В математике , в частности , область теории алгебраических чисел , A кубическом поле представляет собой поле алгебраических чисел от степени три.
Определение
Если К является расширение поля рациональных чисел Q от степени [ К : Q ] = 3, то К называется кубическим полем . Любое такое поле изоморфно полю вида
где F является неприводимым кубический многочлен с коэффициентами из Q . Если f имеет три действительных корня , то K называется вполне реальным кубическим полем и является примером вполне реального поля . Если, с другой стороны, f имеет невещественный корень, то K называется комплексным кубическим полем .
Кубическое поле K называется циклическим кубическим полем , если оно содержит все три корня своего порождающего многочлена f . Эквивалентно, К представляет собой циклическое кубическое поле , если оно является расширением Галуа из Q , причем в этом случае его группа Галуа над Q является циклической из порядка три. Это может произойти только в том случае, если K полностью реален. Это редкое явление в том смысле, что если набор кубических полей упорядочен по дискриминанту , то доля кубических полей, которые являются циклическими, приближается к нулю, когда граница дискриминанта приближается к бесконечности. [1]
Кубическое поле называется чистым кубическим полем , если оно может быть получено путем присоединения действительного кубического корняиз cubefree положительного целого числа п до поля рациональных чисел Q . Такие поля всегда являются комплексными кубическими полями, поскольку каждое положительное число имеет два комплексных невещественных кубических корня.
Примеры
- Присоединение действительного кубического корня из 2 к рациональным числам дает кубическое поле . Это пример чистого кубического поля и, следовательно, комплексного кубического поля. Фактически, из всех чистых кубических полей оно имеет наименьший дискриминант (по модулю ), а именно −108. [2]
- Комплексное кубическое поле, полученное присоединением к Q корня из x 3 + x 2 - 1 , не является чистым. Он имеет наименьший дискриминант (по модулю) из всех кубических полей, а именно −23. [3]
- Присоединение корня x 3 + x 2 - 2 x - 1 к Q дает циклическое кубическое поле и, следовательно, вполне вещественное кубическое поле. У него самый маленький дискриминант из всех вполне вещественных кубических полей, а именно 49. [4]
- Поле, полученное присоединением к Q корня из x 3 + x 2 - 3 x - 1, является примером вполне вещественного кубического поля, которое не является циклическим. Его дискриминант равен 148, наименьший дискриминант нециклического вполне вещественного кубического поля. [5]
- Никакие круговые поля не являются кубическими, потому что степень кругового поля равна φ ( n ), где φ - функция Эйлера , которая принимает только четные значения (за исключением φ (1) = φ (2) = 1).
Замыкание Галуа
Циклическое кубическое поле K - это собственное замыкание Галуа с группой Галуа Gal ( K / Q ), изоморфной циклической группе третьего порядка. Однако любое другое кубическое поле K не является расширением Галуа поля Q и имеет расширение N степени два в качестве замыкания Галуа. Группа Галуа Gal ( N / Q ) изоморфна симметрической группе S 3 на трех буквах.
Связанное квадратичное поле
Дискриминант кубического поля K можно однозначно записать как df 2, где d - фундаментальный дискриминант . Тогда K циклично тогда и только тогда, когда d = 1, и в этом случае единственным подполем K является само Q. Если d ≠ 1, то замыкание Галуа N поля K содержит единственное квадратичное поле k , дискриминант которого равен d (в случае d = 1 подполе Q иногда рассматривается как «вырожденное» квадратичное поле дискриминанта 1). Проводник из N над к является F , и F 2 является относительная дискриминант из N над K . Дискриминант N равен d 3 f 4 . [6] [7]
Поле K является чисто кубическим полем тогда и только тогда, когда d = −3. Это тот случай, когда квадратичное поле, содержащееся в замыкании Галуа K, является круговым полем кубических корней из единицы. [7]
Дискриминантный
Поскольку знак дискриминанта числового поля K равен (−1) r 2 , где r 2 - количество сопряженных пар комплексных вложений K в C , дискриминант кубического поля будет положительным именно тогда, когда поле полностью реальное и отрицательное, если это комплексное кубическое поле.
