В интегральном исчислении интегрирование по формулам редукции - это метод, основанный на рекуррентных соотношениях . Он используется , когда выражение , содержащее целочисленный параметр , как правило , в виде степеней элементарных функций или продуктов из трансцендентных функций и полиномов произвольной степени , не может быть интегрированы непосредственно. Но используя другие методы интегрирования , можно настроить формулу редукции для получения интеграла того же или подобного выражения с меньшим целочисленным параметром, постепенно упрощая интеграл до тех пор, пока он не будет вычислен. [1] Этот метод интеграции - один из самых ранних.
Как найти формулу редукции [ править ] Формула сокращения может быть получена с использованием любого из распространенных методов интегрирования, таких как интегрирование путем подстановки , интегрирование по частям , интегрирование посредством тригонометрической подстановки , интегрирование по частичным дробям и т. Д. Основная идея состоит в том, чтобы выразить интеграл, включающий целочисленный параметр (например power) функции, представленной I n , в терминах интеграла, который включает меньшее значение параметра (меньшую степень) этой функции, например I n -1 или I n -2 . Это делает формулу редукции типом рекуррентного соотношения. Другими словами, формула приведения выражает интеграл
я п знак равно ∫ ж ( Икс , п ) d Икс , {\ Displaystyle I_ {п} = \ int е (х, п) \, {\ текст {d}} х,} с точки зрения
я k знак равно ∫ ж ( Икс , k ) d Икс , {\ Displaystyle I_ {к} = \ int е (х, к) \, {\ текст {d}} х,} куда
k < п . {\ Displaystyle к <п.} Как вычислить интеграл [ править ] Чтобы вычислить интеграл, мы устанавливаем n равным его значению и используем формулу сокращения, чтобы выразить его через интеграл ( n - 1) или ( n - 2). Интеграл с меньшим индексом может использоваться для вычисления более высоких индексов; процесс продолжается до тех пор, пока мы не достигнем точки, в которой интегрируемая функция может быть вычислена, обычно когда ее индекс равен 0 или 1. Затем мы производим обратную замену предыдущих результатов, пока не вычислим I n . [2]
Примеры [ править ] Ниже приведены примеры процедуры.
Интеграл косинуса
Обычно интегралы типа
∫ потому что п Икс d Икс , {\ Displaystyle \ int \ соз ^ {п} х \, {\ текст {d}} х, \, \!} можно оценить по формуле приведения.
∫ потому что п ( Икс ) d Икс {\displaystyle \int \cos ^{n}(x)\,{\text{d}}x\!} , для
n = 1, 2 ... 30
Начните с установки:
I n = ∫ cos n x d x . {\displaystyle I_{n}=\int \cos ^{n}x\,{\text{d}}x.\,\!} Теперь перепишите как:
I n = ∫ cos n − 1 x cos x d x , {\displaystyle I_{n}=\int \cos ^{n-1}x\cos x\,{\text{d}}x,\,\!} Интегрируя этой заменой:
cos x d x = d ( sin x ) , {\displaystyle \cos x\,{\text{d}}x={\text{d}}(\sin x),\,\!} I n = ∫ cos n − 1 x d ( sin x ) . {\displaystyle I_{n}=\int \cos ^{n-1}x\,{\text{d}}(\sin x).\!} Теперь интегрируем по частям:
