В абстрактной алгебре , поле разложения из многочлена с коэффициентами в поле является наименьшим расширением поля этого поля , над которым многочлен расколы или разлагается на линейные множители .
Определение
Поле разложения многочлена р ( Х ) над полем K является расширение поля L из K над которой р факторов на линейные множители
где и для каждого у нас есть с я не обязательно различны и такие , что корни я порождают L над K . Расширение L тогда является расширением минимальной степени над K, в котором p расщепляется. Можно показать, что такие поля расщепления существуют и единственны с точностью до изоморфизма. Степень свободы в этом изоморфизме известна как группа Галуа для p (если мы предполагаем, что она сепарабельна ).
Характеристики
Расширение L , который является полем разложения для множества многочленов р ( х ) над К называется нормальное расширение из K .
Дано алгебраически замкнутое поле A , содержащее K , существует единственное поле разложения л из р между К и А , порождается корнями из р . Если K - подполе комплексных чисел , существование немедленно. С другой стороны, существование алгебраических замыканий в общем случае часто доказывается «предельным переходом» из результата поля расщепления, что, следовательно, требует независимого доказательства, чтобы избежать круговых рассуждений .
Учитывая разъемные расширения K 'из K , A Галуа замыкание L из K ' представляет собой тип поля расщепления, а также расширение Галуа из K , содержащий K ' , который является минимальным, в очевидном смысле. Такое замыкание Галуа должно содержать поле расщепления для всех многочленов p над K, которые являются минимальными многочленами над K от элементов a из K ′.
Построение полей разбиения
Мотивация
Поиск корней многочленов был важной проблемой со времен древних греков. Однако некоторые многочлены, такие как x 2 + 1 над R , действительными числами, не имеют корней. Построив поле расщепления для такого многочлена, можно найти корни многочлена в новом поле.
Конструкция
Пусть F - поле и p ( X ) - многочлен из кольца многочленов F [ X ] степени n . Общий процесс построения K , поля расщепления p ( X ) над F , состоит в построении цепочки полейтакое, что K i является расширением K i −1, содержащим новый корень p ( X ). Поскольку p ( X ) имеет не более n корней, конструкция потребует не более n расширений. Шаги для построения K i даны следующим образом:
- Разложите p ( X ) над K i на неприводимые множители.
- Выберем любой нелинейный неприводимый множитель f ( X ) = f i ( X ).
- Построить расширение поля K я + 1 из K я как фактор - кольца К я + 1 = К я [ Х ] / ( F ( X )) , где ( е ( Х )) обозначает идеал в K я [ X ] , порожденный f ( X ).
- Повторите процесс для K i +1, пока p ( X ) полностью не фактор.
Неприводимый множитель f i ( X ), используемый в построении фактора, может быть выбран произвольно. Хотя различный выбор факторов может привести к разным последовательностям подполей, результирующие поля разделения будут изоморфными.
Поскольку f ( X ) неприводимо, ( f ( X )) - максимальный идеал в K i [ X ], а K i [ X ] / ( f ( X )) фактически является полем. Более того, если мы положим - естественная проекция кольца на его фактор, то
поэтому π ( X ) является корнем f ( X ) и p ( X ).
Степень разового расширения равна степени неприводимого множителя f ( X ). Степень расширения [ K : F ] определяется выражениема есть самое большее n !.
Поле K i [ X ] / ( f ( X ))
Как упоминалось выше, фактор-кольцо K i +1 = K i [ X ] / ( f ( X )) является полем, когда f ( X ) неприводимо. Его элементы имеют вид
где c j находятся в K i и α = π ( X ). (Если рассматривать K i +1 как векторное пространство над K i, то степени α j для 0 ≤ j ≤ n −1 образуют базис.)
Элементы K i +1 можно рассматривать как многочлены от α степени меньше n . Сложение в K i +1 дается правилами полиномиального сложения, а умножение дается полиномиальным умножением по модулю f ( X ). То есть для g (α) и h (α) в K i +1 произведение g (α) h (α) = r (α), где r ( X ) - остаток от g ( X ) h ( X ) делится на f ( X ) в K i [ X ].
Остаток r ( X ) может быть вычислен путем деления многочленов в длину, однако существует также простое правило редукции, которое можно использовать для прямого вычисления r (α) = g (α) h (α). Сначала позвольте
Многочлен находится над полем, поэтому можно считать f ( X ) моническим без ограничения общности. Теперь α является корнем f ( X ), поэтому
Если в произведении g (α) h (α) есть член α m с m ≥ n, его можно сократить следующим образом:
- .
В качестве примера правила редукции возьмем K i = Q [ X ], кольцо многочленов с рациональными коэффициентами, и возьмем f ( X ) = X 7 - 2. Пустьи h (α) = α 3 +1 - два элемента Q [ X ] / ( X 7 - 2). Правило редукции, задаваемое f ( X ), α 7 = 2, поэтому
Примеры
Комплексные числа
Рассмотрим кольцо многочленов R [ х ], а неприводимый многочлен х 2 + 1 фактор - кольцо Р [ х ] / ( х 2 + 1) задается конгруэнтность х 2 ≡ -1. В результате элементы (или классы эквивалентности ) из R [ х ] / ( х 2 + 1) , имеют вид а + Ьх , где и б принадлежат R . Чтобы убедиться в этом, заметим, что, поскольку x 2 ≡ −1, следует, что x 3 ≡ - x , x 4 ≡ 1 , x 5 ≡ x и т. Д .; и поэтому, например, p + qx + rx 2 + sx 3 ≡ p + qx + r ⋅ (−1) + s ⋅ (- x ) = ( p - r ) + ( q - s ) ⋅ x .
