В математике , эллиптические функции Вейерштрассы являются эллиптическими функциями , которые принимают особенно простую форму. Они названы в честь Карла Вейерштрасса . Этот класс функций также называют p-функциями и обычно обозначают символом. Они играют важную роль в теории эллиптических функций. -Функция вместе с ее производной может использоваться для параметризации эллиптических кривых, и они генерируют поле эллиптических функций относительно заданной решетки периодов.
Определение
Позволять - два комплексных числа , линейно независимых над и разреши - решетка, порожденная этими числами. Тогда-функция определяется следующим образом:
Этот ряд сходится локально равномерно абсолютно в. Часто вместо Только написано.
Вейерштрасс -функция построена точно таким образом, что имеет полюс второго порядка в каждой точке решетки.
Потому что сумма сам по себе не сходится необходимо добавить термин . [1]
Обычно используют а также как образующие решетки. Умножение на отображает решетку изоморфно на решетку с участием . Возможно, заменив от можно предположить, что . Один комплект.
Мотивация
Кубика формы , где комплексные числа с , не могут быть рационально параметризованы. [2] Тем не менее, все еще хотят найти способ параметризации.
Для квадрики , единичный круг, существует (нерациональная) параметризация с использованием функции синуса и ее производной функции косинуса:
- .
Из-за периодичности синуса и косинуса выбирается в качестве области определения, поэтому функция биективна.
Аналогичным образом можно получить параметризацию с помощью двоякопериодического -функция (см. раздел «Связь с эллиптическими кривыми»). Эта параметризация имеет домен, который топологически эквивалентен тору . [3]
Есть еще одна аналогия с тригонометрическими функциями. Рассмотрим интегральную функцию
- .
Его можно упростить, подставив а также :
- .
Это означает . Таким образом, синусоидальная функция является обратной функцией интегральной функции. [4]
Эллиптические функции также являются функциями, обратными интегральным функциям, а именно эллиптическим интегралам . В частности-функция получается следующим образом:
Позволять
- .
потом можно продолжить до комплексной плоскости, и это расширение равно -функция. [5]
Характеристики
- ℘ - четная функция. Это означает для всех , что можно увидеть так:
Второе последнее равенство выполняется, потому что . Поскольку сумма абсолютно сходится, эта перестановка не меняет предела.
- Мероморфен и его производная [6]
- .
- а также двоякопериодичны с периодами унд . [6] Это означает:
- а также .
Следует, что а также для всех . Функции, которые являются мероморфными и двоякопериодическими, также называются эллиптическими функциями .
Расширение Лорана
Позволять . Тогда для в -функция имеет следующее расширение Лорана
где
- для так называемые серии Эйзенштейна . [6]
Дифференциальное уравнение
Набор а также . Тогда-функция удовлетворяет дифференциальному уравнению [6]
- .
Это соотношение можно проверить, составив линейную комбинацию степеней а также устранить полюс на . Это дает целую эллиптическую функцию, которая должна быть постоянной по теореме Лиувилля . [6]
Инварианты
Коэффициенты вышеуказанного дифференциального уравнения g 2 и g 3 известны как инварианты . Потому что они опираются на решетку их можно рассматривать как функции в а также .
Разложение в ряд предполагает, что g 2 и g 3 являются однородными функциями степени −4 и −6. То есть [7]
- для .
Если а также выбраны таким образом, что g 2 и g 3 можно интерпретировать как функции на верхней полуплоскости .
Позволять . У одного есть: [8]
- ,
- .
Это означает, что g 2 и g 3 масштабируются только таким образом. Набор
, .
В зависимости от так называемые модульные формы.
В ряде Фурье для а также даются следующим образом: [9]
где - функция делителя и.
Модульный дискриминант
Модульное дискриминант Δ определяется как дискриминант многочлена в правой части приведенного выше дифференциального уравнения:
Дискриминант представляет собой модульную форму веса 12. То есть под действием модулярной группы он преобразуется как
где с ad - bc = 1. [10]
Обратите внимание, что где - эта функция Дедекинда . [11]
Для коэффициентов Фурье см. функцию Рамануджана тау .
Константы e 1 , e 2 и e 3
, а также обычно используются для обозначения значений -функция в полупериодах.
Они попарно различны и зависят только от решетки а не на его генераторах. [12]
, а также являются корнями кубического многочлена и связаны уравнением:
- .
Поскольку эти корни различны, дискриминант не обращается в нуль в верхней полуплоскости. [13] Теперь мы можем переписать дифференциальное уравнение:
- .
Это означает, что полупериоды - это нули .
Инварианты а также можно выразить через эти константы следующим образом: [14]
Связь с эллиптическими кривыми
Рассмотрим проективную кубическую кривую
- .