∫ cos n x d x = cos n − 1 x sin x − ∫ sin x d ( cos n − 1 x ) = cos n − 1 x sin x + ( n − 1 ) ∫ sin x cos n − 2 x sin x d x = cos n − 1 x sin x + ( n − 1 ) ∫ cos n − 2 x sin 2 x d x = cos n − 1 x sin x + ( n − 1 ) ∫ cos n − 2 x ( 1 − cos 2 x ) d x = cos n − 1 x sin x + ( n − 1 ) ∫ cos n − 2 x d x − ( n − 1 ) ∫ cos n x d x = cos n − 1 x sin x + ( n − 1 ) I n − 2 − ( n − 1 ) I n , {\displaystyle {\begin{aligned}\int \cos ^{n}x\,{\text{d}}x&=\cos ^{n-1}x\sin x-\int \sin x\,{\text{d}}(\cos ^{n-1}x)\\&=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)\int \sin x\cos ^{n-2}x\sin x\,{\text{d}}x\\&=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)\int \cos ^{n-2}x\sin ^{2}x\,{\text{d}}x\\&=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)\int \cos ^{n-2}x(1-\cos ^{2}x)\,{\text{d}}x\\&=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)\int \cos ^{n-2}x\,{\text{d}}x-(n-1)\int \cos ^{n}x\,{\text{d}}x\\&=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_{n},\end{aligned}}\,} решение для I n :
I n + ( n − 1 ) I n = cos n − 1 x sin x + ( n − 1 ) I n − 2 , {\displaystyle I_{n}\ +(n-1)I_{n}\ =\cos ^{n-1}x\sin x\ +\ (n-1)I_{n-2},\,} n I n = cos n − 1 ( x ) sin x + ( n − 1 ) I n − 2 , {\displaystyle nI_{n}\ =\cos ^{n-1}(x)\sin x\ +(n-1)I_{n-2},\,} I n = 1 n cos n − 1 x sin x + n − 1 n I n − 2 , {\displaystyle I_{n}\ ={\frac {1}{n}}\cos ^{n-1}x\sin x\ +{\frac {n-1}{n}}I_{n-2},\,} так что формула редукции:
∫ cos n x d x = 1 n cos n − 1 x sin x + n − 1 n ∫ cos n − 2 x d x . {\displaystyle \int \cos ^{n}x\,{\text{d}}x\ ={\frac {1}{n}}\cos ^{n-1}x\sin x+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}x\,{\text{d}}x.\!} Чтобы дополнить пример, приведенное выше можно использовать для вычисления интеграла для (скажем) n = 5;
I 5 = ∫ cos 5 x d x . {\displaystyle I_{5}=\int \cos ^{5}x\,{\text{d}}x.\,\!} Расчет нижних показателей:
n = 5 , I 5 = 1 5 cos 4 x sin x + 4 5 I 3 , {\displaystyle n=5,\quad I_{5}={\tfrac {1}{5}}\cos ^{4}x\sin x+{\tfrac {4}{5}}I_{3},\,} n = 3 , I 3 = 1 3 cos 2 x sin x + 2 3 I 1 , {\displaystyle n=3,\quad I_{3}={\tfrac {1}{3}}\cos ^{2}x\sin x+{\tfrac {2}{3}}I_{1},\,} обратное замещение:
∵ I 1 = ∫ cos x d x = sin x + C 1 , {\displaystyle \because I_{1}\ =\int \cos x\,{\text{d}}x=\sin x+C_{1},\,} ∴ I 3 = 1 3 cos 2 x sin x + 2 3 sin x + C 2 , C 2 = 2 3 C 1 , {\displaystyle \therefore I_{3}\ ={\tfrac {1}{3}}\cos ^{2}x\sin x+{\tfrac {2}{3}}\sin x+C_{2},\quad C_{2}\ ={\tfrac {2}{3}}C_{1},\,} I 5 = 1 5 cos 4 x sin x + 4 5 [ 1 3 cos 2 x sin x + 2 3 sin x ] + C , {\displaystyle I_{5}\ ={\frac {1}{5}}\cos ^{4}x\sin x+{\frac {4}{5}}\left[{\frac {1}{3}}\cos ^{2}x\sin x+{\frac {2}{3}}\sin x\right]+C,\,} где C - постоянная.
Экспоненциальный интеграл
Другой типичный пример:
∫ x n e a x d x . {\displaystyle \int x^{n}e^{ax}\,{\text{d}}x.\,\!} Начните с установки:
I n = ∫ x n e a x d x . {\displaystyle I_{n}=\int x^{n}e^{ax}\,{\text{d}}x.\,\!} Интегрируем заменой:
