Квартальный период

В математике , то периоды квартала K ( м ) и я К  '( т ) являются специальными функциями , которые появляются в теории эллиптических функций .

Периоды четверти K и i K  ′ задаются формулами

${\ Displaystyle К (м) = \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {d \ theta} {\ sqrt {1-m \ sin ^ {2} \ theta} }}}$

и

${\ Displaystyle {\ rm {я}} К '(м) = {\ rm {я}} К (1-м). \,}$

Когда m - действительное число, 0 < m <1, тогда и K, и K  ′ являются действительными числами. По соглашению K называется периодом действительной четверти, а i K  ′ - периодом воображаемой четверти . Любое из чисел m , K , K  ′ или K  ′ / K однозначно определяет остальные.

Эти функции появляются в теории эллиптических функций Якоби ; они называются четверть периодов, потому что эллиптические функции и являются периодическими функциями с периодами и .${\ displaystyle {\ rm {sn}} и \,}$${\ displaystyle {\ rm {cn}} и \,}$${\displaystyle 4K\,}$${\displaystyle 4{\rm {i}}K'\,}$

Обозначение [ править ]

Четверть периодов, по сути, представляют собой эллиптический интеграл первого рода после замены . В этом случае вы пишете вместо , понимание разницы между ними в нотации зависит от того, используется ли или . Это различие в обозначениях породило терминологию:${\displaystyle k^{2}=m\,}$${\displaystyle K(k)\,}$${\displaystyle K(m)\,}$${\displaystyle k\,}$${\displaystyle m\,}$

• ${\displaystyle m\,}$называется параметром
• ${\displaystyle m_{1}=1-m\,}$называется дополнительным параметром
• ${\displaystyle k\,}$называется эллиптическим модулем
• ${\displaystyle k'\,}$называется дополнительным эллиптическим модулем , где${\displaystyle {k'}^{2}=m_{1}\,\!}$
• ${\displaystyle \alpha \,\!}$модульный угол , где${\displaystyle k=\sin \alpha \,\!}$
• ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-\alpha \,\!}$дополняют друг друга модульный угол . Обратите внимание, что

${\displaystyle m_{1}=\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\cos ^{2}\alpha .\,\!}$

Эллиптический модуль можно выразить через периоды четверти как

${\displaystyle k={\textrm {ns}}(K+{\rm {i}}K')\,\!}$

и

${\displaystyle k'={\textrm {dn}}K\,}$

где ns и dn эллиптические функции Якоби .

Нома дается${\displaystyle q\,}$

${\displaystyle q=e^{-{\frac {\pi K'}{K}}}.\,}$

Дополняют друг друга нома задается

${\displaystyle q_{1}=e^{-{\frac {\pi K}{K'}}}.\,}$

Реальный период четверти можно выразить в виде ряда Ламберта, включающего ном:

${\displaystyle K={\frac {\pi }{2}}+2\pi \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1+q^{2n}}}.\,}$

Дополнительные разложения и соотношения можно найти на странице эллиптических интегралов .

Ссылки [ править ]

• Милтон Абрамовиц и Ирен А. Стегун (1964), Справочник по математическим функциям , Dover Publications, Нью-Йорк. ISBN  0-486-61272-4 . См. Главы 16 и 17.