В математике нормальная сходимость является типом сходимости для ряда из функций . Как и абсолютная сходимость , она имеет то полезное свойство, что сохраняется при изменении порядка суммирования.
История
Концепция нормальной конвергенции была впервые введена Рене Бэром в 1908 году в его книге Leçons sur les théories générales de l'analyse .
Определение
Учитывая множество S и функции(или в любое нормированное векторное пространство ) серия
называется нормально сходящейся, если ряд равномерных норм членов ряда сходится, [1] т. е.
Отличия
Нормальная сходимость подразумевает, но не следует путать с ней, равномерную абсолютную сходимость , т. Е. Равномерную сходимость ряда неотрицательных функций.. Чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим
Тогда сериал сходится равномерно (для любого ε возьмем n ≥ 1 / ε ), но ряд равномерных норм является гармоническим рядом и поэтому расходится. Пример использования непрерывных функций можно сделать, заменив эти функции функциями выпуклости высотой 1 / n и шириной 1 с центром в каждом натуральном числе n .
Кроме того, нормальная сходимость ряда отличается от сходимости топологии нормы , то есть сходимости последовательности частичных сумм в топологии, индуцированной равномерной нормой. Нормальная сходимость влечет сходимость топологии нормы тогда и только тогда, когда рассматриваемое пространство функций полно относительно равномерной нормы. (Обратное неверно даже для полных функциональных пространств: например, рассмотрите гармонический ряд как последовательность постоянных функций).
Обобщения
Локальная нормальная конвергенция
Ряд можно назвать «локально нормально сходящимся на X », если каждая точка x в X имеет такую окрестность U , что ряд функций ƒ n, ограниченный областью U
обычно сходится, т. е. такая, что
где норма является супремумом над областью U .
Компактная нормальная сходимость
Ряд называется «нормально сходящимся на компактных подмножествах X » или «нормально нормально сходящимся на X », если для каждого компактного подмножества K в X ряд функций ƒ n, ограниченный на K
обычно сходятся на K .
Примечание : если X является локально компактным (даже в самом слабом смысле), локальная нормальная сходимость и компактная нормальная сходимость эквивалентны.
Характеристики
- Каждый нормальный сходящийся ряд сходится равномерно, локально равномерно сходится и компактно равномерно сходится. Это очень важно, поскольку гарантирует, что любое изменение порядка ряда, любые производные или интегралы ряда, а также суммы и произведения с другими сходящимися рядами будут сходиться к «правильному» значению.
- Если обычно сходится к , то любая перестановка последовательности ( ƒ 1 , ƒ 2 , ƒ 3 ...) также нормально сходится к тому же ƒ . То есть для каждой биекции , обычно сходится к .
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Соломенцев, ED (2001) [1994], "Нормальная сходимость" , Энциклопедия математики , EMS Press , ISBN 1402006098