x n d x = d ( x n + 1 ) n + 1 , {\displaystyle x^{n}\,{\text{d}}x={\frac {{\text{d}}(x^{n+1})}{n+1}},\,\!} I n = 1 n + 1 ∫ e a x d ( x n + 1 ) , {\displaystyle I_{n}={\frac {1}{n+1}}\int e^{ax}\,{\text{d}}(x^{n+1}),\!} Теперь интегрируем по частям:
∫ e a x d ( x n + 1 ) = x n + 1 e a x − ∫ x n + 1 d ( e a x ) = x n + 1 e a x − a ∫ x n + 1 e a x d x , {\displaystyle {\begin{aligned}\int e^{ax}\,{\text{d}}(x^{n+1})&=x^{n+1}e^{ax}-\int x^{n+1}\,{\text{d}}(e^{ax})\\&=x^{n+1}e^{ax}-a\int x^{n+1}e^{ax}\,{\text{d}}x,\end{aligned}}\!} ( n + 1 ) I n = x n + 1 e a x − a I n + 1 , {\displaystyle (n+1)I_{n}=x^{n+1}e^{ax}-aI_{n+1},\!} сдвиг индексов назад на 1 (так что n + 1 → n , n → n - 1):
n I n − 1 = x n e a x − a I n , {\displaystyle nI_{n-1}=x^{n}e^{ax}-aI_{n},\!} решение для I n :
I n = 1 a ( x n e a x − n I n − 1 ) , {\displaystyle I_{n}={\frac {1}{a}}\left(x^{n}e^{ax}-nI_{n-1}\right),\,\!} так что формула редукции:
∫ x n e a x d x = 1 a ( x n e a x − n ∫ x n − 1 e a x d x ) . {\displaystyle \int x^{n}e^{ax}\,{\text{d}}x={\frac {1}{a}}\left(x^{n}e^{ax}-n\int x^{n-1}e^{ax}\,{\text{d}}x\right).\!} Альтернативный способ вывода начинается с подстановки . e a x {\displaystyle e^{ax}}
Интеграция заменой:
e a x d x = d ( e a x ) a , {\displaystyle e^{ax}\,{\text{d}}x={\frac {{\text{d}}(e^{ax})}{a}},\,\!}
I n = 1 a ∫ x n d ( e a x ) , {\displaystyle I_{n}={\frac {1}{a}}\int x^{n}\,{\text{d}}(e^{ax}),\!}
Теперь интегрируем по частям:
∫ x n d ( e a x ) = x n e a x − ∫ e a x d ( x n ) = x n e a x − n ∫ e a x x n − 1 d x , {\displaystyle {\begin{aligned}\int x^{n}\,{\text{d}}(e^{ax})&=x^{n}e^{ax}-\int e^{ax}\,{\text{d}}(x^{n})\\&=x^{n}e^{ax}-n\int e^{ax}x^{n-1}\,{\text{d}}x,\end{aligned}}\!}
что дает формулу сокращения при обратной подстановке:
I n = 1 a ( x n e a x − n I n − 1 ) , {\displaystyle I_{n}={\frac {1}{a}}\left(x^{n}e^{ax}-nI_{n-1}\right),\,\!}
что эквивалентно:
∫ x n e a x d x = 1 a ( x n e a x − n ∫ x n − 1 e a x d x ) . {\displaystyle \int x^{n}e^{ax}\,{\text{d}}x={\frac {1}{a}}\left(x^{n}e^{ax}-n\int x^{n-1}e^{ax}\,{\text{d}}x\right).\!} Таблицы формул интегральной редукции [ править ] Рациональные функции [ править ] Следующие интегралы [3] содержат:
Факторы линейного радикала a x + b {\displaystyle {\sqrt {ax+b}}\,\!} Линейные множители и линейный радикал p x + q {\displaystyle {px+q}\,\!} a x + b {\displaystyle {\sqrt {ax+b}}\,\!} Квадратичные факторы x 2 + a 2 {\displaystyle x^{2}+a^{2}\,\!} Квадратичные множители для x 2 − a 2 {\displaystyle x^{2}-a^{2}\,\!} x > a {\displaystyle x>a\,\!} Квадратичные множители для a 2 − x 2 {\displaystyle a^{2}-x^{2}\,\!} x < a {\displaystyle x<a\,\!} ( Неприводимые ) квадратичные множители a x 2 + b x + c {\displaystyle ax^{2}+bx+c\,\!} Радикалы неприводимых квадратичных множителей a x 2 + b x + c {\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}\,\!} интеграл Формула приведения I n = ∫ x n a x + b d x {\displaystyle I_{n}=\int {\frac {x^{n}}{\sqrt {ax+b}}}\,{\text{d}}x\,\!