В комплексном анализе , А отображение Шварца-Кристоффель является конформным преобразованием из верхней полуплоскости на внутренность простого многоугольника . Отображения Шварца – Кристоффеля используются в теории потенциала и некоторых ее приложениях, включая минимальные поверхности , гиперболическое искусство и гидродинамику . Они названы в честь Элвина Бруно Кристоффеля и Германа Амандуса Шварца .
Определение
Рассмотрим многоугольник на комплексной плоскости. Из теоремы об отображении Римана следует, что существует биголоморфное отображение f из верхней полуплоскости
внутрь многоугольника. Функция f отображает действительную ось на края многоугольника. Если многоугольник имеет внутренние углы , то это отображение задается формулой
где является константой , а - значения вдоль действительной оси плоскости, точек, соответствующих вершинам многоугольника в самолет. Преобразование такого вида называется отображением Шварца – Кристоффеля .
Интеграл может быть упрощен путем отображения точки на бесконечности из плоскости к одной из вершин плоский многоугольник. Таким образом, первый множитель в формуле становится постоянным и может быть включен в константу.. Обычно бесконечно удаленная точка отображается на вершину с углом.
На практике, чтобы найти отображение на конкретный многоугольник, нужно найти значения, которые генерируют правильные длины сторон многоугольника. Это требует решения набора нелинейных уравнений и в большинстве случаев может быть выполнено только численно . [1]
Пример
Рассмотрим полубесконечную полосу в плоскости z . Это можно рассматривать как предельную форму треугольника с вершинами P = 0 , Q = π i и R (с вещественным R ), поскольку R стремится к бесконечности. Теперь в пределе α = 0 и β = γ = π ⁄ 2 . Предположим , мы ищем отображения F с F (-1) = Q , ф (1) = P и F (∞) = R . Тогда f определяется как
Оценка этого интеграла дает
где C - (комплексная) постоянная интегрирования. Требование, чтобы f (−1) = Q и f (1) = P, дает C = 0 и K = 1 . Следовательно, отображение Шварца – Кристоффеля задается формулой
Это преобразование схематично показано ниже.
Другие простые сопоставления
Треугольник
Отображение на плоский треугольник с внутренними углами а также дан кем-то
которые можно выразить через гипергеометрические функции .
Квадратный
Верхняя полуплоскость отображается в квадрат формулой
где F - неполный эллиптический интеграл первого рода.
Общий треугольник
Верхняя полуплоскость отображается в треугольник с дугами окружности для ребер с помощью карты треугольника Шварца .
Смотрите также
- Производная Шварца появляется в теории отображений Шварца – Кристоффеля.
Рекомендации
- ^ Дрисколл, Тоби. «Отображение Шварца-Кристоффеля» . www.math.udel.edu . Проверено 17 мая 2021 .
- Дрисколл, Тобин А .; Трефетен, Ллойд Н. (2002), отображение Шварца – Кристоффеля , Кембриджские монографии по прикладной и вычислительной математике, 8 , Cambridge University Press, doi : 10.1017 / CBO9780511546808 , ISBN 978-0-521-80726-5, Руководство по ремонту 1908657
- Нехари, Зеев (1982) [1952], Конформное отображение , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-61137-2, Руководство по ремонту 0045823
- Конформный гиперболический квадрат и его Илк Чемберлен Фонг, Материалы конференции Bridges Finland, 2016
дальнейшее чтение
Аналог SC-отображения, работающий также для многосвязных, представлен в: Кейс, Джеймс (2008), «Прорыв в конформном отображении» (PDF) , SIAM News , 41 (1).
Внешние ссылки
- «Преобразование Шварца – Кристоффеля» . PlanetMath .
- Набор инструментов Шварца – Кристоффеля (программное обеспечение для MATLAB )