Для некоторого действительного числа N > 0 существует только конечное число кубических полей K , дискриминант D K которых удовлетворяет | D K | ≤ N . [9] Известны формулы, которые вычисляют разложение D K на простые числа , поэтому его можно вычислить явно. [10]
В отличие от квадратичных полей, несколько неизоморфных кубических полей K 1 , ..., K м могут одни и те же дискриминант D . Число м этих полей называется множество [11] дискриминантной D . Некоторые небольшие примеры: m = 2 для D = −1836, 3969, m = 3 для D = −1228, 22356, m = 4 для D = −3299, 32009 и m = 6 для D = −70956, 3054132.
Любое кубическое поле K будет иметь вид K = Q (θ) для некоторого числа θ, которое является корнем неприводимого многочлена
причем a и b оба являются целыми числами. Дискриминант из F является Δ = 4 3 - 27 б 2 . Обозначая дискриминант K с помощью D , то индекс я (θ) от & thetas затем определяется Д = I (q) 2 D .
В случае нециклического кубического поля K эту формулу индекса можно объединить с формулой проводника D = f 2 d, чтобы получить разложение полиномиального дискриминанта Δ = i (θ) 2 f 2 d в квадрат произведения i (θ) f и дискриминант d квадратичного поля k, связанного с кубическим полем K , где d не содержит квадратов с точностью до возможного множителя 2 2 или 2 3 . Георгий Вороной дал метод разделения i (θ) и f в квадратной части Δ. [12]
Изучение числа кубических полей, дискриминант которых меньше заданной границы, является актуальной областью исследований. Пусть N + ( X ) (соответственно N - ( X )) обозначает количество вполне вещественных (соответственно комплексных) кубических полей, дискриминант которых ограничен X по модулю. В начале 1970-х годов Гарольд Давенпорт и Ханс Хейльбронн определили первый член асимптотического поведения N ± ( X ) (т.е. когда X стремится к бесконечности). [13] [14] С помощью анализа остатка на Шинтани дзета - функции , в сочетании с изучением таблиц кубических полей , составленных Karim Belabas ( Belabas 1997 ) и некоторые эвристики , Дэвид П. Робертс высказал предположение более точное асимптотическая формула: [15]
где A ± = 1 или 3, B ± = 1 или, согласно вполне вещественному или комплексному случаю, ζ ( s ) - это дзета-функция Римана , а Γ ( s ) - это гамма-функция . Доказательства этой формулы были опубликованы Бхаргавой, Шанкаром и Цимерманом (2013) с использованием методов, основанных на более ранней работе Бхаргавы, а также Танигучи и Торн (2013), основанными на дзета-функции Шинтани.
Группа единиц
Согласно теореме Дирихле о единице , единичный ранг r без кручения поля алгебраических чисел K с r 1 вещественными вложениями и r 2 парами сопряженных комплексных вложений определяется формулой r = r 1 + r 2 - 1. Следовательно, вполне вещественная кубика поле K с r 1 = 3, r 2 = 0 имеет две независимые единицы ε 1 , ε 2, а комплексное кубическое поле K с r 1 = r 2 = 1 имеет одну фундаментальную единицу ε 1 . Эти фундаментальные системы единиц могут быть вычислены с помощью обобщенных цепных алгоритмов дроби Вороного , [16] , которые были интерпретированы геометрический Делоном и Фаддеевым . [17]
Заметки
- ^ Харви Кон вычислил асимптотику для числа циклических кубических полей ( Cohn, 1954 ), в то время как Гарольд Давенпорт и Ганс Хейлбронн вычислили асимптотику для всех кубических полей ( Davenport & Heilbronn, 1971 ).
- ^ Коэн 1993 , §B.3 содержит таблицу сложных кубических полей
- ^ Коэн 1993 , §B.3
- ^ Коэн 1993 , §B.4 содержит таблицу полностью реальных кубических полей и указывает, какие из них являются циклическими.
- ^ Cohen 1993 , §B.4
- ^ Хассе 1930
- ^ а б Коэн 1993 , §6.4.5
- ^ a b Точные подсчеты были вычислены Мишелем Оливье и доступны в [1] . Асимптотика первого порядка принадлежит Гарольду Давенпорту и Гансу Хейльбронну ( Davenport & Heilbronn, 1971 ). Член второго порядка был предложен Дэвидом П. Робертсом ( Робертс, 2001 ), а доказательство было опубликовано Манджулом Бхаргавой , Арулом Шанкаром и Джейкобом Цимерманом ( Бхаргава, Шанкар и Цимерман, 2013 ).