} I n = 2 x n a x + b a ( 2 n + 1 ) − 2 n b a ( 2 n + 1 ) I n − 1 {\displaystyle I_{n}={\frac {2x^{n}{\sqrt {ax+b}}}{a(2n+1)}}-{\frac {2nb}{a(2n+1)}}I_{n-1}\,\!} I n = ∫ d x x n a x + b {\displaystyle I_{n}=\int {\frac {{\text{d}}x}{x^{n}{\sqrt {ax+b}}}}\,\!} I n = − a x + b ( n − 1 ) b x n − 1 − a ( 2 n − 3 ) 2 b ( n − 1 ) I n − 1 {\displaystyle I_{n}=-{\frac {\sqrt {ax+b}}{(n-1)bx^{n-1}}}-{\frac {a(2n-3)}{2b(n-1)}}I_{n-1}\,\!} I n = ∫ x n a x + b d x {\displaystyle I_{n}=\int x^{n}{\sqrt {ax+b}}\,{\text{d}}x\,\!} I n = 2 x n ( a x + b ) 3 a ( 2 n + 3 ) − 2 n b a ( 2 n + 3 ) I n − 1 {\displaystyle I_{n}={\frac {2x^{n}{\sqrt {(ax+b)^{3}}}}{a(2n+3)}}-{\frac {2nb}{a(2n+3)}}I_{n-1}\,\!} I m , n = ∫ d x ( a x + b ) m ( p x + q ) n {\displaystyle I_{m,n}=\int {\frac {{\text{d}}x}{(ax+b)^{m}(px+q)^{n}}}\,\!} I m , n = { − 1 ( n − 1 ) ( b p − a q ) [ 1 ( a x + b ) m − 1 ( p x + q ) n − 1 + a ( m + n − 2 ) I m , n − 1 ] 1 ( m − 1 ) ( b p − a q ) [ 1 ( a x + b ) m − 1 ( p x + q ) n − 1 + p ( m + n − 2 ) I m − 1 , n ] {\displaystyle I_{m,n}={\begin{cases}-{\frac {1}{(n-1)(bp-aq)}}\left[{\frac {1}{(ax+b)^{m-1}(px+q)^{n-1}}}+a(m+n-2)I_{m,n-1}\right]\\{\frac {1}{(m-1)(bp-aq)}}\left[{\frac {1}{(ax+b)^{m-1}(px+q)^{n-1}}}+p(m+n-2)I_{m-1,n}\right]\end{cases}}\,\!} I m , n = ∫ ( a x + b ) m ( p x + q ) n d x {\displaystyle I_{m,n}=\int {\frac {(ax+b)^{m}}{(px+q)^{n}}}\,{\text{d}}x\,\!} I m , n = { − 1 ( n − 1 ) ( b p − a q ) [ ( a x + b ) m + 1 ( p x + q ) n − 1 + a ( n − m − 2 ) I m , n − 1 ] − 1 ( n − m − 1 ) p [ ( a x + b ) m ( p x + q ) n − 1 + m ( b p − a q ) I m − 1 , n ] − 1 ( n − 1 ) p [ ( a x + b ) m ( p x + q ) n − 1 − a m I m − 1 , n − 1 ] {\displaystyle I_{m,n}={\begin{cases}-{\frac {1}{(n-1)(bp-aq)}}\left[{\frac {(ax+b)^{m+1}}{(px+q)^{n-1}}}+a(n-m-2)I_{m,n-1}\right]\\-{\frac {1}{(n-m-1)p}}\left[{\frac {(ax+b)^{m}}{(px+q)^{n-1}}}+m(bp-aq)I_{m-1,n}\right]\\-{\frac {1}{(n-1)p}}\left[{\frac {(ax+b)^{m}}{(px+q)^{n-1}}}-amI_{m-1,n-1}\right]\end{cases}}\,\!}
интеграл Формула приведения I n = ∫ d x ( x 2 + a 2 ) n {\displaystyle I_{n}=\int {\frac {{\text{d}}x}{(x^{2}+a^{2})^{n}}}\,\!} I n = x 2 a 2 ( n − 1 ) ( x 2 + a 2 ) n − 1 + 2 n − 3 2 a 2 ( n − 1 ) I n − 1 {\displaystyle I_{n}={\frac {x}{2a^{2}(n-1)(x^{2}+a^{2})^{n-1}}}+{\frac {2n-3}{2a^{2}(n-1)}}I_{n-1}\,\!} I n , m = ∫ d x x m ( x 2 + a 2 ) n {\displaystyle I_{n,m}=\int {\frac {{\text{d}}x}{x^{m}(x^{2}+a^{2})^{n}}}\,\!} a 2 I n , m = I m , n − 1 − I m − 2 , n {\displaystyle a^{2}I_{n,m}=I_{m,n-1}-I_{m-2,n}\,\!} I n , m = ∫ x m ( x 2 + a 2 ) n d x {\displaystyle I_{n,m}=\int {\frac {x^{m}}{(x^{2}+a^{2})^{n}}}\,{\text{d}}x\,\!} I n , m = I m − 2 , n − 1 − a 2 I m − 2 , n {\displaystyle I_{n,m}=I_{m-2,n-1}-a^{2}I_{m-2,n}\,\!}