Операции сложения и умножения задаются сначала обычным полиномиальным сложением и умножением, а затем уменьшением по модулю x 2 + 1 , то есть с использованием того факта, что x 2 ≡ −1 , x 3 ≡ - x , x 4 ≡ 1 , x 5 ≡ x и т. д. Таким образом:
Если мы отождествим a + bx с ( a , b ), то увидим, что сложение и умножение задаются формулами
Покажет , что, как поле, фактор Р [ х ] / ( х 2 + 1) , является изоморфно к комплексным числам , C . Общее комплексное число имеет вид a + bi , где a и b - действительные числа, а i 2 = −1. Сложение и умножение даются
Если мы отождествим a + bi с ( a , b ), то увидим, что сложение и умножение задаются
Предыдущие расчеты показывают , что сложение и умножение ведут себя одинаково в R [ х ] / ( х 2 + 1) , и C . Фактически, мы видим, что отображение между R [ x ] / ( x 2 + 1) и C, заданное как a + bx → a + bi, является гомоморфизмом относительно сложения и умножения. Очевидно также , что отображение + Ьх → + би одновременно инъективны и сюръективны ; это означает, что a + bx → a + bi - биективный гомоморфизм, т. е. изоморфизм. Из этого следует , что, как утверждают: R [ х ] / ( х 2 + 1) ≅ С .
В 1847 году Коши использовал этот подход для определения комплексных чисел. [1]
Кубический пример
Пусть K - поле рациональных чисел Q и p ( x ) = x 3 - 2 . Каждый корень из p равен 3 √ 2 умноженным на кубический корень из единицы . Следовательно, если мы обозначим кубические корни из единицы через
любое поле, содержащее два различных корня из p, будет содержать частное между двумя различными кубическими корнями из единицы. Такое частное представляет собой примитивный кубический корень из единицы - либо ω 2, либо. Отсюда следует , что поле разложения L из р будет содержать ω 2 , а также реальный кубический корень из 2; наоборот, любое расширение Q, содержащее эти элементы, содержит все корни p . Таким образом
Обратите внимание, что применение процесса построения, описанного в предыдущем разделе, к этому примеру, начинается с и строит поле . Это поле не является полем разбиения, но содержит один (любой) корень. Однако полином не является неприводимым по а на самом деле:
Обратите внимание, что не является неопределенным, а фактически является элементом . Теперь, продолжая процесс, получаем которое действительно является полем расщепления и натянуто на -основа . Обратите внимание, что если мы сравним это с сверху мы можем идентифицировать а также .
Другие примеры
- Поле расщепления x q - x над F p - это единственное конечное поле F q при q = p n . [2] Иногда это поле обозначают GF ( q ).
- Поле расщепления x 2 + 1 над F 7 равно F 49 ; многочлен не имеет корней в F 7 , т. е. −1 не является здесь квадратом, потому что 7 не эквивалентно 1 (mod 4). [3]
- Поле расщепления x 2 - 1 над F 7 равно F 7, поскольку x 2 - 1 = ( x + 1) ( x - 1) уже делится на линейные множители.
- Мы вычисляем поле расщепления f ( x ) = x 3 + x + 1 над F 2 . Легко проверить, что f ( x ) не имеет корней в F 2 , следовательно, f ( x ) неприводима в F 2 [ x ]. Положим r = x + ( f ( x )) в F 2 [ x ] / ( f ( x )), так что F 2 ( r ) - поле и x 3 + x + 1 = ( x + r ) ( x 2 + ax + b ) в F 2 ( r ) [ x ]. Обратите внимание, что мы можем написать + вместо -, поскольку характеристика равна двум. Сравнение коэффициентов показывает, что a = r и b = 1 + r 2 . Элементы F 2 ( r ) могут быть перечислены как c + dr + er 2 , где c , d , e находятся в F 2 . Всего восемь элементов: 0, 1, r , 1 + r , r 2 , 1 + r 2 , r + r 2 и 1 + r + r 2 . Подставляя их в x 2 + rx + 1 + r 2, получаем ( r 2 ) 2 + r ( r 2 ) + 1 + r 2 = r 4 + r 3 + 1 + r 2 = 0, следовательно, x 3 + x + 1 = ( x + r) ( x + r 2 ) ( x + ( r + r 2 )) для r в F 2 [ x ] / ( f ( x )); E = F 2 ( r ) является полем расщепления x 3 + x + 1 над F 2 .
Заметки
- ^ Коши, Огюстен-Луи (1847), «Mémoire sur la théorie des équivalences algébriques, substituée à la théorie des imaginaires», Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences (на французском языке), 24 : 1120–1130
- ^ Серр. Курс арифметики .
- ^ Вместо того, чтобы применять эту характеризацию нечетных простых модулей, для которых −1 является квадратом, можно просто проверить, что набор квадратов в F 7 является набором классов 0, 1, 4 и 2, который не включает класс −1≡6.
Рекомендации
- Даммит, Дэвид С. и Фут, Ричард М. (1999). Абстрактная алгебра (2-е изд.). Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-36857-1 .
- "Поле расщепления многочлена" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- Вайсштейн, Эрик В. «Поле расщепления» . MathWorld .