групп Ли с биинвариантной метрикой - псевдоримановой метрикой, инвариантной как относительно левого, так и правого сдвига - экспоненциальные отображения псевдоримановой структуры такие же, как экспоненциальные отображения группы Ли . В общем случае группы Ли не имеют биинвариантной метрики, в отличие от всех связных полупростых (или редуктивных) групп Ли. Существование биинвариантной римановой метрики сильнее, чем существование псевдоримановой метрики, и означает, что алгебра Ли является алгеброй Ли компактной группы Ли; наоборот, любая компактная (или абелева) группа Ли имеет такую риманову метрику.

Возьмем пример, который дает "честную" экспоненциальную карту. Рассмотрим положительные действительные числа R ⁺ , группу Ли относительно обычного умножения. Тогда каждое касательное пространство просто R . На каждой копии R в точке y мы вводим модифицированный внутренний продукт

{\ displaystyle \ langle u, v \ rangle _ {y} = {\ frac {uv} {y ^ {2}}}}

(умножая их как обычные действительные числа, но масштабируя на y ² ). (Это то, что делает метрику левоинвариантной, так как левое умножение на множитель просто выйдет из внутреннего продукта дважды - с уменьшением квадрата в знаменателе).

Рассмотрим точку 1 ∈ R ⁺ , а x ∈ R - элемент касательного пространства в точке 1. Обычная прямая, исходящая из 1, а именно y ( t ) = 1 + xt, проходит по тому же пути, что и геодезическая, конечно, за исключением мы должны изменить параметры, чтобы получить кривую с постоянной скоростью (помните, «постоянная скорость» не будет обычной постоянной скоростью, потому что мы используем эту забавную метрику). Для этого мы повторно параметризуем длину дуги (интеграл длины касательного вектора в норме, индуцированной модифицированной метрикой): ${\ displaystyle | \ cdot | _ {y}}$

{\ displaystyle s (t) = \ int _ {0} ^ {t} | x | _ {y (\ tau)} d \ tau = \ int _ {0} ^ {t} {\ frac {| x | } {1+ \ tau x}} d \ tau = | x | \ int _ {0} ^ {t} {\ frac {d \ tau} {1+ \ tau x}} = {\ frac {| x | } {x}} \ ln | 1 + tx |}

и после инвертирования функции, чтобы получить t как функцию от s , мы подставляем и получаем

{\ Displaystyle у (s) = е ^ {sx / | х |}}

Теперь, используя определение единичной скорости, мы имеем

{\ Displaystyle \ ехр _ {1} (х) = у (| х | _ {1}) = у (| х |)}

,

давая ожидаемый e ^x .

Риманово расстояние, определяемое этим, просто

{\ Displaystyle \ OperatorName {dist} (a, b) = | \ ln (b / a) |}

,

метрика, которая должна быть знакома каждому, кто рисовал графики на журнальной бумаге .

См. Также [ править ]

Список экспоненциальных тем

Заметки [ править ]

^ Источником для этого раздела является Kobayashi & Nomizu (1975 , §III.6), в котором используется термин «линейная связь» вместо «аффинной связи».

Ссылки [ править ]

ду Карму, Манфредо П. (1992), Риманова геометрия , Birkhäuser, ISBN 0-8176-3490-8. См. Главу 3.
Чигер, Джефф; Эбин, Дэвид Г. (1975), Теоремы сравнения в римановой геометрии , Elsevier. См. Главу 1, разделы 2 и 3.
"Экспоненциальное отображение" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Хелгасон, Сигурдур (2001), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства , Исследования в области математики , 34 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-2848-9, Руководство по ремонту 1834454.
Кобаяси, Шошичи ; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии , т. 1 (Новое издание), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3.

[1] Источником для этого раздела является Kobayashi & Nomizu (1975 , §III.6), в котором используется термин «линейная связь» вместо «аффинной связи».

[1]