интеграл Формула приведения I n = ∫ d x ( x 2 − a 2 ) n {\displaystyle I_{n}=\int {\frac {{\text{d}}x}{(x^{2}-a^{2})^{n}}}\,\!} I n = − x 2 a 2 ( n − 1 ) ( x 2 − a 2 ) n − 1 − 2 n − 3 2 a 2 ( n − 1 ) I n − 1 {\displaystyle I_{n}=-{\frac {x}{2a^{2}(n-1)(x^{2}-a^{2})^{n-1}}}-{\frac {2n-3}{2a^{2}(n-1)}}I_{n-1}\,\!} I n , m = ∫ d x x m ( x 2 − a 2 ) n {\displaystyle I_{n,m}=\int {\frac {{\text{d}}x}{x^{m}(x^{2}-a^{2})^{n}}}\,\!} a 2 I n , m = I m − 2 , n − I m , n − 1 {\displaystyle {a^{2}}I_{n,m}=I_{m-2,n}-I_{m,n-1}\,\!} I n , m = ∫ x m ( x 2 − a 2 ) n d x {\displaystyle I_{n,m}=\int {\frac {x^{m}}{(x^{2}-a^{2})^{n}}}\,{\text{d}}x\,\!} I n , m = I m − 2 , n − 1 + a 2 I m − 2 , n {\displaystyle I_{n,m}=I_{m-2,n-1}+a^{2}I_{m-2,n}\,\!}
интеграл Формула приведения I n = ∫ d x ( a 2 − x 2 ) n {\displaystyle I_{n}=\int {\frac {{\text{d}}x}{(a^{2}-x^{2})^{n}}}\,\!} I n = x 2 a 2 ( n − 1 ) ( a 2 − x 2 ) n − 1 + 2 n − 3 2 a 2 ( n − 1 ) I n − 1 {\displaystyle I_{n}={\frac {x}{2a^{2}(n-1)(a^{2}-x^{2})^{n-1}}}+{\frac {2n-3}{2a^{2}(n-1)}}I_{n-1}\,\!} I n , m = ∫ d x x m ( a 2 − x 2 ) n {\displaystyle I_{n,m}=\int {\frac {{\text{d}}x}{x^{m}(a^{2}-x^{2})^{n}}}\,\!} a 2 I n , m = I m , n − 1 + I m − 2 , n {\displaystyle {a^{2}}I_{n,m}=I_{m,n-1}+I_{m-2,n}\,\!} I n , m = ∫ x m ( a 2 − x 2 ) n d x {\displaystyle I_{n,m}=\int {\frac {x^{m}}{(a^{2}-x^{2})^{n}}}\,{\text{d}}x\,\!} I n , m = a 2 I m − 2 , n − I m − 2 , n − 1 {\displaystyle I_{n,m}=a^{2}I_{m-2,n}-I_{m-2,n-1}\,\!}
интеграл Формула приведения I n = ∫ d x x n ( a x 2 + b x + c ) {\displaystyle I_{n}=\int {\frac {{\text{d}}x}{{x^{n}}(ax^{2}+bx+c)}}\,\!} − c I n = 1 x n − 1 ( n − 1 ) + b I n − 1 + a I n − 2 {\displaystyle -cI_{n}={\frac {1}{x^{n-1}(n-1)}}+bI_{n-1}+aI_{n-2}\,\!} I m , n = ∫ x m d x ( a x 2 + b x + c ) n {\displaystyle I_{m,n}=\int {\frac {x^{m}\,{\text{d}}x}{(ax^{2}+bx+c)^{n}}}\,\!} I m , n = − x m − 1 a ( 2 n − m − 1 ) ( a x 2 + b x + c ) n − 1 − b ( n − m ) a ( 2 n − m − 1 ) I m − 1 , n + c ( m − 1 ) a ( 2 n − m − 1 ) I m − 2 , n {\displaystyle I_{m,n}=-{\frac {x^{m-1}}{a(2n-m-1)(ax^{2}+bx+c)^{n-1}}}-{\frac {b(n-m)}{a(2n-m-1)}}I_{m-1,n}+{\frac {c(m-1)}{a(2n-m-1)}}I_{m-2,n}\,\!} I m , n = ∫ d x x m ( a x 2 + b x + c ) n {\displaystyle I_{m,n}=\int {\frac {{\text{d}}x}{x^{m}(ax^{2}+bx+c)^{n}}}\,\!} − c ( m − 1 ) I m , n = 1 x m − 1 ( a x 2 + b x + c ) n − 1 + a ( m + 2 n − 3 ) I m − 2 , n + b ( m + n − 2 ) I m − 1 , n {\displaystyle -c(m-1)I_{m,n}={\frac {1}{x^{m-1}(ax^{2}+bx+c)^{n-1}}}+{a(m+2n-3)}I_{m-2,n}+{b(m+n-2)}I_{m-1,n}\,\!}
интеграл Формула приведения I n = ∫ ( a x 2 + b x + c ) n d x {\displaystyle I_{n}=\int (ax^{2}+bx+c)^{n}\,{\text{d}}x\,\!} 8 a ( n + 1 ) I n + 1 2 = 2 ( 2 a x + b ) ( a x 2 + b x + c ) n + 1 2 + ( 2 n + 1 ) ( 4 a c − b 2 ) I n − 1 2 {\displaystyle 8a(n+1)I_{n+{\frac {1}{2}}}=2(2ax+b)(ax^{2}+bx+c)^{n+{\frac {1}{2}}}+(2n+1)(4ac-b^{2})I_{n-{\frac {1}{2}}}\,\!} I n = ∫ 1 ( a x 2 + b x + c ) n d x {\displaystyle I_{n}=\int {\frac {1}{(ax^{2}+bx+c)^{n}}}\,{\text{d}}x\,\!} ( 2 n − 1 ) ( 4 a c − b 2 ) I n + 1 2 = 2 ( 2 a x + b ) ( a x 2 + b x + c ) n − 1 2 + 8 a ( n − 1 ) I n − 1 2 {\displaystyle (2n-1)(4ac-b^{2})I_{n+{\frac {1}{2}}}={\frac {2(2ax+b)}{(ax^{2}+bx+c)^{n-{\frac {1}{2}}}}}+{8a(n-1)}I_{n-{\frac {1}{2}}}\,\!}