Для этой кубики, также называемой кубикой Вейерштрасса, не существует рациональной параметризации, если . [2] В этом случае ее еще называют эллиптической кривой. Тем не менее, существует параметризация, использующая-функция и ее производная : [15]
Теперь карта является взаимно однозначным и параметризует эллиптическую кривую.
является абелевой группой и топологическим пространством , наделенным фактор-топологией.
Можно показать, что каждая кубика Вейерштрасса задана таким образом. То есть для каждой пары с участием существует решетка , так что
а также . [16]
Утверждение, что эллиптические кривые над можно параметризовать по , известна как теорема модульности . Это важная теорема теории чисел . Это было частью доказательства Эндрю Уайлса (1995) Великой теоремы Ферма .
Теоремы сложения
Позволять , чтобы . Тогда есть: [17]
- .
А также формула дублирования: [17]
- .
Эти формулы также имеют геометрическую интерпретацию, если посмотреть на эллиптическую кривую вместе с отображением как в предыдущем разделе.
Групповой состав переводится в кривую и может быть геометрически интерпретирован там:
Сумма трех попарно разных точек равен нулю тогда и только тогда, когда они лежат на одной строке в . [18]
Это эквивалентно:
- ,
где , а также . [19]
Связь с эллиптическими функциями Якоби
Для численной работы часто удобно вычислять эллиптическую функцию Вейерштрасса в терминах эллиптических функций Якоби .
Основные отношения: [20]
где а также - три корня, описанные выше, и где модуль k функций Якоби равен
и их аргумент w равен
Типография
Эллиптическая функция Вейерштрасса обычно записывается довольно специальной строчной буквой script. [сноска 1]
В вычислительной технике буква ℘ используется как \wp
в TeX . В Unicode точка код U + 2118 ℘ SCRIPT КАПИТАЛ Р (HTML ℘
· ℘, &wp
), с более правильным псевдонимом Вейерштрасса эллиптической функции . [сноска 2] В HTML это может быть экранировано как ℘
.
Предварительный просмотр | ℘ | |
---|---|---|
Юникод имя | SCRIPT CAPITAL P / ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ WEIERSTRASS | |
Кодировки | десятичный | шестнадцатеричный |
Юникод | 8472 | U + 2118 |
UTF-8 | 226 132 152 | E2 84 98 |
Ссылка на числовые символы | & # 8472; | & # x2118; |
Ссылка на именованный символ | & weierp ;, & wp; |
Смотрите также
- Функции Вейерштрасса
Сноски
- ^ Этот символ использовался уже, по крайней мере, в 1890 году. Он также использовался в первом издании « Курса современного анализа», написанном Э. Уиттакером в 1902 году. [21]
- ^ Консорциум Unicode признал две проблемыс именем письмо в: письмо это на самом деле нижнем регистре, и это не является «сценарий» класс письма, какU + 1D4C5 𝓅 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ СЦЕНАРИЙ МАЛЫЙ P , но буква для эллиптической функции Вейерштрасса. Unicode добавил псевдоним в качестве исправления. [22] [23]
Рекомендации
- ↑ Апостол, Том М. (1976). Модулярные функции и ряды Дирихле в теории чисел . Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 9. ISBN 0-387-90185-X. OCLC 2121639 .
- ^ а б Хулек, Клаус. (2012), Elementare Algebraische Geometrie: Grundlegende Begriffe und Techniken mit zahlreichen Beispielen und Anwendungen (на немецком языке) (2, überarb. U. Erw. Aufl. 2012 ed.), Wiesbaden: Vieweg + Teubner Verlag, p. 8, ISBN 978-3-8348-2348-9
- ^ Рольф Бусам (2006), Funktionentheorie 1 (на немецком языке) (4., korr. Und erw. Aufl ed.), Berlin: Springer, p. 259, ISBN 978-3-540-32058-6
- ^ Джереми Грей (2015), Реальное и комплексное: история анализа в XIX веке (на немецком языке), Cham, стр. 71, ISBN 978-3-319-23715-2
- ^ Рольф Бусам (2006), Funktionentheorie 1 (на немецком языке) (4., korr. Und erw. Aufl ed.), Berlin: Springer, p. 294, ISBN 978-3-540-32058-6
- ^ а б в г д Апостол, Том М. (1976), Модульные функции и ряды Дирихле в теории чисел (на немецком языке), Нью-Йорк: Springer-Verlag, с. 11, ISBN 0-387-90185-X
- ^ Апостол, Том М. (1976). Модулярные функции и ряды Дирихле в теории чисел . Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 14. ISBN 0-387-90185-X. OCLC 2121639 .