- ↑ Х. Минковский , Диофантийское приближение , глава 4, §5.
- ^ Llorente, P .; Нарт, Э. (1983). «Эффективное определение разложения рациональных простых чисел в кубическом поле» . Труды Американского математического общества . 87 (4): 579–585. DOI : 10.1090 / S0002-9939-1983-0687621-6 .
- ^ Майер, округ Колумбия (1992). «Кратности диэдральных дискриминантов» . Математика. Комп. 58 (198): 831–847 и S55 – S58. Bibcode : 1992MaCom..58..831M . DOI : 10.1090 / S0025-5718-1992-1122071-3 .
- ↑ Г. Ф. Вороной, О целых алгебраических числах, выводимых из корня уравнения третьей степени , Магистерская диссертация, Санкт-Петербург, 1894 г.
- ↑ Давенпорт и Хайльброн, 1971 г.
- ^ Их работа также может быть истолкована как вычисление среднего размера 3-торсионной части группы классов в виде квадратичного поля , итаким образомпредставляет собой один из немногих проверенных случаев в догадках Cohen-Ленстр : смотрите, например Бхаргава, Манджул ; Варма, Ила (2014), Среднее число элементов 3-кручения в группах классов и идеальных группах квадратичных порядков , arXiv : 1401.5875 , Bibcode : 2014arXiv1401.5875B ,
Эта теорема [Дэвенпорта и Хейльбронна] дает только два доказанных случая эвристик Коэна-Ленстры для групп классов квадратичных полей.
- ^ Робертс 2001 , гипотеза 3.1
- ^ Вороной, Г. Ф. (1896). Об одном обобщении алгоритма цепных дробей . Варшава: докторская диссертация.
- ^ Делоне Б.Н. Фаддеев, ДК (1964). Теория иррациональностей третьей степени . Переводы математических монографий. 10 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество.
Рекомендации
- Табан Алака, Кеннет С. Уильямс, Введение в алгебраическую теорию чисел , Cambridge University Press , 2004.
- Belabas, Карим (1997), "Быстрый алгоритм для вычисления кубических полей", Математика вычислений , 66 (219): 1213-1237, DOI : 10,1090 / s0025-5718-97-00846-6 , МР 1415795
- Бхаргава, Манджул ; Шанкар, Арул; Цимерман, Джейкоб (2013), «О теореме Давенпорта – Хейльбронна и членах второго порядка», Inventiones Mathematicae , 193 (2): 439–499, arXiv : 1005.0672 , Bibcode : 2013InMat.193..439B , doi : 10.1007 / s00222 -012-0433-0 , Руководство по ремонту 3090184
- Коэн, Анри (1993), Курс вычислительной алгебраической теории чисел , Тексты для выпускников по математике, 138 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-55640-4, Руководство по ремонту 1228206
- Кон, Харви (1954), "Плотность абелевых кубических полей", Труды Американского математического общества , 5 (3): 476-477, DOI : 10,2307 / 2031963 , JSTOR 2031963 , МР 0064076
- Давенпорт, Гарольд ; Хейльбронн, Ханс (1971), «О плотности дискриминантов кубических полей. II», Труды Королевского общества A , 322 (1551): 405–420, Bibcode : 1971RSPSA.322..405D , doi : 10.1098 / rspa .1971.0075 , Руководство по ремонту 0491593
- Хассе, Гельмут (1930), "Arithmetische Theorie der kubischen Zahlkörper auf klassenkörpertheoretischer Grundlage", Mathematische Zeitschrift (на немецком языке), 31 (1): 565–582, doi : 10.1007 / BF01246435
- Робертс, Дэвид П. (2001), "Плотность дискриминантов кубического поля", Математика вычислений , 70 (236): 1699–1705, arXiv : math / 9904190 , doi : 10.1090 / s0025-5718-00-01291-6 , MR 1836927
- Танигучи, Такаши; Торн, Франк (2013), "Вторичные члены в счетных функций для кубических полей", Герцога математический журнал , 162 (13): 2451-2508, Arxiv : 1102,2914 , DOI : 10,1215 / 00127094-2371752 , МР 3127806
Внешние ссылки
- СМИ, связанные с кубическим полем на Викискладе?