Отметим, что по законам индексов :
I n + 1 2 = I 2 n + 1 2 = ∫ 1 ( a x 2 + b x + c ) 2 n + 1 2 d x = ∫ 1 ( a x 2 + b x + c ) 2 n + 1 d x {\displaystyle I_{n+{\frac {1}{2}}}=I_{\frac {2n+1}{2}}=\int {\frac {1}{(ax^{2}+bx+c)^{\frac {2n+1}{2}}}}\,{\text{d}}x=\int {\frac {1}{\sqrt {(ax^{2}+bx+c)^{2n+1}}}}\,{\text{d}}x\,\!} Трансцендентальные функции [ править ] Основная статья: Трансцендентальная функция
Следующие интегралы [4] содержат:
Факторы синуса Коэффициенты косинуса Коэффициенты произведений и частных синусов и косинусов Произведения / отношения экспоненциальных множителей и степеней x Произведение экспоненциального множителя и синуса / косинуса интеграл Формула приведения I n = ∫ x n sin a x d x {\displaystyle I_{n}=\int x^{n}\sin {ax}\,{\text{d}}x\,\!} a 2 I n = − a x n cos a x + n x n − 1 sin a x − n ( n − 1 ) I n − 2 {\displaystyle a^{2}I_{n}=-ax^{n}\cos {ax}+nx^{n-1}\sin {ax}-n(n-1)I_{n-2}\,\!} J n = ∫ x n cos a x d x {\displaystyle J_{n}=\int x^{n}\cos {ax}\,{\text{d}}x\,\!} a 2 J n = a x n sin a x + n x n − 1 cos a x − n ( n − 1 ) J n − 2 {\displaystyle a^{2}J_{n}=ax^{n}\sin {ax}+nx^{n-1}\cos {ax}-n(n-1)J_{n-2}\,\!} I n = ∫ sin a x x n d x {\displaystyle I_{n}=\int {\frac {\sin {ax}}{x^{n}}}\,{\text{d}}x\,\!} J n = ∫ cos a x x n d x {\displaystyle J_{n}=\int {\frac {\cos {ax}}{x^{n}}}\,{\text{d}}x\,\!}
I n = − sin a x ( n − 1 ) x n − 1 + a n − 1 J n − 1 {\displaystyle I_{n}=-{\frac {\sin {ax}}{(n-1)x^{n-1}}}+{\frac {a}{n-1}}J_{n-1}\,\!} J n = − cos a x ( n − 1 ) x n − 1 − a n − 1 I n − 1 {\displaystyle J_{n}=-{\frac {\cos {ax}}{(n-1)x^{n-1}}}-{\frac {a}{n-1}}I_{n-1}\,\!}
формулы можно объединить, чтобы получить отдельные уравнения в I n :
J n − 1 = − cos a x ( n − 2 ) x n − 2 − a n − 2 I n − 2 {\displaystyle J_{n-1}=-{\frac {\cos {ax}}{(n-2)x^{n-2}}}-{\frac {a}{n-2}}I_{n-2}\,\!}
I n = − sin a x ( n − 1 ) x n − 1 − a n − 1 [ cos a x ( n − 2 ) x n − 2 + a n − 2 I n − 2 ] {\displaystyle I_{n}=-{\frac {\sin {ax}}{(n-1)x^{n-1}}}-{\frac {a}{n-1}}\left[{\frac {\cos {ax}}{(n-2)x^{n-2}}}+{\frac {a}{n-2}}I_{n-2}\right]\,\!}
∴ I n = − sin a x ( n − 1 ) x n − 1 − a ( n − 1 ) ( n − 2 ) ( cos a x x n − 2 + a I n − 2 ) {\displaystyle \therefore I_{n}=-{\frac {\sin {ax}}{(n-1)x^{n-1}}}-{\frac {a}{(n-1)(n-2)}}\left({\frac {\cos {ax}}{x^{n-2}}}+aI_{n-2}\right)\,\!}
и J n :
I n − 1 = − sin a x ( n − 2 ) x n − 2 + a n − 2 J n − 2 {\displaystyle I_{n-1}=-{\frac {\sin {ax}}{(n-2)x^{n-2}}}+{\frac {a}{n-2}}J_{n-2}\,\!}
J n = − cos a x ( n − 1 ) x n − 1 − a n − 1 [ − sin a x ( n − 2 ) x n − 2 + a n − 2 J n − 2 ] {\displaystyle J_{n}=-{\frac {\cos {ax}}{(n-1)x^{n-1}}}-{\frac {a}{n-1}}\left[-{\frac {\sin {ax}}{(n-2)x^{n-2}}}+{\frac {a}{n-2}}J_{n-2}\right]\,\!}
∴ J n = − cos a x ( n − 1 ) x n − 1 − a ( n − 1 ) ( n − 2 ) ( − sin a x x n − 2 + a J n − 2 ) {\displaystyle \therefore J_{n}=-{\frac {\cos {ax}}{(n-1)x^{n-1}}}-{\frac {a}{(n-1)(n-2)}}\left(-{\frac {\sin {ax}}{x^{n-2}}}+aJ_{n-2}\right)\,\!}