- ^ Апостол, Том М. (1976), Модульные функции и ряды Дирихле в теории чисел (на немецком языке), Нью-Йорк: Springer-Verlag, с. 14, ISBN 0-387-90185-X
- ^ Апостол, Том М. (1990). Модулярные функции и ряды Дирихле в теории чисел (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 20. ISBN 0-387-97127-0. OCLC 20262861 .
- ^ Апостол, Том М. (1976). Модулярные функции и ряды Дирихле в теории чисел . Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 50. ISBN 0-387-90185-X. OCLC 2121639 .
- ^ Чандрасекхаран, К. (Комараволу), 1920- (1985). Эллиптические функции . Берлин: Springer-Verlag. п. 122. ISBN 0-387-15295-4. OCLC 12053023 .CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
- ^ Рольф Бусам (2006), Funktionentheorie 1 (на немецком языке) (4., korr. Und erw. Aufl ed.), Berlin: Springer, p. 270, ISBN 978-3-540-32058-6
- ^ Том М. Апостол (1976), Модульные функции и ряды Дирихле в теории чисел (на немецком языке), Нью-Йорк: Springer-Verlag, с. 13, ISBN 0-387-90185-X
- ^ К. Чандрасекхаран (1985), Эллиптические функции (на немецком языке), Берлин: Springer-Verlag, стр. 33, ISBN 0-387-15295-4
- ^ Хулек, Клаус. (2012), Elementare Algebraische Geometrie: Grundlegende Begriffe und Techniken mit zahlreichen Beispielen und Anwendungen (на немецком языке) (2, überarb. U. Erw. Aufl. 2012 ed.), Wiesbaden: Vieweg + Teubner Verlag, p. 12, ISBN 978-3-8348-2348-9
- ^ Хулек, Клаус. (2012), Elementare Algebraische Geometrie: Grundlegende Begriffe und Techniken mit zahlreichen Beispielen und Anwendungen (на немецком языке) (2, überarb. U. Erw. Aufl. 2012 ed.), Wiesbaden: Vieweg + Teubner Verlag, p. 111, ISBN 978-3-8348-2348-9
- ^ а б Рольф Бусам (2006), Funktionentheorie 1 (на немецком языке) (4., korr. Und erw. Aufl ed.), Berlin: Springer, p. 286, ISBN 978-3-540-32058-6
- ^ Рольф Бусам (2006), Funktionentheorie 1 (на немецком языке) (4., korr. Und erw. Aufl ed.), Berlin: Springer, p. 287, ISBN 978-3-540-32058-6
- ^ Рольф Бусам (2006), Funktionentheorie 1 (на немецком языке) (4., korr. Und erw. Aufl ed.), Berlin: Springer, p. 288, ISBN 978-3-540-32058-6
- ^ Корн Г.А., Корн Т.М. (1961). Математический справочник для ученых и инженеров . Нью-Йорк: Макгроу – Хилл. п. 721. LCCN 59014456 .
- ^ тейка казура (2017-08-17), буква ℘ Имя и происхождение? , MathOverflow , получено 30 августа 2018 г.
- ^ «Известные аномалии в именах символов Unicode» . Техническая записка по Unicode № 27 . версия 4. Unicode, Inc. 2017-04-10 . Проверено 20 июля 2017 .
- ^ "NameAliases-10.0.0.txt" . Unicode, Inc. 2017-05-06 . Проверено 20 июля 2017 .
- Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 18» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 627. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . Руководство по ремонту 0167642 . LCCN 65-12253 .
- Н. И. Ахиезер , Элементы теории эллиптических функций , (1970) Москва, в переводе на английский как AMS Переводы математических монографий Том 79 (1990) AMS, Род-Айленд ISBN 0-8218-4532-2
- Том М. Апостол , Модульные функции и ряды Дирихле в теории чисел, второе издание (1990), Спрингер, Нью-Йорк ISBN 0-387-97127-0 (См. Главу 1.)
- К. Чандрасекхаран, Эллиптические функции (1980), Springer-Verlag ISBN 0-387-15295-4
- Конрад Кнопп , Funktionentheorie II (1947), Dover Publications; Переиздано в английском переводе как Theory of Functions (1996), Dover Publications ISBN 0-486-69219-1
- Серж Лэнг , Эллиптические функции (1973), Аддисон-Уэсли, ISBN 0-201-04162-6
- Е. Т. Уиттакер и Г. Н. Уотсон , Курс современного анализа , Cambridge University Press , 1952, главы 20 и 21
Внешние ссылки
- "Эллиптические функции Вейерштрасса" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- Эллиптические функции Вейерштрасса на Mathworld .
- Глава 23, Эллиптические и модульные функции Вейерштрасса в DLMF ( Электронная библиотека математических функций ), написанная В.П. Рейнхардтом и П.Л. Уокером.