I n = ∫ sin n a x d x {\displaystyle I_{n}=\int \sin ^{n}{ax}\,{\text{d}}x\,\!} a n I n = − sin n − 1 a x cos a x + a ( n − 1 ) I n − 2 {\displaystyle anI_{n}=-\sin ^{n-1}{ax}\cos {ax}+a(n-1)I_{n-2}\,\!} J n = ∫ cos n a x d x {\displaystyle J_{n}=\int \cos ^{n}{ax}\,{\text{d}}x\,\!} a n J n = sin a x cos n − 1 a x + a ( n − 1 ) J n − 2 {\displaystyle anJ_{n}=\sin {ax}\cos ^{n-1}{ax}+a(n-1)J_{n-2}\,\!} I n = ∫ d x sin n a x {\displaystyle I_{n}=\int {\frac {{\text{d}}x}{\sin ^{n}{ax}}}\,\!} ( n − 1 ) I n = − cos a x a sin n − 1 a x + ( n − 2 ) I n − 2 {\displaystyle (n-1)I_{n}=-{\frac {\cos {ax}}{a\sin ^{n-1}{ax}}}+(n-2)I_{n-2}\,\!} J n = ∫ d x cos n a x {\displaystyle J_{n}=\int {\frac {{\text{d}}x}{\cos ^{n}{ax}}}\,\!} ( n − 1 ) J n = sin a x a cos n − 1 a x + ( n − 2 ) J n − 2 {\displaystyle (n-1)J_{n}={\frac {\sin {ax}}{a\cos ^{n-1}{ax}}}+(n-2)J_{n-2}\,\!}
интеграл Формула приведения I m , n = ∫ sin m a x cos n a x d x {\displaystyle I_{m,n}=\int \sin ^{m}{ax}\cos ^{n}{ax}\,{\text{d}}x\,\!} I m , n = { − sin m − 1 a x cos n + 1 a x a ( m + n ) + m − 1 m + n I m − 2 , n sin m + 1 a x cos n − 1 a x a ( m + n ) + n − 1 m + n I m , n − 2 {\displaystyle I_{m,n}={\begin{cases}-{\frac {\sin ^{m-1}{ax}\cos ^{n+1}{ax}}{a(m+n)}}+{\frac {m-1}{m+n}}I_{m-2,n}\\{\frac {\sin ^{m+1}{ax}\cos ^{n-1}{ax}}{a(m+n)}}+{\frac {n-1}{m+n}}I_{m,n-2}\\\end{cases}}\,\!} I m , n = ∫ d x sin m a x cos n a x {\displaystyle I_{m,n}=\int {\frac {{\text{d}}x}{\sin ^{m}{ax}\cos ^{n}{ax}}}\,\!} I m , n = { 1 a ( n − 1 ) sin m − 1 a x cos n − 1 a x + m + n − 2 n − 1 I m , n − 2 − 1 a ( m − 1 ) sin m − 1 a x cos n − 1 a x + m + n − 2 m − 1 I m − 2 , n {\displaystyle I_{m,n}={\begin{cases}{\frac {1}{a(n-1)\sin ^{m-1}{ax}\cos ^{n-1}{ax}}}+{\frac {m+n-2}{n-1}}I_{m,n-2}\\-{\frac {1}{a(m-1)\sin ^{m-1}{ax}\cos ^{n-1}{ax}}}+{\frac {m+n-2}{m-1}}I_{m-2,n}\\\end{cases}}\,\!} I m , n = ∫ sin m a x cos n a x d x {\displaystyle I_{m,n}=\int {\frac {\sin ^{m}{ax}}{\cos ^{n}{ax}}}\,{\text{d}}x\,\!} I m , n = { sin m − 1 a x a ( n − 1 ) cos n − 1 a x − m − 1 n − 1 I m − 2 , n − 2 sin m + 1 a x a ( n − 1 ) cos n − 1 a x − m − n + 2 n − 1 I m , n − 2 − sin m − 1 a x a ( m − n ) cos n − 1 a x + m − 1 m − n I m − 2 , n {\displaystyle I_{m,n}={\begin{cases}{\frac {\sin ^{m-1}{ax}}{a(n-1)\cos ^{n-1}{ax}}}-{\frac {m-1}{n-1}}I_{m-2,n-2}\\{\frac {\sin ^{m+1}{ax}}{a(n-1)\cos ^{n-1}{ax}}}-{\frac {m-n+2}{n-1}}I_{m,n-2}\\-{\frac {\sin ^{m-1}{ax}}{a(m-n)\cos ^{n-1}{ax}}}+{\frac {m-1}{m-n}}I_{m-2,n}\\\end{cases}}\,\!} I m , n = ∫ cos m a x sin n a x d x {\displaystyle I_{m,n}=\int {\frac {\cos ^{m}{ax}}{\sin ^{n}{ax}}}\,{\text{d}}x\,\!} I m , n = { − cos m − 1 a x a ( n − 1 ) sin n − 1 a x − m − 1 n − 1 I m − 2 , n − 2 − cos m + 1 a x a ( n − 1 ) sin n − 1 a x − m − n + 2 n − 1 I m , n − 2 cos m − 1 a x a ( m − n ) sin n − 1 a x + m − 1 m − n I m − 2 , n {\displaystyle I_{m,n}={\begin{cases}-{\frac {\cos ^{m-1}{ax}}{a(n-1)\sin ^{n-1}{ax}}}-{\frac {m-1}{n-1}}I_{m-2,n-2}\\-{\frac {\cos ^{m+1}{ax}}{a(n-1)\sin ^{n-1}{ax}}}-{\frac {m-n+2}{n-1}}I_{m,n-2}\\{\frac {\cos ^{m-1}{ax}}{a(m-n)\sin ^{n-1}{ax}}}+{\frac {m-1}{m-n}}I_{m-2,n}\\\end{cases}}\,\!}
интеграл Формула приведения I n = ∫ x n e a x d x {\displaystyle I_{n}=\int x^{n}e^{ax}\,{\text{d}}x\,\!} n > 0 {\displaystyle n>0\,\!}
I n = x n e a x a − n a I n − 1 {\displaystyle I_{n}={\frac {x^{n}e^{ax}}{a}}-{\frac {n}{a}}I_{n-1}\,\!} I n = ∫ x − n e a x d x {\displaystyle I_{n}=\int x^{-n}e^{ax}\,{\text{d}}x\,\!} n > 0 {\displaystyle n>0\,\!}
n ≠ 1 {\displaystyle n\neq 1\,\!}
I n = − e a x ( n − 1 ) x n − 1 + a n − 1 I n − 1 {\displaystyle I_{n}={\frac {-e^{ax}}{(n-1)x^{n-1}}}+{\frac {a}{n-1}}I_{n-1}\,\!} I n = ∫ e a x sin n b x d x {\displaystyle I_{n}=\int e^{ax}\sin ^{n}{bx}\,{\text{d}}x\,\!} I n = e a x sin n − 1 b x a 2 + ( b n ) 2 ( a sin b x − b n cos b x ) + n ( n − 1 ) b 2 a 2 + ( b n ) 2 I n − 2 {\displaystyle I_{n}={\frac {e^{ax}\sin ^{n-1}{bx}}{a^{2}+(bn)^{2}}}\left(a\sin bx-bn\cos bx\right)+{\frac {n(n-1)b^{2}}{a^{2}+(bn)^{2}}}I_{n-2}\,\!} I n = ∫ e a x cos n b x d x {\displaystyle I_{n}=\int e^{ax}\cos ^{n}{bx}\,{\text{d}}x\,\!} I n = e a x cos n − 1 b x a 2 + ( b n ) 2 ( a cos b x + b n sin b x ) + n ( n − 1 ) b 2 a 2 + ( b n ) 2 I n − 2 {\displaystyle I_{n}={\frac {e^{ax}\cos ^{n-1}{bx}}{a^{2}+(bn)^{2}}}\left(a\cos bx+bn\sin bx\right)+{\frac {n(n-1)b^{2}}{a^{2}+(bn)^{2}}}I_{n-2}\,\!}
Ссылки [ править ] ^ Математические методы для физики и инженерии, KF Riley, MP Hobson, SJ Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3 ^ Дальнейший элементарный анализ, Р. И. Портер, G. Bell & Sons Ltd, 1978, ISBN 0-7135-1594-5 ^ http://www.sosmath.com/tables/tables.html -> Список неопределенных интегралов ^ http://www.sosmath.com/tables/tables.html -> Список неопределенных интегралов Библиография [ править ] В Викиучебнике есть книга по темам: Исчисление / Методы интеграции / Формула редукции.
Антон, Бивенс, Дэвис, Исчисление, 7-е издание. Интеграл Римана Интеграл Лебега Интеграл Беркилла Интеграл Бохнера Даниэль интеграл Интеграл Дарбу Интеграл Хенстока – Курцвейла Интеграл Хаара Интеграл Хеллингера Хинчин интеграл Колмогоровский интеграл Интеграл Лебега – Стилтьеса. Интеграл Петтиса Интеграл Пфеффера Интеграл Римана – Стилтьеса. Регулируемый интеграл ЗаменаТригонометрический Эйлер Weierstrass По частям Неполные фракции Формула Эйлера Обратные функции Изменение порядка Формулы приведения Параметрические производные Дифференцирование под знаком интеграла Преобразование Лапласа Контурная интеграция Метод Лапласа Численное интегрированиеПравило Симпсона Трапецеидальная линейка Алгоритм риша Гауссов интеграл Интеграл Дирихле Интеграл Ферми – Дирака Интеграл Бозе – Эйнштейна Интеграл Фруллани Общие интегралы в квантовой теории поля Ито интегральный Интеграл Руссо – Валлуа Интеграл Стратоновича Скороход интеграл Базельская проблема Формула Эйлера – Маклорена Рог Габриэля Пчела интеграции Доказательство того, что 22/7 превышает π Объемы